Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
1;2+ 1;3 + 2;...;n + (n-1).
Сумма всех этих чисел будет, очевидно,
1+3 + 5 + ... +2n- 1.
Приравнивая сумму "по прямым" сумме "по гномонам", получаю:
1+3 + 5 + ... + 2n-1 = n2,
то есть сумма и нечетных чисел равна n2. Как будто недавно мы с тобой уже встречались с этим вавилонским равенством?
- Встречались, - отвечал Илюша.
- Прелестно! -обрадовался Радикс. -Хорошо, что ты не забыл об этом. А теперь далее. Я напишу в каждой горизонтальной полосе числа от единицы до n, то есть
1, 2, 3, 4, 5, ... ,n,
и ясно, что сумма их будет равна в каждой полосе
(n + 1)n / 2
- 349 -
по правилу суммы арифметической прогрессии. Раз это так, то ясно, что сумма всех полос доски будет равна
(n + 1)n2 / 2
Теперь рассмотрим, каковы будут суммы "по гномонам". Ясно, что сумма чисел энного гномопа будет
n2+ (1 + 2 + 3 + ... + n-1).
Эту сумму можно записать еще иначе, то есть:
n2+ n(n + 1) / 2
и окончательно:
2/3n2 - (1/2)n
Теперь я буду давать в этой формуле числу и значения 1, 2,3... и до n включительно. Суммы тогда будут равны по окончательному написанию:
3/2 • 12 - 1/2 • 1
3/2 • 22 - 1/2 • 2
3/2 • 32 - 1/2 • 3
.........
.........
3/2 • n2 - 1/2 • n
Сложив все это столбиком, получаю для всех полос:
3/2 • S2 - 1/2 • S
где S2 есть сумма квадратов первых и натуральных чисел, а S - сумма их первых степеней. Приравнивая, как и ранее, сумму "по прямым" сумме "по гномонам", получаю:
3/2 • S2 - 1/2 • S = n2(n + 1) / 2
- 350 -
а отсюда определяю, чему равняется S2 и после ряда несложных переделок, которые, конечно, ты и сам не откажешься выполнить, получаю сумму квадратов первых и натуральных чисел, которая будет:
S2 = (2n + 1)(n + 1)n / 6.
Советую тебе еще написать в клетках шашечницы пифагорову таблицу умножения и по ней найти, чему равна сумма кубов первых n чисел. Если же ты напишешь в клетках квадраты чисел пифагоровой таблицы, то сможешь найти и сумму пятых степеней. Однако нам пока это все, кроме суммы квадратов, не понадобится. Приступим теперь к вопросу об интегрировании. Допустим, что нам дана парабола, уравнение которой будет:
y = х2,
и нам нужно эту функцию проинтегрировать, или найти площадь, ограниченную параболой от начала координат до точки с абсциссой b, то есть площадь, ограниченную отрезком самой параболы, отрезком оси абсцисс и ординатой в точке х = b.
Для этого мы сначала делим интервал (то есть отрезок абсциссы) от нуля до b на n равных частей. Длина каждой такой части будет
h = b / n
Вся площадь теперь разбита на трапецоиды, ширина каждого из которых равна, как уже указано, b/n, а вышину мы определяем, согласно уравнению кривой, для последовательных точек параболы, как
h2, h22h2, 32h2, ... , n2h2,
ибо ясно, что если х равен h, то у будет равен h2 и так далее.
Но если это так, то площади последовательных прямоугольников, которыми мы заменяем наши трапецоиды, будут равны
hh2, h22h2, h32h2, ... hn2h2.
- 351 -
Видно, что сумма прямоугольников больше, нежели сумма трапецоидов, но при безграничном увеличении числа и искомая площадь будет пределом суммы прямоугольничков, то есть пределом следующего выражения:
h(h2 + 22h2 + 32h2 + ... + n2h2) = h3(12 + 12 + 22 + 32 + ... + n2) = b3/n3(12 + 12 + 22 + 32 + ... + n2)
А так как шахматная доска уже объяснила нам, что сумма первых и квадратов натурального ряда равна
(2n + 1)(n +1)n / 6
то мы, подставляя это выражение в предыдущую формулу, после некоторых несложных переделок получим:
b3/6 (1 + 1/n)(2 + 1/n)
Спрашивается: что будет с этим выражением, если число и будет неограниченно возрастать? Ясно, что дробь 1/n будет неограниченно приближаться к нулю и ею мы можем пренебречь.
В таком случае предыдущее выражение в пределе обратится в
b3/3
что и является результатом нашего интегрирования. Знай, что это один из первых интегралов, полученных человеком, что человека этого звали Архимед и что он рассуждал примерно так, как и мы.
И тут Величайший Змии вырос снова перед ними. Он взглянул на Илюшу, и мальчику показалось, что это могущественное чудовище даже улыбнулось!
- 352 -
Схолия Семнадцатая,
в которой Илюша припоминает разные разности из предыдущих схолий, оставшиеся не совсем ясными, а Радикс рассказывает ему об истории надгробного камня Архимеда, погибшего от меча римского грабителя, о спирали Архимеда.
Затем следует масса любопытнейших подробностей о веретенах, о шотландском сыре, о фокусах, которые придумали древнегреческие геометры, о том, как в старину индусы решали кубические уравнения, как в шестнадцатом веке бедный мальчик-заика учился на кладбище грамоте, а также почему у квадрата такая большая площадь и что по этому поводу думает касательная; о битве за высоту над городом Клермоном. А затем Илюша присутствует при волшебном опыте, который поясняет, что такое прямая линия и какие чудеса с ней случаются при ее путешествиях в мировом пространстве. Вслед за этим Илюша и Радикс видят нечто чрезвычайно странное... Но пока это еще страшный секрет, который, может быть, раскроется в будущем...
- Ну, теперь ты доволен? - спросил Радикс.
- Да, - сказал Илюша, - я узнал массу интересных вещей. Теперь я, кажется, понимаю, почему так уважают Архимеда и как велико могущество Змия. Но только у меня есть еще вопросы.
- Ну что ж! Давай твои вопросы. Может быть, как-нибудь вдвоем разберемся.
- 353 -
- Помнишь, ты где-то, кажется в Схолии Одиннадцатой, перечислял мне титулы Величайшего Змия? Так вот, я хотел тебя спросить о них. О площадях я теперь понял: путем интегрирования можно получить площадь любой криволинейной фигуры. С объемами я тоже как будто сообразил. Это, вероятно, делается путем суммирования бесконечно тонких слоев тела, как Демокрит считал объем конуса?
- Правильно. А сейчас мы можем закончить вывод формулы для объема конуса, о которой мы толковали в Схолии Пятнадцатой. Если рассечь конус плоскостью, проходящей через его ось, то получится треугольник. Из рассмотрения этого треугольника ты убедишься в том, что радиус основания цилиндрика, отстоящего на расстояние h от вершины, определится при помощи пропорции:
r/R = h/H
где R - радиус основания, а H - высота конуса. Отсюда
r = (R/H)h
и площадь основания цилиндрика будет
πr2 = π(R2/H2)• h2
Теперь предположим, что мы делим высоту конуса на n частей.
Тогда высота каждого цилиндрика будет H/n, а последовательные расстояния оснований цилиндриков от вершины конуса, то есть радиусы этих оснований, будут
h, 2h, 3h,... nh.
Поэтому сумма объемов этих цилиндриков равна
π(R2/H2)• H/h (h2 + 22h2 + ... + n2h2) = π R2/H (12 + 22 + ... + n2) / n3
Как и в предыдущей схолии, ты убедишься, что предел последнего множителя при неограниченном возрастании n будет равен 1/3, и для объема конуса получается выражение:
1/3 π R2 H
- 354 -
Множитель 1/3 ты можешь рассматривать как лежащую на этой формуле печать Великого Змия.
- Как интересно! - сказал Илюша. - А с объемом шара можно справиться таким способом?
- Я приведу тебе только чертеж, который, по преданию,
Архимед завещал вырезать на своем надгробном памятнике.
Здесь ты видишь цилиндр, вписанный в него шар радиуса R и конус. Разбей все три тела на тонкие "цилиндрические" слои и легко установишь, что на расстоянии h от центра шара площадь поперечного сечения самого шара равна:
π (R2 - h2) = π R2 - πh2
то есть разности площадей поперечных сечений цилиндра и конуса. Суммируя объемы всех тонких цилиндрических пластинок и переходя к пределу, как мы это делали для конуса, находим, что и объем шара тоже будет равен разности объемов цилиндра и конуса. Этот закон и был открыт Архимедом.
Таким путем можно найти не только объем всего шара, но и объем любого шарового слоя. В формулы войдет опять множитель 1/3, печать Великого Змия, свидетельствующая о том, что здесь приходилось интегрировать функцию, содержащую квадрат переменной (в данном случае - квадрат высоты h).
- Очень хорошо! - отвечал мальчик. - А теперь вот еще что. Ты назвал Великого Змия развертывателем спиралей. Что это значит?
- Это значит, что путем интегрирования можно получить длину дуги любой кривой, например параболы, окружности и так далее. В частности, и длину спирали. Мы ведь уже говорили, как находится длина дуги.
- Но я должен сознаться, - вздохнув, сказал Илюша, - что до сих пор не пойму, как при помощи этой спирали получается длина окружности, то есть почти квадратура круга?
- Конечно, история эта необычная, - отвечал Радикс. - Из-за нее в средние века долго ломали голову над вопросом квадратуры круга и ни к какому разумному заключению не пришли. Совсем запутались. Начали даже поговаривать, что геометрия - наука, может быть, не слишком точная... Вес это довольно сложно.
