Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
4π2а = 2πr1,
то есть равна длине окружности, радиусом которой является радиус-вектор в конце первого витка спирали. Вот и получается при помощи геометрического построения совершенно точное определение длины окружности. Об этом и говорил византиец Евтокий Аскалонский.
- 359 -
Средневековые математики не разобрались в том удивительном построении, которое мы сейчас вкратце рассмотрели. То, что писал тонкий комментатор Архимеда - Евтокий об этом решении, вовсе их сбило с толку: начали даже поговаривать, что "по-видимому" сама геометрия - наука "неточная"! Их путало еще и то, что им уже было известно о существовании целого ряда приближений для определения числа π: в библии дается число 3,0; у Витрувия, римского архитектора, - 3,125 (вавилонское приближение); у самого Архимеда - 3,14... Которое из решений правильно? А спирали Архимеда вовсе не давали численного решения, что еще больше их смущало.
- Как интересно! - воскликнул Илюша. - Это напоминает случай с диагональю квадрата: построить - одна минута, а вычислить невозможно. Только со спиралью гораздо сложнее...
- Это верно. Но надо еще принять во внимание, что это не простое геометрическое построение, а такое, в которое входит "механическая кривая", для которой движение есть очень важный элемент. Многие древнегреческие математики были из-за этого не совсем довольны построением Архимеда, хотя это самый настоящий шедевр математической изобретательности и остроумия. Однако разобрать весь ход рассуждений Архимеда, понять все его доказательства - дело не такое простое, как мой коротенький рассказ. Уникурсал Уникурсалыч тебе объяснил, как ты должен поступить. Ты понял?
- Почти... Я буду стараться...[26]
- Стоит постараться, уверяю тебя. Это замечательное сочинение Архимеда оказало огромную помощь европейским ученым, когда они начали строить высший математический анализ.
- А почему ты вспоминал про веретена и про центры тяжести?
- Центры тяжести различных тел тоже вычисляются путем интегрирования. Что же касается веретена, то это веретено Торичелли...
- Это тот самый, чья "торичеллиева пустота"?
- Тот самый. И его веретено - тело вращения, которое получается вращением кривой обратных величин вокруг оси игреков. Это было очень интересным и неожиданным открытием. Оно было сделано в одно и то же время Торичелли и замечательным математиком Бонавентурои Кавальери, чье имя тебе тоже должно быть известно. Дело в том, что вершина этого тела уходит невероятно тонкой иглой в бесконечность.
- 360 -
И все-таки оказалось, что объем этого бесконечно длинного тела вычислить можно, так как игла, уходя вверх, безгранично утончается, причем это утончение происходит таким образом, что уменьшение ее толщины компенсирует ее удлинение.
Если эту кривую вращать около оси игреков, то получится тело варщения, которое и будет веретеном Торичелли; игла его, безгранично утончаясь, уходит в бесконечность.
Другими словами, если бы столб воды, подымаясь, наполнял все большую и большую часть этого веретена при неограниченном увеличении его высоты, объем всего столба все-таки стремился бы к конечному пределу. Когда это вычисление было сделано, математики еще немного подвинулись вперед в вопросе о том, как быть с задачами, в которых участвует бесконечность.
- А значит, раньше они не знали, как это надо делать?
- Многие утверждали, что бесконечность вообще нечто такое, что выше человеческого понимания. Ученые всегда боролись с этим суеверным отношением к понятиям, которые ведь изобрел сам человек. Смысл этой борьбы, во-первых, в утверждении наукой, что нет такой тайны природы, которой нельзя одолеть, а во-вторых, в стремлении добиться того, чтоб самые хитрые и трудные мысли человека были не просто чудесами, а работали на пользу людей.
- Ну, а про магнитные и электрические поля я как-то слышал, что целый ряд задач из физики решается тоже таким путем?
- 361 -
- Конечно. Без того, что называется в математике анализом, то есть без дифференциалов и интегралов, вообще никакой электротехнической культуры не было бы, а тем более таких чудес, как радио, телевидение и прочее.
- Так, - сказал Ильюша, - хорошо. А теперь ты расскажи мне немножко про логарифмы. Правда, мы скоро их будем проходить, но все-таки ты расскажи. И потом, какое же они имеют отношение к гиперболе?
Спираль Архимеда, которая умеет делить угол на любое число
- Если взять две прогрессии и написать одну около другой - арифметическую и геометрическую, - то мы получим табличку, которая напечатана на странице 361.
