Ричард Фейнман - 8a. Квантовая механика I
Обзор книги Ричард Фейнман - 8a. Квантовая механика I
8a. Квантовая механика I
Глава 7
АММИАЧНЫЙ МАЗЕР
§ 1. Состояния молекулы аммиака
§ 2. Молекула в статическом электрическом поле
§ З. Переходы в поле, зависящем от времени
§ 4. Переходы при резонансе
§ 5. Переходы вне резонанса
§ 6. Поглощение света
§ 1. Состояния молекулы аммиака
В этой главе мы хотим обсудить применение квантовой механики в одном практическом устройстве — в аммиачном мазере. Вас может удивить, отчего это мы бросаем на полпути наше изложение формального аппарата квантовой механики и обращаемся к частной задаче. Но позже вы увидите, что многие черты этой частной задачи сплошь и рядом встречаются и в общей теории квантовой механики, так что детальное изучение задачи многому нас научит. Аммиачный мазер — это устройство для генерирования электромагнитных волн. Его действие основано на свойствах молекулы аммиака, о которых вкратце говорилось в предыдущей главе. Поэтому сначала мы подведем итоги тому, что нам уже известно.
Молекула аммиака имеет много состояний. Но мы будем считать ее системой с двумя состояниями (двухуровневой); сейчас нас интересует лишь то, что бывает, когда молекула находится в любом заданном состоянии вращения или поступательного движения. Физическую модель этих двух состояний можно наглядно представить себе следующим образом. Если вращать молекулу аммиака вокруг оси, проведенной через атом азота перпендикулярно плоскости атомов водорода, как показано на фиг. 7.1, мы обнаружим, что существуют два сорта состояний, которые не переходят друг в друга при таких поворотах и отличаются положением атома азота.
Фиг. 7.1. Физическая модель двух базисных состояний молекулы аммиака. Электрические дипольные моменты этих состояний равны m.
Азот может быть либо по одну сторону плоскости атомов водорода, либо по другую. Эти два состояния мы обозначаем |1> и |2>. Их мы выберем в качестве совокупности базисных состояний в нашем анализе поведения молекулы аммиака.
В системе с двумя базисными состояниями любое состояние |y> системы всегда может быть описано линейной комбинацией двух базисных состояний; это значит, что существует определенная амплитуда С1быть в одном базисном состоянии и амплитуда С2 быть в другом. Вектор состояния |y>можно записать в виде
где
Эта пара амплитуд меняется со временем согласно нашим гамильтоновым уравнениям — уравнениям (6.43). Используя симметрию двух состояний молекулы аммиака, мы полагаем H11=H22=E0и H12=H21=-А и получаем такое решение [см. (6.50) и (6.51)]:
Кинем теперь на эти решения более внимательный взгляд. Пусть сперва молекула была поставлена в состояние |y11>, для которого коэффициент b был равен нулю. Тогда при t=0 амплитуды оказаться в состояниях |1> и |2> одинаковы и останутся такими все время. Их фазы обе меняются во времени одинаково, с частотой (E0-A)/h. И точно так же, если бы мы поставили молекулу в состояние |y1>, для которого а=0, амплитуда C2равнялась бы C1с минусом, и это соотношение сохранилось бы навсегда — обе амплитуды менялись бы теперь во времени с частотой (E0+A)/h. Это все состояния, для которых связь между С1и С2не зависит от времени; других возможностей нет.
Мы нашли два частных решения, в которых амплитуды не меняются по величине и, более того, фазы меняются с одинаковой частотой. Это стационарные состояния по определению, данному в гл. 5, § 1, т. е. состояния с определенной энергией. Состояние |y11> обладает энергией Е11=Е0-А, а состояние |y1> — энергией E1=E0+A. Кроме этих, никаких стационарных состояний не существует, т. е. мы обнаруживаем, что у молекулы есть два уровня энергии, отличающиеся на 2А. (Подразумеваются, конечно, два уровня энергии для заданного состояния колебания и вращения, о которых говорилось в наших исходных допущениях.)
