Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
- Превосходно, молодой человек! Но это все же еще не совсем точно. Давай-ка вычислим, чему же равно это отношение. Пусть до приращения икс достиг значения, которое мы обозначим просто х, а соответственный игрек - аналогично тоже просто буквой у, и пусть переменные, получив и та и другая свои приращения, получат значения x1 и у1. В таком случае можно написать, что
Δх = x1 - х;
Δy = y1 - y = (18x1 - x12) - (18x - х2),
а следовательно, отношение их будет
Δx / Δy = (18x1 - х12 - 18x + х2) / (x1 -x)
Вот что представляет собой тангенс наклона секущей. Ты был прав, говоря, что он измеряет скорость изменения функции. Но вот на что следует обратить внимание: а хорошо ли он ее измеряет? Ясно, что не очень хорошо, ибо его показания зависят от размера приращения независимой переменной. Это раз. Вовторых, ясно, что секущая может дать указания на скорость лишь в среднем, на измеряемом промежутке, то есть только в общем, а отнюдь не в тех важнейших подробностях, которые могут понадобиться в исследовании. И вот в силу этих двух особенностей это показание недостаточно. Что же следует сделать и как с ним поступить, дабы его коренным образом улучшить? Для этого мы начнем сближать х1 и х, тогда y1 и у также начнут сближаться. И если мы будем все уменьшать и уменьшать расстояние между х1 и х, то при безграничном уменьшении секущая... Что сделает наша секущая?
- А как ты будешь уменьшать? - спросил в свою очередь Илья, глянув на чертеж.
- Я буду придвигать х1 к х справа налево.
- 384 -
- В таком случае секущая станет поворачиваться около точки A. И в конце концов она станет не секущей, а касательной.
- Я бы только сказал не "в конце концов", а в пределе. Так! Ну, а теперь посмотрим, что получится с этим уменьшением приращений не на чертеже, а в нашей формуле отношения приращений:
Δx / Δy = (18x1 - х12 - 18x + х2) / (x1 -x)
Дальнейшие преобразования уже несложны:
Δx / Δy = (18x1 - х12 - 18x + х2) / (x1 -x) = [18(x1 - x) - (х12 - х2)] / (x1 -x) =
= [18(x1 - x) - (х1 - х)(х1 + х)] / (x1 -x) = 18 - (х1 + х)
Теперь, если х1 безгранично приближается к х, а у1 тем же порядком приближается к у, то, очевидно, мы уже получаем полное право в пределе не делать отличия между х1 и х, а просто положить их равными друг другу. Тогда правая часть последней формулы превратится в
18 - 2х.
Это и будет искомая производная. А чтобы найти максимум, мы должны приравнять ее нулю, решить получившееся уравнение относительно икса - и все. Отмечу еще, что предел отношения обозначается теперь уже не через отношение дельт, а через отношение латинских d; пишется
dy/dx = 18 - 2х
а читается "дэ игрек по дэ икс". Но, конечно, для более сложных функций все это сделать труднее. Дифференциальное исчисление и занимается установлением формул и правил, с помощью которых можно, зная выражение у через х, найти закон "изменения скорости изменения" у, то есть найти выражение для производной dy/dx. Интегральное исчисление, как мы выяснили, занимается обратной задачей.
- Очень хорошо! - воскликнул Илюша. - Теперь еще только один вопрос. Ты обещал рассказать про гору Пюи-де-Дом и Паскаля.
- 385 -
- Хорошо! Это происходило в то самое время, когда европейские мыслители нового времени начали деятельно и успешно бороться со схоластическим (только не путан с нашими схолиями!) мировоззрением. Схоласты старались все доказывать не опытным путем, а при помощи ссылок на авторитеты. Дело доходило до очень смешных, с нашей точки зрения, разговоров. Одни из очень видных схоластических мудрецов, например, утверждал, что чудеса, о которых рассказывают монахи, вещь вполне возможная, и ссылался при этом всерьез на поэмы римского стихотворца Овидия, который просто писал очень красивые и замысловатые сказки в стихах о волшебных превращениях[30]. А наш мудрец все это принял за чистую монету. Если так рассуждали в то время ученые-философы, то можешь себе представить, что делали люди менее образованные! Так вот, в то время единственным авторитетом в области физики признавался Аристотель. И мнения этого "великого стагирита", то есть уроженца города Стагиры, нельзя было оспаривать. Аристотель объяснял явление всасывания, которое наблюдается в насосе, тем, что "природа боится пустоты". Эта странная черта характера природы никого не удивляла, никто и не подумал найти ее причину, и дальше этого объяснения не шли. Но в семнадцатом веке, когда техника уже значительно ушла вперед и, в частности, в связи с развитием горного дела развилась техника водоотливных средств, Торичелли под влиянием Галилея произвел замечательные опыты и неожиданно для всех мудрецов нашел свою знаменитую "торичеллиеву пустоту". Паскаль повторил опыты Торичелли, но с очень важным усложнением; он делал их на разной высоте над уровнем моря, дабы обнаружить различия в давлении атмосферы на разных высотах, вполне объясняющие боязнь пустоты. Это ему удалось в полной мере. По просьбе Паскаля его шурин проделал опыты на горе Пюи-де-Дом, на сравнительно большой высоте. Паскаль так ценил эти опыты на горе Пюи-де-Дом, что придумал себе даже особенный псевдоним "Луи де Монтальт", что обозначает "Луи с Высокой Горы". Это был великий бой ученых с невежеством, и высота Пюи-де-Дом, этот Монтальт Паскаля, осталась в этой битве за нами!
