Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
Илюша помолчал минутку.
- А это что такое? - спросил доктор У. У. Уникурсальян.
- Вот что, - произнес он наконец, - мне кажется, что теперь я могу разобраться, почему при помощи логарифмов умножение заменяется сложением. Если взять гиперболическую площадку от х = 1 до х = n, то это будет логарифм числа n. Если к нему рядом приладить еще одну площадку величиной от х = 1 до х = m, то есть логарифм числа га, то, как мы уже делали раньше, придется вторую площадку растянуть от n до nm, удлинив абсциссу в m раз. Значит, тут конечные абсциссы (то есть числа) перемножаются, в то время как площади складываются.
- 373 -
Вот теперь мне, кажется, все ясно. Значит, одно из конических сечений имеет самое тесное отношение к прогрессиям. Как все это связано!
- Вот эта связь различных разделов математики друг с другом и есть величайшая драгоценность нашей науки[27].
- Как интересно! - воскликнул Илюша. - А скажи, пожалуйста, когда были открыты логарифмы?
- В начале семнадцатого века Джоном Непером, шотландцем.
- А-а! - сказал Илюша. - Вот в чем дело-то! Вот при чем тут шотландский сыр!
- Конечно! Про этого Непера говорили, что он увеличил вдвое продолжительность жизни астронома, потому что с логарифмами можно насчитать вдвое больше, чем без них. Разумеется, нетрудно догадаться, что все, что мы проделали с неделимыми, можно отлично перевести и на современный язык теории пределов, стоит только вместо суммы "неделимых полосок" рассматривать предел суммы бесконечно утончающихся вписанных или описанных прямоугольничков, как мы делали уже в Схолии Пятнадцатой.
- А теперь расскажи еще про гиперболу. Греки определили параболу как геометрическое место. А гиперболу нельзя так определить?
- Можно. И гиперболу и эллипс. В эллипсе есть две весьма замечательные точки. Чтобы показать их тебе, я впишу в конус два соприкасающихся шара: один поближе к вершине конуса, другой подальше. Второй шар будет побольше, первый поменьше. Теперь я просуну между ними секущую плоскость (которая, разумеется, не имеет толщины). Оба шара будут ее касаться в одной точке, если плоскость будет лежать параллельно основанию конуса. И эта точка касания будет центром тон окружности, которая будет сечением конуса этой самой плоскостью. Теперь я начну секущую плоскость наклонять.
Так как шары ее крепко держат, то мы попросим первый шар, который поменьше, потесниться и сделаться немного меньше.
Вот как чертится эллипс.
Кто скажет, в каком отношении друг к другу находятся отрезки F1E и F2E - с одной стороны, и большая ось эллипса AB -с другой? Карандаш уверяет, что стоит ему дойти до точки...
Когда таким образом нам удастся повернуть секущую плоскость под некоторым углом к основанию конуса, то сечение конуса станет уже не кругом, а эллипсом, а два шара будут касаться секущей плоскости (а тем самым и плоскости эллипса) в двух точках, а не в одной.
- 374 -
Эти две точки называются фокусами эллипса. Так вот, эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух фокусов есть величина постоянная. По нашей фигуре эта постоянная равна длине общей касательной к двум шарам. Кстати сказать, не так трудно представить себе, что прямые, соединяющие фокусы с любой точкой эллипса (его радиусы-векторы), каждый раз образуют между собой некоторый угол. Так вот биссектриса этого угла как раз будет нормалью эллипса к данной точке, а следовательно, найти и касательную к эллипсу не очень сложно. В таком случае гипербола есть геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух фокусов есть величина постоянная. Вот попробуй нарисуй чертеж с конусом и двумя шарами, при помощи которого это было бы легко доказать. Из этого нового определения эллипса получается простой способ черчения эллипса. В двух точках - фокусах - ты накалываешь на бумагу две кнопки. Потом борешь нитку и связываешь ее колечком так, чтобы вся длина этого кольца была paвна расстоянию между фокусами плюс та самая постоянная сумма расстояний от точек эллипса до двух фокусов. Надеваешь эту связанную нитку на кнопки, а потом поддеваешь ее кончиком карандаша, натягиваешь и чертишь.
Вот как надо чертить гиперболу.
- 375 -
Карандаш тебе как раз вычертит эллипс. Чем ближе поставить при одной и той же нитке фокусы-кнопки, тем больше эллипс будет походить на круг.
Чем дальше их расставить, тем более продолговатым будет эллипс. Если поставить кнопки совсем рядом, а нитку взять подлинней, то эллипс трудно будет отличить от круга, то есть когда фокусы сходятся в одной точке, эллипс превращается в круг. А если ты так далеко расставишь кнопки, что нитка совсем натянется, эллипс превратится в отрезок прямой.
