Ричард Фейнман - 9. Квантовая механика II
| е, me; d, md>):
Обратите внимание, что мы разверстали состояния согласно значениям суммы meи mdв порядке ее убывания.
Спросим теперь: что случится с этими состояниями, если спроецировать их в другую систему координат? Если эту новую систему просто повернуть вокруг оси z на угол j, то состояние | е, me; d, md>умножается на
(Состояние можно считать произведением |е, mе>|d, md>, и каждый вектор состояния независимо привнесет свой собственный экспоненциальный множитель.) Множитель (16.43) имеет форму еiMj, поэтому z-компонента момента количества движения у состояния | е, mе; d, md>окажется равной
M=me+md. (16.44)
Иначе говоря, z-компонента полного момента количества движения есть сумма z-компонент моментов количества движения отдельных частей.
Значит, в перечне состояний (16.42) верхнее состояние имеет М=+3/2, Два следующих М=+1/2, затем два М=-1/2и последнее состояние М=-3/2. Мы сразу же видим, что одной из возможностей для спина J объединенного состояния (для полного момента количества движения) должно быть 3/2, это потребует четырех состояний с М= +3/2, +1/2, -1/2 и - 3/2. На М=+3/2 есть только один кандидат, и мы сразу видим, что
Но что является состоянием |J=3/2, М=+1/2>? Кандидатов здесь два, они стоят во второй строчке (16.42), и всякая их линейная комбинация тоже даст М=+1/2. Значит, в общем случае можно ожидать, что
где a и b — два числа. Их именуют коэффициенты Клебша — Гордона. Найти их и будет нашей очередной задачей.
И мы их легко найдем, если просто вспомним, что дейтрон состоит из нейтрона и протона, и в явном виде распишем состояния дейтрона, пользуясь правилами табл. 16.3. Если это проделать, то перечисленные в (16.42) состояния будут выглядеть так, как показано в табл. 16.4.
Пользуясь состояниями из этой таблицы, мы хотим образовать четверку состояний с J=3/2. Но ответ нам уже известен, потому что в табл. 16.1 уже стоят состояния со спином 3/2, образованные из трех частиц со спином 1/2. Первое состояние в табл. 16.1 имеет |J=3/2, М=+3/2>, это |+++>, а в наших нынешних обозначениях это |e, +1/2; n, + 1/2; p, +1/2>, или первое состояние из табл. 16.4. Но это состояние — то же самое, что первое по списку в (16.42), так что наше выражение (16.45) подтверждается. Вторая строчка в табл. 16.1 утверждает, если воспользоваться нашими теперешними обозначениями, что
То, что стоит в правой части, можно, очевидно, составить из двух членов во второй строчке табл. 16.4, взяв Ц2/3 от первого члена и Ц1/3от второго. Иначе говоря, (16.47) эквивалентно
Таблица 16.4 · СОСТОЯНИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ АТОМА ДЕЙТЕРИЯ
Мы нашли два наших первых коэффициента Клебша — Гордона a, и b [см. (16.46)]:
Повторяя ту же процедуру, найдем
а также, конечно,
Это и есть правила составления из спина 1 и спина 1/2 полного спина J=3/2. Мы свели (16.45) и (16.50) в табл. 16.5.
Таблица 16.5 · СОСТОЯНИЯ С J=3/2 АТОМА ДЕЙТЕРИЯ
Но у нас пока есть только четыре состояния, а у системы, которую мы рассматриваем, их шесть.
Из двух состояний во второй строчке (16.42) мы для образования |J=3/2, М=+1/2> составили только одну линейную комбинацию. Есть и другая линейная комбинация, ортогональная к ней, у нее тоже М=+1/2 и она имеет вид
Точно так же из двух состояний в третьей строке (16.42) можно скомбинировать два взаимно-ортогональных состояния, каждое с М =-1/2. То, которое ортогонально к (16.50), имеет вид
это и есть два оставшихся состояния. У них M=me+md=±1/2; эти состояния должны соответствовать J=1/2. Итак, мы имеем
Можно убедиться, что эти два состояния действительно ведут себя как состояния объекта со спином 1/2; для этого надо выразить дейтронную часть через нейтронные и протонные состояния (при помощи табл. 16.3). Первое состояние в (16.53) превратится в
(16.55) а это можно переписать так:
Посмотрите теперь на выражение в первых фигурных скобках и подумайте, что получается при объединении е и р. Вместе они образуют состояние с нулевым спином (см. нижнюю строку в табл. 16.3) и не дают вклада в момент количества движения. Остался только нейтрон, значит, вся первая фигурная скобка (16.56) будет вести себя при поворотах как нейтрон, а именно как состояние с J=1/2, M=+1/2.
Повторяя те же рассуждения, убедимся, что во вторых фигурных скобках (16.56) электрон и нейтрон объединяются, чтобы образовать нулевой момент количества движения, и остается только вклад протона — с mp=+1/2. Скобка опять ведет себя как объект с J=+1/2, М=+1/2. Значит, и все выражение (16.56) преобразуется как |J=+1/2, М=+1/2>, чего мы и хотели. Состояние М=-1/2,отвечающее формуле (16.56), можно расписать так (заменив везде, где нужно, +1/2 на -1/2):
Вы легко проверите, что это совпадает со второй строчкой в (16.54), как и полагается, если каждая скобка представляет собой одно из двух состояний системы со спином 1/2. Значит, наши результаты подтвердились. Дейтрон и электрон могут существовать в шести спиновых состояниях, четыре из которых ведут себя как состояния объекта со спином 3/2 (табл. 16.5), а два — как объект со спином J/2 (16.54).
Результаты табл. 16.5 и уравнения (16.54) мы получили, воспользовавшись тем, что дейтрон состоит из нейтрона и протона. Правильность уравнений не зависит от этого особого обстоятельства. Для любого объекта со спином 1, объединяемого с объектом со спином 1/2, законы объединения (и коэффициенты) одни и те же. Совокупность уравнений в табл. 16.5 означает, что если система координат поворачивается, скажем, вокруг оси у, так что состояния частицы со спином 1/2и частицы со спином 1 изменяются согласно табл. 16.1 и 16.2, то линейные комбинации по правую сторону знака равенства будут изменяться так, как это свойственно объекту со спином 3/2. При таком же повороте состояния (16.54) будут меняться как состояния объекта со спином 1/2. Результаты зависят только от свойств относительно поворотов (т. е. от спиновых состояний) двух исходных частиц, но отнюдь не от происхождения их моментов количества движения. Мы этим происхождением воспользовались лишь для вывода формул, выбрав частный случай, в котором одна из составных частей сама состоит из двух частиц со спином 1/2 в симметричном состоянии. Все наши результаты мы свели в табл. 16.6, изменив индексы е и d на а и b, чтобы подчеркнуть их общность.
Таблица 16.6 · ОБЪЕДИНЕНИЕ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1/2( ja=1/2) С ЧАСТИЦЕЙ СО СПИНОМ 1 (jb=1)
Поставим теперь себе общую задачу найти состояния, которые можно образовать, объединяя два объекта с произвольными спинами. Скажем, у одного спин ja(так что его z-компонента mа пробегает 2jа+1 значений от -jaдо +ja, а у другого jb(с z-компонентой mb, пробегающей значения от - jbдо+jb).