Если бы азот не мог перескакивать вверх или вниз, нам пришлось бы принять А равным нулю, и оба энергетических уровня (с энергией Е0)налезли бы один на другой. Истинные уровни не таковы; их среднее значение Е0, но они разведены на ±А, т. е. промежуток между энергиями двух состояний равен 2А. Поскольку А на самом деле мало, то и разница в энергиях очень мала.
Чтобы возбудить электрон внутри атома, требуются довольно высокие энергии, нужны фотоны оптического или ультрафиолетового диапазона. Чтобы возбудить вибрации молекул, требуются инфракрасные фотоны. Если речь идет о возбуждении вращений, различия в энергиях состояний соответствуют фотонам в далекой инфракрасной области. Но разность энергий 2А меньше их всех, меньше инфракрасных энергий, она приходится на микроволновой диапазон. Опытным путем было найдено, что существует пара уровней энергии с промежутком 10-4 эв, что отвечает частоте 24000 Мгц. Это, очевидно, означает, что 2A=hf, где f=24000 Мгц (отвечает волне длиной 11/4 см). Значит, перед нами молекула с переходами, которые вызывают испускание микроволн, а не свет в обычном смысле.
Для дальнейшей работы нам понадобится немного более удобное описание этих двух состояний с определенной энергией. Представим, что мы построили амплитуду С11из суммы двух чисел C1и С2:
Что бы это могло означать? Очень просто: это амплитуда того, что состояние |Ф> окажется в новом состоянии |//>, в котором амплитуды первоначальных базисных состояний равны между собой, Иначе говоря, когда мы пишем СII=<II |Ф>, то мы вправе абстрагироваться в уравнении (7.4) от |Ф>, поскольку оно выполняется при любых Ф, и писать
это означает то же самое, что и
Амплитуда того, что состояние (II} окажется в состоянии |1>, равна
а это, конечно, равняется просто единице, поскольку и |1>, и |2>суть базисные состояния. И амплитуда обнаружения состояния |II> в состоянии 2у тоже равна единице, так что у состояния |II> одинаковы амплитуды оказаться в каждом из базисных состояний |1> и |2>.
Но тут всплывает новая трудность. У состояния |II> полная вероятность оказаться то ли в одном базисном состоянии, то ли в другом получается больше единицы. Но это всего лишь означает, что вектор состояния неудачно «отнормирован». Чтобы исправить дело, надо вспомнить, что всегда для любого состояния обязано быть <II|II>=1. Использовав общее соотношение
полагая, что и Ф, и c суть состояние II, и суммируя по базисным состояниям |1> и |2>, получаем
Это даст, как положено, единицу, если мы изменим наше определение СII[см. уравнение (7.4)] и примем
Таким же путем можно построить и амплитуду
или
Эта амплитуда есть проекция состояния |Ф> на новое состояние |I>, обладающее амплитудами противоположного знака, для пребывания в состояниях |1> и |2>. А именно (7.6) означает то же самое, что и
или
откуда следует
Зачем все это нужно? С какой целью все это делается? Дело в том, что состояния |I> и |II> могут быть приняты за новую совокупность базисных состояний, особенно подходящую для описания стационарных состояний молекулы аммиака. Вы помните, что требования к совокупности базисных состояний были таковы:
Мы уже сами сделали так, чтобы было
Из (7.5) и (7.7) легко вывести, что и
Амплитуды СI=<I|Ф> и СII=<II|Ф> того, что любое состояние |Ф> окажется в одном из наших новых базисных состояний |I> и |II>, обязаны также удовлетворять гамильтонову уравнению вида (6.39). И действительно, если мы просто вычтем друг из друга два уравнения (7.2) и (7.3) и продифференцируем по t, то убедимся, что