- Так, - отвечал Илюша. - Обязательно попробую. Эллипс ведь очень красивая фигура! Ну, а если взять не сумму расстояний до двух точек и не разность, а, например, произведение?
- Тогда получится овал или восьмерка. Эта фигура называется лемнискатой. Ее построил математик Яков Бернулли. Уравнение этой кривой будет не второго порядка, как все конические сечения, а четвертого.
- Ишь какая важная!
- Это еще невелика важность, - ответил, усмехнувшись, Радикс.
- А начертить параболу и гиперболу труднее, чем эллипс?
- Нет, - отвечал Радикс, - не так уж трудно. Гиперболу, можно начертить так. Возьмем линейку и закрепим ее в одном из фокусов одним концом так, чтобы она могла вращаться вокруг фокуса, как на шарнире. Гипербола определяется, как мы говорили, постоянной разностью между расстояниями от каждой ее точки до двух фокусов. Назовем эту разность 2а и расстояние между фокусами 2с, причем с всегда больше а. У эллипса, кстати сказать, будет как раз наоборот, если называть там 2а суммой соответствующих расстояний.
Так вот, берем линейку, которая должна быть длиннее расстояния 2с, и нитку, длина которой равна длине линейки минус 2а. Один конец нитки закрепляем кнопкой в свободном фокусе (то есть не в том, в котором мы закрепили линейку), а другой ее конец прикрепляем к свободному концу линейки. Теперь, если натягивать кончиком карандаша нитку по линейке и в то же время поворачивать линейку около фокуса, карандаш начертит гиперболу.
- 376 -
Прошу любить да жаловать! Это сама Лемниската Яковлевна Бернулли. Основное ее свойство в том, что произведение [{F1A) (AF2)] есть величина постоянная, то есть площадь квадрата со стороной F1O равна площади прямоугольника со сторонами F1А и AF2.
- Это я тоже вычерчу! - отвечал Илюша. - А параболу?
- А параболу чертят при помощи линейки и угольника. Ты ставишь линейку по директрисе параболы и прикладываешь к ней вплотную угольник малым катетом. Потом берешь нитку, равную по длине большому катету, и закрепляешь ее с одной стороны в фокусе параболы кнопкой, а с другой - в конце большого катета, у острого угла. Натягиваешь нить карандашом, а в то же время заставляешь малый катет угольника скользить по линейке.
- Ну хорошо, - сказал Илюша. - А как же решается уравнение третьей степени, то есть кубическое? Мы чертили график этого уравнения и находили максимум и минимум ординаты. А как найти корни?
Можно увидеть Ледшискату, если удастся достать арагонитавую либо селитрянуго пластинку и рассматривать ее в поляризованном свете.
- 377 -
- В частных случаях иногда кубическое уравнение решается довольно просто. Вот задача индусского математика Бхаскара Ачариа, жившего в двенадцатом веке нашей эры:
х3-6х2+ 12x; = 35.
Достаточно в левой части прибавить и вычесть восемь, чтобы получить точный куб:
{х3 - 6x2 + 12x -8) +8 = 35,
х3 - 6х2 + 12х - 8 = 27;
(x - 2)3 = 27;
х - 2 = 3; х = 5.
Индусский математик нашел только один корень. Другие два будут комплексные, и их легко найти, выделив один из множителей нашего четырехчлена, то есть:
Вот как чертят параболу.
- 378 -
x3 -6x2+ 12x - 35 = 0;
х3 - 5х2 - х2 + 5х + 7х - 35 = 0;
х2(х - 5) -х (x - 5) + 7 (х - 5) = 0;
(х - 5) (х2 - х + 7) = 0.
Затем ты приравниваешь нулю трехчлен во второй скобке и решаешь квадратное уравнение. Так мы найдем два комплексных корня. А для общего случая есть специальная формула, открытая в шестнадцатом веке итальянским математиком Тарталья, хотя ее чаще называют формулой Кардана, по имени другого математика, современника Тартальи, который ее впервые опубликовал. История этого Тартальи весьма поучительна. В начале шестнадцатого века его родной город Брешиа взяли приступом неприятельские войска. Тарталья, шестилетний мальчик, был найден с разрубленным лицом около бездыханного тела своего отца. Из-за этой раны он так и остался заикой на всю жизнь, а "тарталья" как раз и значит "заика" - это не имя его, а прозвище. Мать его после кончины отца осталась в такой нищете, что взяла своего сынишку из школы, как только он выучил азбуку до буквы "к". Но мальчик горячо любил науку и сам выучился грамоте, потом древним языкам, без которых в то время нельзя было учиться дальше, а затем овладел математикой. А ведь он был до того беден, что даже не мог купить себе бумаги для вычислений и проделывал их на плитах старого кладбища! Тем не менее он стал ученым и сделал немало для алгебры[28]. Вот какая замечательная настойчивость!
