Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
- Несложно, если не считать того, что во втором столбце стоят не только точные степени десяти, но и все промежуточные числа, - отвечал Радикс. - А записываем мы это так:
log232 = 5,
то есть: "Логарифм тридцати двух при основании два равен пяти". А при основании десять тот же самый логарифм будет равен:
1,50514997831990597607,
с точностью до девятнадцатой цифры после запятой.
- А можно перейти от одного основания к другому? - спросил Илюша.
- Это нетрудно, - отвечал Радикс. - Если ты разделишь двоичный логарифм на десятичный логарифм, то получишь так называемый модуль перехода, с помощью умножения на который из любого десятичного логарифма получишь двоичный. В данном случае этот модуль будет примерно равен 3,3219. Вывести общее правило для получения модуля перехода тоже дело нехитрое. Раз ты умеешь из старого основания а получать любое число, то задача, очевидно, сводится к тому, чтобы из нового основания b получить старое основание а.
Но для этого новое основание b надо возвысить в степень с показателем...
- Логарифм a при основании b, - отвечал Илюша.
- Правильно. Значит, если возвести новое основание в степень logba, то будет а. Ну, а если нужно получить какое-нибудь число N, в какую степень ты должен возвысить полученное число а?
- В степень, показатель которой есть логарифм этого числа N при основании а, то есть logaN.
- Так. Значит, чтобы из b получить N, нужно сначала возвысить b в степень logba, а потом результат возвысить в степень loga N. Но при возвышении степени в степень показатели перемножаются, следовательно, можно сказать, что для получения числа N надо возвысить основание b в степень с показателем
logba • logaN.
- 364 -
Это и есть, стало быть, логарифм числа N при основании b, и ты можешь написать
logbN = logba • logaN
Значит, logba и есть модуль для перевода логарифмов при основании а в логарифмы при основании b. Он есть не что иное, как логарифм "старого" основания а по "новому" основанию b. Ну, а теперь попробуй сообразить, какая бы вышла таблица, если бы вместо основания "два" мы взяли основание "восемь" (см. таблицу).
- Основание увеличивается... значит, против единицы в первом столбце будет стоять теперь уж не два, а восемь... Ну, так, значит, логарифмы уменьшатся. Вот какая будет тогда табличка. И действительно, так и выходит: здесь множитель 1/3 есть логарифм "старого" основания "два" по "новому", то есть по основанию "восемь". А если бы от этой новой таблички надо было перейти к логарифмам с основанием "два", то пришлось бы множить на три, а три и есть логарифм восьми по основанию "два".
- Правильно, юноша! Ну вот, как видишь, штука не такая хитрая. А польза от логарифмов очень большая. Представь себе, что надо извлечь из семи корень шестьдесят седьмой степени. Как ты это сделаешь? А с логарифмами это несложное дело. Взял таблицы, нашел логарифм семи, разделил его на шестьдесят семь, потом нашел опять в таблицах число, соответствующее частному от деления, - вот и готово!
- Интересно! - сказал Илюша, - А сколько будет корень шестьдесят седьмой степени из семи?
- Немножко больше единицы.
- Ну да, - отвечал Илюша, - конечно, меньше единицы быть не может, потому что дробь от возведения в степень будет только уменьшаться.
Ясно! Ну, а при чем здесь гипербола?
- История довольно интересная, но немножко длинная.
Если, впрочем, тебе охота послушать, можно рассказать. Начнем с того, что возьмем гиперболу, уравнение которой будет:
y = 1/x
- 365 -
Я думаю, что ты уж встречался с ней, и не однажды. Если ее начертить, то получится хорошо известный тебе график обратной пропорциональности. Ясно, что если рассматривать гиперболу как коническое сечение, то мы получим только одну ее ветвь. Подставляя в уравнение данные, начиная с единицы, мы получим табличку. А теперь возьмем часть площади под гиперболой, которая у нас заштрихована на чертеже, - часть гиперболы, ограниченную двумя ординатами, соответствующими абсциссам "один" и "два", и осью абсцисс. Вот с этим-то небольшим кусочком гиперболы мы начнем колдовать. Как ты полагаешь, удастся ли нам сдвинуть этот гиперболический трапецоид направо, вдоль по абсциссе так, чтобы ордината, соответствующая точке абсциссы "один", попала как раз на то место, где сейчас находится ордината, соответствующая точке абсциссы "три"?
- Хм... пока не знаю... - протянул Илюша. - Ну, посмотрим!
- Посмотрим! - посмеиваясь, согласился Радикс. - Мы ведь можем изобрести специальный прибор для рассмотрения этой проблемы. Вот он, смотри!
