Ричард Фейнман - 9. Квантовая механика II
где k пробегает все те значения, при которых под знаком факториала получаются неотрицательные величины.
Это очень запутанная формула, но с ее помощью вы сможете проверить табл. 15.2 для j=1 (стр. 129) и составить ваши собственные таблицы для больших j. Некоторые матричные элементы очень важны и получили особые наименования. Например, матричные элементы для m= m'=0и целых j известны под названием полиномов Лежандра и обозначаются </, 0 |
Первые из них таковы:
P0(cosq)=l, (16.37)
P1(cosq)=cosq, (16.38)
§ 5. Измерение ядерного спина
Продемонстрируем теперь пример, где понадобятся только что описанные коэффициенты. Он связан с проделанными не так давно интересными опытами, которые вы теперь в состоянии будете понять. Некоторым физикам захотелось узнать спин одного из возбужденных состояний ядра Ne20. Для этого они принялись бомбить углеродную мишень пучком ускоренных ионов углерода и породили нужное им возбужденное состояние Ne20 (обозначаемое Ne20*) в реакции
где a1 — это a-частица, или Не4. Кое-какие из создаваемых таким образом возбужденных состояний Ne20 неустойчивы и распадаются таким путем:
Значит, на опыте видны возникающие в реакции две a-частицы. Обозначим их a1и a2; поскольку они вылетают с разными энергиями, их можно отличить друг от друга. Кроме того, выбирая a1, имеющие нужную энергию, мы можем отобрать любые возбужденные состояния Ne20.
Опыт ставился так, как показано на фиг. 16.9.
Фиг. 16.9. Размещение приборов в опыте по определению спина возбужденных состояний Ne20.
Пучок ионов углерода с энергией 16 Мэв был направлен на углеродную пленку. Первая a-частица регистрировалась кремниевым детектором, настроенным на прием a-частиц с нужной энергией, движущихся вперед (по отношению к падающему пучку ионов С12). Вторая a-частица регистрировалась счетчиком a2, поставленным под углом q к a1. Скорость счета сигналов совпадений от a1 и a2 измерялась как функция угла q.
Идея опыта в следующем. Прежде всего нужно знать, что спины С12, О16 и a-частицы все равны нулю. Назовем направление движения начальных частиц С12 направлением +z; тогда известно, что Ne20* должен обладать нулевым моментом количества движения относительно оси z. Ведь ни у одной из остальных частиц нет спина; кроме того, С12 прилетает вдоль оси z и a1 улетает вдоль оси z, так что у них не может быть момента относительно этой оси. И каким бы ни был спин j ядра Ne20*, мы знаем, что это ядро находится в состоянии |j, 0>. Что же случится, когда Ne20* распадется на О16 и другую a-частицу? Что ж, a-частицу поймает счетчик a2, а О16, чтобы сохранить начальный импульс, вынужден будет уйти в противоположную сторону. Относительно новой оси (оси a2) не может быть тоже никакой компоненты момента количества движения. А раз конечное состояние имеет относительно новой оси нулевой момент количества движения, то у распада Ne20* должна быть некоторая амплитуда того, что m'=0, где m'—квантовое число компоненты момента количества движения относительно новой оси. Вероятность наблюдать a2 под углом q будет на самом деле равна квадрату амплитуды (или матричного элемента)
Чтобы получить спин интересующего нас состояния Ne20*, вычертим интенсивность наблюдений второй a-частицы как функцию угла и сравним с теоретическими кривыми для различных значений j. Как мы отмечали в конце предыдущего параграфа, амплитуды <j,0|Ry(q)|j,0>—это просто функции Рj(cosq). Значит, угловые распределения будут следовать кривым [Pj(cosq)]2. Экспериментальные результаты для двух возбужденных состояний показаны на фиг. 16.10.
Фиг. 16.10. Экспериментальные результаты измерений углового распределения a-частиц, вылетающих при распаде двух возбужденных состояний Ne20.
Они получены на устройстве, показанном на фиг. 16.9.
Вы видите, что угловое распределение для состояния 5,80 Мэв очень хорошо укладывается на кривую [Р1(cosq)]2, т. е. оно должно быть состоянием со спином 1. С другой стороны, данные для состояния 5,63 Мэв выглядят совершенно иначе; они ложатся на кривую [Р3(cosq)]2. Спин этого состояния равен 3.
В этом опыте мы измерили момент количества движения двух возбужденных состояний Ne20*. Этой информацией можно воспользоваться, чтобы понять, как ведут себя протоны и нейтроны внутри этого ядра, и это принесет нам добавочные сведения о таинственных ядерных силах.
§ 6. Сложение моментов количества движения
Когда мы изучали сверхтонкую структуру атома водорода в гл. 10 (вып. 8), нам пришлось рассчитывать внутренние состояния системы, составленной из двух частиц — электрона и протона — со спинами 1/2. Мы нашли, что четверка возможных спиновых состояний такой системы может быть разбита на две группы — на тройку состояний с одной энергией, которая во внешнем поле выглядела как частица со спином 1, и на одно оставшееся состояние, которое вело себя как частица со спином 0. Иначе говоря, объединяя две частицы со спином 1/2, можно образовать систему, «полный спин» которой равен либо единице, либо нулю. В этом параграфе мы хотим рассмотреть на более общем уровне спиновые состояния системы, составленной из двух частиц с произвольными спинами. Это другая важная проблема, связанная с моментами количества движения квантовомеханической системы.
Перепишем сперва результаты гл. 10 для атома водорода в форме, которая позволит распространить их на более общий случай. Мы начали с двух частиц, которые теперь обозначим так: частица а (электрон) и частица b (протон). Спин частицы а был равен ja(=1/2), a z-компонента момента количества движения mамогла принимать одно из нескольких значений (на самом деле два, а именно mа=+1/2 или mа=-1/2). Точно так же спиновое состояние частицы b описывалось ее спином jb и z-компонентой момента количества движения mb. Из всего этого можно было составить несколько комбинаций спиновых состояний двух частиц. Например, из частицы а с mа= 1/2 и частицы b с mb=-1/2 можно было образовать состояние | а, +1/2; b, -1/2>. Вообще, объединенные состояния образовывали систему, у которой «спин системы», или «полный спин», или «полный момент количества движения» J мог быть равен либо единице, либо нулю, а z-компонента момента количества движения М могла равняться +1, 0 или -1 при J=1 и нулю при J=0. На этом новом языке формулы (10.41) и (10.42) можно переписать так, как показано в табл. 16.3.
Левый столбец таблицы описывает составное состояние через его полный момент количества движения J и z-компоненту М.
Таблица 16.3 · СОСТАВЛЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ДВУХ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 1/2,
Правый столбец показывает, как составляются эти состояния из значений т двух частиц а и b.
Мы хотим обобщить этот результат на состояния, составленные из двух объектов а и b с произвольными спинами jа и jb. Начнем с разбора примера, когда jа=1/2 и jb=1, а именно с атома дейтерия, в котором частица а — это электрон е, а частица b — ядро, т. е. дейтрон d. Тогда ja=je=1/2. Дейтрон образован из одного протона и одного нейтрона в состоянии с полным спином 1, так что jb=jd=1. Мы хотим рассмотреть сверхтонкие состояния дейтерия, как мы сделали это для водорода. Поскольку у дейтрона может быть три состояния, mb= md=+1, 0, -1, а у электрона — два, mа=mе=+1/2, -1/2, то всего имеется шесть возможных состояний, а именно (используется обозначение