Второй столбец (под буквой "Г") - это ряд степеней числа "два". А первый (под буквой "А") дает самые степени. Не правда ли?
- Конечно, - отвечал мальчик. - Два в четвертой степени будет шестнадцать, а в пятой - тридцать два. Понятно!
- Так вот, допустим, что надо умножить четыре на шестнадцать. По правилу сложения степеней, так как четыре - это два в квадрате, а шестнадцать - это два в четвертой степени, просто можно сложить эти показатели. Складывая два и четыре получаем шесть, а два в шестой степени есть шестьдесят четыре. Так как есть таблица, то нет необходимости вычислять, чему равно два в шестой степени, а просто надо найти то число, которое стоит во втором столбце рядом с цифрой "шесть" из первого столбца. Следовательно, теперь можно вместо умножения складывать. Ты находишь во втором столбце свои множители. Потом выписываешь соответственные им числа из первого столбца, складываешь их, а получив сумму, смотришь, какое число во втором столбце соответствует этой сумме. Ну-ка, попробуй сам!
Декартова равноугольная спираль. Она может заменять умножение сложением.
- 362 -
- Сейчас, - сказал Илюша. - Я буду множить 2048 на шестнадцать. Двум тысячам сорока восьми соответствует и первом столбце одиннадцать, шестнадцати соответствует в первом столбце четыре. Надо, следовательно, сложить одиннадцать и четыре. Получаю пятнадцать. Ищу пятнадцать в первом столбце, а рядом нахожу во втором столбце ответ - 32768.
Проверяю умножением... Совершенно верно!
- Ну вот это и есть принцип логарифмов. Сложение заменяет умножение, вычитание заменяет деление...
- А! Как со степенями! - воскликнул Илюша. - Значит, чтобы возвести в степень, надо умножить, а чтобы извлечь корень - разделить. Я попробую! Во-первых, деление. Например, нужно разделить 524288 на 4096. Значит, я должен вычесть из девятнадцати двенадцать. Получается семь, то есть выходит в результате деления сто двадцать восемь. Ну-ка, попробуем на бумажке. Так и есть! Теперь, во-вторых, я хочу возвести шестьдесят четыре в квадрат. Значит, надо шесть умножить на два. Получаю двенадцать, окончательный результат по таблице - 4096. Проверим!.. Точно! Теперь, в-третьих, из 65 536 я извлекаю квадратный корень. Значит, придется шестнадцать разделить на два. Получаю восемь. Выходит двести пятьдесят шесть. Ну-ка, я проверю!
Повозившись немного, Илюша извлек корень и сказал:
- Да, вот уж с корнем-то ясно, какая получается значительная экономия времени! А тут разделил на два - и все.
А если надо кубический корень извлечь? С кубическим совсем заплачешь... Впрочем, постой-ка! Ведь с этой табличкой можно, наверно, и кубический корень попробовать извлечь. Если я возьму, например, число 262144 и извлеку из него кубический корень? .. Значит, нужно восемнадцать разделить на три.
Получаю шесть. А шести соответствует число шестьдесят четыре. Проверим! Шестьдесят четыре в квадрате, как я уже выяснил, равняется 4096. Ну, а если я умножу это число еще раз на шестьдесят четыре?.. Совершенно верно. Ведь так можно, пожалуй, и четвертой степени корень извлечь? Правильно?
Извлекаю корень четвертой степени из числа 1 048 576... и получаю тридцать два. А ну-ка, проверим! Тридцать два в квадрате будет 1024, а 1 024 в квадрате - 1048576. Да это замечательный способ! А что такое основание логарифмов?
- В нашей табличке основанием будет два. Это то число, степень которого ты видишь во втором столбце. Общий принцип сопоставления двух прогрессий, арифметической и геометрической, был известен еще Архимеду. Это, конечно, не значит, что Архимед представлял себе смысл логарифмов, но для математиков нового времени его замечания могли иметь известное значение.
- 363 -
- Теперь я понимаю, что значит эта фраза: "Логарифм какого-нибудь числа есть показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить это число". В нашей табличке основание есть двойка, первый столбец - это логарифмы, а второй - числа. Ну, а чем же отличаются настоящие таблицы логарифмов от этой?
- Только тем, что у них основание не два, а десять.
- Так это очень просто! - вскричал Илюша.
- Несложно, если не считать того, что во втором столбце стоят не только точные степени десяти, но и все промежуточные числа, - отвечал Радикс. - А записываем мы это так:
