Ричард Фейнман - 9. Квантовая механика II
состояние | 0, 0>.
Теперь мы можем посмотреть, что происходит, когда мы проецируем общее состояние | j, m>на представление, относящееся к повернутой системе осей. Прежде всего известно, что j — это число, которое характеризует систему, поэтому оно не меняется. При повороте осей мы получим просто смесь различных значений т для одного и того же j. В общем случае появится амплитуда того, что система в повернутой системе координат окажется в состоянии | j, m'>, где m' — новая z-компонента момента количества движения. Значит, нам нужны матричные элементы <j, m' |R|j, m>всевозможных поворотов. Мы уже знаем, что бывает, если поворот делается на угол j вокруг оси z. Новое состояние — это попросту старое, умноженное на eimj, у него по-прежнему то же значение т. Это можно записать так:
или, если вам больше нравится,
(где dm,m' равно единице при m' = m, и нулю в прочих случаях).
При поворотах вокруг любой другой оси возникает перемешивание различных m-состояний. Можно было бы, конечно, попытаться подсчитать матричные элементы для произвольных поворотов, описываемых углами Эйлера b,a и g. Но будет легче, если мы вспомним, что самый общий такой поворот может быть составлен из трех поворотов Rz(g), Ry(a), Rz(b); так что если мы знаем матричные элементы для поворотов вокруг оси y, то уже располагаем всем необходимым.
Как же нам найти матрицу поворота для поворота частицы со спином j на угол q вокруг оси у? Опираясь на основные законы (и на то, что уже было), это сделать нелегко. Мы так поступали со спином 1/2: вывели все, что нужно, пользуясь довольно сложными соображениями симметрии. Для спина 1 мы это проделали уже иначе: рассмотрели частный случай, когда система со спином 1 складывается из двух систем со спином 1/2. Если вы последуете за нами и признаете правильным тот факт, что в общем случае ответы зависят только от спина j, а не от того, как скреплены между собой разные части системы со спином j, то мы сможем обобщить рассуждения для спина 1 на произвольный спин. Мы сможем, например, соорудить искусственную систему со спином 3/2 из трех объектов со спином 1/2. Мы сможем даже избежать всяких усложнений, вообразив, что все они суть различные частицы — скажем, протон, электрон и мюон. Преобразуя каждый объект со спином 1/2, мы увидим, что происходит со всей системой — надо только вспомнить, что для комбинированного состояния все амплитуды перемножаются. Давайте посмотрим, как все это проходит.
Допустим, мы расположили все три объекта со спином 1/2 спинами вверх; обозначим такое состояние |+++>. Если мы взглянем на него из системы координат, повернутой относительно оси z на угол j, то каждый плюс останется плюсом, но умножится на еij/2. Таких множителей у нас тройка, так что
Ясно, что состояние |+++> — это как раз то, что мы называем состоянием m=+3/2, или состоянием |3/2, + 3/2>.
Если мы затем повернем эту систему вокруг оси у, то у каждого из объектов со спином 1/2 появится некоторая амплитуда стать плюсом или стать минусом, так что вся система станет теперь смесью восьми возможных комбинаций |+++>,
|++->, |+-+>, |-++>, |+-->, |-+->,
|--+> или |--->. Ясно, однако, что их можно разбить на четыре группы, чтобы каждая соответствовала своему значению m. Прежде всего мы имеем |+++>, для которого m=3/2. Затем имеется тройка состояний |++->, |+-+> и |-++> — каждое с двумя плюсами и одним минусом. Поскольку каждый из объектов со спином 1/2 имеет равные шансы стать после поворота минусом, то каждая из этих трех комбинаций должна войти на равных паях. Поэтому возьмем комбинацию
где множитель 1/Ц3 поставлен для нормировки. Если мы повернем это состояние вокруг оси z, то получим множитель eij/2 для каждого плюса и e-if/2для каждого минуса. Каждое слагаемое в (16.27) умножится на eij/2, и общий множитель еij/2 мы вынесем за скобки. Такое состояние соответствует нашему представлению о состоянии с m=+1/2; мы приходим к выводу, что
Точно так же можно написать
что соответствует состоянию с m=-1/2. Заметьте, что мы берем только симметричные сочетания, у нас нет комбинаций, куда входят слагаемые со знаком минус. Они отвечали бы состояниям с таким же т, но с иным j. Это аналогично случаю спина 1, где (1/Ц2){|+->+|-+>} было состоянием | 1,0>, а (1/Ц2){|+->-|-+>} было состоянием | 0,0>. Наконец, мы имеем
Эта четверка состояний сведена в табл. 16.1.
Таблица 16.1 · СВОДКА СОСТОЯНИЙ
Все, что нам теперь нужно сделать, это взять каждое состояние, повернуть его вокруг оси у и посмотреть, сколько новых состояний оно создаст — пользуясь известной нам матрицей поворота для частицы спина 1/2. Можно поступать так же, как мы это делали в случае спина 1 [см. гл. 10, § 6 (вып. 8)]. (Только алгебры будет побольше.) Мы будем строго следовать идеям гл. 10 (вып. 8), так что подробных объяснений давать не будем. Состояния в системе S будут обозначаться
и т. д.; T-системой будет считаться система, повернутая вокруг оси у системы S на угол q. Состояния в T-системе будут обозначаться |3/2, + 3/2, Т>, |3/2, + 1/2, Т>и т. д. Ясно, что | 3/2, + 3/2, Т>это то же самое, что | +' + ' + ' > (штрихи всегда относятся к T-системе). Точно так же |3/2, +1/2, Т>будет равняться
и т. д. Каждое |+'>-состояние в T-системе получается как из |+>-, так и из |->-состояний в системе S с помощью матричных элементов из табл. 10.4 (вып. 8, стр. 267).
Если мы имеем тройку частиц со спином 1/2, то (10.47) надо заменить на
Пользуясь обозначениями табл. 10.4, получим вместо (10.48) уравнение
Это уже дает нам некоторые из наших матричных элементов <jT| iS>. Чтобы получить выражение для 3/2, +1/2, S> мы должны исходить из преобразования состояния с двумя плюсами и одним минусом. К примеру,
Добавляя два сходных выражения для + — +> и | — + +> и деля на ]/3, найдем
Продолжая этот процесс, мы найдем все элементы <jТ|iS> матрицы преобразования. Они приведены в табл. 16.2. Первый столбец получается из (16.32), второй — из (16.34). Последние два столбца были вычислены таким же способом. Теперь допустим, что T-система была повернута относительно S-системы на угол q вокруг ее оси у. Тогда а, b, с и d равны [см. (10.54), вып. 8]: а=d=cosq/2, с=-b=sinq/2. Подставляя это в табл. 16.2, получаем формулы, похожие на вторую половину табл. 15.2, но на этот раз для системы со спином 3/2.
Таблица 16.2 · МАТРИЦА ПОВОРОТА ДЛЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 3/2
Коэффициенты а, b, с и d объясняются в табл. 10.4.
Рассуждения, которые мы только что провели, были обобщены на систему с произвольным спином j. Состояния |j, m> можно составить из 2j частиц со спином 1/2 у каждой. (Из них j+m будут в ] + >-состоянии, а j-m будут в |->-состоянии.) Проводится суммирование по всем возможным способам, какими их можно сочетать, а затем состояния нормируются умножением на надлежащую постоянную. Если у вас есть способности к математике, то вы сможете доказать, что получается следующий результат:
где k пробегает все те значения, при которых под знаком факториала получаются неотрицательные величины.