- 386 -
- Ура! - закричал Илюша. - Наша взяла! А отбить они ее уже больше не могли?
- Нет! Шалишь! - отвечал Радикс. - Противник предпринимал неоднократные контратаки, но был отбит с тяжелыми потерями.
- Так им и надо! А теперь расскажи мне подробней о Галилее.
- Видишь ли, - не сразу ответил Радикс, - дело не столько в самой математике у Галилея, сколько в его прогрессивных научных стремлениях и в распространении его убеждений.
Вместо схоластических разглагольствований и бесконечных ссылок на древних, он пытался находить законы природы, определить их и математически сформулировать. Он сам говорил: "Геометрия учит нас изобретательности", то есть геометрия учит ставить физический опыт так, чтобы его результат можно было бы изложить просто, кратко и ясно при помощи математической формулы. Галилей исследовал законы падения тел. И помогли ему в этом Архимед, Аполлоний, а также и древние вавилоняне.
- Хорошо! Но ты все-таки расскажи мне пояснее об этой математической формулировке...
- Видишь ли, существует понятие о "математическом естествознании", которое в общем сводится к разысканию тех математических законов, которые и есть законы природы. Их изучение началось очень давно. Нет сомнения, что вавилонские астрономы были зачинателями этого. Правда, у них сюда еще запутывается лженаука астрология, гадание по звездам, но мы на это можем не обращать внимания. Вернемся к тому дельному и трезвому, что у них было. Это были, например, попытки с помощью некоторых математических правил выразить движение небесных тел Солнечной системы. Так как календарь для человеческого общества вещь немаловажная, то эта тема никогда от внимания ученых не ускользала. Важные попытки были сделаны и в Древней Греции. В начале нашей эры (в эллинистическую эпоху) была уже создана вполне пригодная для практики и по-своему превосходная Птолемеева система. Древнегреческая геометрия развивалась бурно, успехи у нее были необыкновенные, но приложений ее на практике было чрезвычайно мало. Ал-Хорезми, ученый-араб, даже относился к ней надменно, ибо не видел от нее практической пользы. И только ко времени эпохи Возрождения, на почве совершенно нового мира, вплотную ознакомившись с наукой древности, такие ученые, как Галилей и Коперник, смогли заново начать математическое естествознание, применив высшие завоевания древней науки к астрономии и механике. Это и определило расцвет нашей цивилизации.
- 387 -
Надо понимать, что математика формировалась за долгие тысячелетия из многовековых наблюдений законов природы (раньше всего астрономии), из успешных и многообразных опытов человеческой трудовой жизни (навигация, строительство, различные ремесла, определение границ земельных участков, художества и многое другое в том же роде). Наблюдаемые или, так сказать, угаданные закономерности затем стараются привести в систему, причем довольно скоро обнаруживается, что для построения научной системы, опирающейся на одно дело (например, на землемерие), требуется одна математическая и логическая система (или дисциплина), а для другого дела (скажем, для живописи и декораций) совершенно иная, хотя обе они как бы намертво скреплены незыблемой логикой, трезвым суждением, а кроме того, постоянно, почти ежеминутно проверяются на практике. Далее стараются все, так сказать, здание некоторой логико-математической системы превратить в безукоризненно-стройное построение, опирающееся на небольшой ряд неоспоримых (нередко и недоказуемых) положений, причем зачастую различные системы (или дисциплины) понемногу врастают одна в другую и роднятся друг с другом. Затем постепенно возникают очень широкие обобщения, которые позволяют довольно сложным способом объединять эти разные дисциплины, но, разумеется, это уж такие хитрые отвлеченности, что нам с тобой пока можно о них только повздыхать!.. Так вот как оно происходит и развивается, мой юный друг. Все это совсем не так просто, но все же это дело человеческого рассудка, и постепенно со всеми этими роскошными чудесами нашей мысли можно понемногу ознакомиться и освоиться.