Перед Илюшей немедленно появился большой, немного наклонный стол, вроде витрин в музейных залах. На нем под зеркальным стеклом шли оси координат. Однако на этот раз Радикс почему-то повернул эту систему на девяносто градусов против часовой стрелки, так что теперь ось игреков пошла горизонтально налево, а ось иксов стала вверх вертикально.
Между осями проходила ветвь гиперболы, близко подходя наверху к оси иксов.
Когда мальчик пригляделся, он заметил, что это не одно стекло, а два, между которыми имеется зазор шириной в два миллиметра, для которого гипербола и ось абсцисс образуют сплошные продольные стенки. Промежуток между этими двумя стенками был сверху и снизу открыт. Радикс взял тоненькую резиновую перегородочку и вставил ее снизу в зазор против точки на оси абсцисс, отвечающей значению х = 1, и перегородочка стала вплотную в промежуток между осью абсцисс и гиперболой. Затем Радикс взял банку с ртутью и осторожно сверху налил ртути в зазор между гиперболой и осью абсцисс, так что ртуть заполнила промежуток между ними над перегородкой до уровня, отмеченного х = 2 на оси иксов.
- Вот кусочек гиперболической площади, - сказал он. - Так?
- 366 -
Затем Радикс осторожно передвинул резиновую перегородочку от абсциссы "1" до абсциссы "3".
Илюша внимательно посмотрел и увидел, что теперь поверхность ртути оказалась сверху против точки с абсциссой х = 6.
- Понятно? - спросил Радикс.
- Из одного трапецоида вышло три, - задумчиво констатировал мальчик. - Было от одного до двух, а теперь стало от трех до шести. А как это получилось, не знаю,...
Радикс махнул ручонкой, и вся ртуть немедленно исчезла.
Поглядев машинально на банку, Илюша заметил, что количество ртути в банке снова увеличилось, а сбоку прыгает одна капелька, никак не может попасть обратно в банку.
Вот как Радикс сначала поставил этот чертеж
А потом повернули обратно
- 367 -
- Возьмем, - сказал Радикс, - очень тонкую полоску, толщиной в долю микрона. Если взять еще тоньше, так, пожалуй, и не увидишь. Так ведь и делали математики в старое время, когда свойства бесконечно малых не были еще достаточно хорошо исследованы и обсуждены. В этом роде действовали, например, Архимед, Кеплер и Кавальери.
Это было начало возникновения анализа бесконечно малых, и при разрешении некоторых, сравнительно простых вопросов в руках крупных ученых этот несовершенный способ давал серьезные, а для тех времен даже и решающие результаты. Во всяком случае, без этих первых, робких и грубых попыток интегрировать и дифференцировать с помощью таких, как выражался Кавальерн,"неделимых" полосок вряд ли наука сумела бы создать то, чем стала математика в наше время. Итак, мы берем такую тончайшую полоску как раз против абсциссы с пометкой "один". Впрочем, сказать по совести, мне надоело возиться с перегородкой, и я привык, чтобы ось иксов шла горизонтально. Поэтому я попрошу ртуть теперь уж без подпорок занимать полагающееся ей пространство между двумя вертикальными ординатами гиперболы.
Оси послушно повернулись, а Радикс сердито глянул на банку со ртутью. Бедная капелька, которая никак не могла попасть обратно в банку, опрометью кинулась обратно к стеклянной гиперболе и немедленно растянулась против абсциссы "1" тоненькой-претоненькой блистающей серебряной ниточкой.
- Хороша "неделимая" полоска? - спросил Радикс.
- Да, - отвечал Илюша, - уж поистине "неделимая".
- Допустим! - усмехнулся Радикс. - Пусть на этот раз будет по-твоему. Это, конечно, не совсем по Кавальери... Ну, все равно, не будем уж на этот раз придираться!.. Но представь себе, что я хочу ее переместить к абсциссе с пометкой "три". Поскольку эта полоска имеет некоторую конечную толщину, хоть и очень небольшую, она, чтобы уместиться под гиперболой, должна стать короче, а самое главное - толще.
Так вот: во сколько раз она станет толще?
- Поскольку уравнение гиперболы дает для игрека величины, обратные иксу, то ясно, что для абсциссы "один" мы и ординату получаем "один", а для абсциссы "три" мы получаем "одну третью". Опираясь на уравнение гиперболы, я утверждаю, что наша полоска должна, если ее перенести от абсциссы "один" к абсциссе "три", стать толще в три раза, ибо одна треть в три раза меньше единицы. По-моему, иначе быть не может.
