Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
- Как наш Ломоносов!
- Правильно! - отвечал Радикс. - Великий был человек Ломоносов. И не зря он выразил уверенность, "что может собственных Платонов и быстрых разумом Невтонов Российская земля рождать".
- А почему он вспоминает Платона?
- Потому что Платон тоже занимался математикой и очень ценил ее. Из его сочинений извлечено теперь много данных о древней науке[29]. Полагают, например, что он дал определение понятию геометрического места. Добавлю, кстати, что кубическая парабола - немаловажная в технике кривая. Например, когда строители железных дорог рассчитывают поворот пути так, чтобы поезд на большой скорости плавно повернул по рельсам, то это закругление нужно рассчитывать именно по кубической параболе.
- 379 -
- Мне еще хочется узнать про максимумы, - попросил Илюша. - Это очень трудно - их определить?
- Да нет, - отвечал Радикс, - не так уж трудно. Давай возьмем пример. Допустим, имеется прямоугольник. Какие Надо взять стороны у прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей, если сумма этих двух сторон равна восемнадцати?
- Плохо я что-то понимаю эту задачу! - заметил Илюша.
- Ты слушай, - отвечал Радикс, - и постепенно уразумеешь. Начнем вот с чего. Пусть наши стороны-множители будут а и b, а их сумма будет с, то есть
а + b = с.
Теперь возьмем квадраты их суммы и разности и вычтем один из другого:
(а + b)2 = а2 + 2ab + b2
-
(а - b)2 = а2 - 2ab + b2
------------------------
(a + b)2 -(a - b)2 = 4ab
Так как (а+b) равно с, то мы можем написать:
с2 - (a - b)2 = 4ab,
или так еще:
ab - c2/4 - (а - b)2 / 4
Отсюда ясно, что поскольку с есть величина постоянная, то произведение ab изменяется только в зависимости от изменения разности (а-b), но так как квадрат этой разности с минусом, то ясно, что это произведение тем больше, чем меньше абсолютная величина разности (а-b). Следовательно, произведение двух чисел тогда достигает максимума, когда абсолютная величина их разности достигнет минимума. Тебе это ясно?
- Как будто ясно.
- Ну, поехали дальше! Давай назовем игреком искомое произведение. А части его - одна будет икс, а другая...
- А другая будет восемнадцать минус икс, - подсказал Илюша.
- Верно. Следовательно, игрек будет записан так:
y = x(18 - x)
- 380 -
Теперь возьмем разность наших множителей. Назовем ее игрек со штрихом, то есть игрек-штрих:
y' = x - (18 - x)
Так как мы хотим, чтобы этот игрек-штрих стал минимальным, то поищем, чему должен равняться икс, если игрек-штрих станет нулем. И напишем:
х - (18 - х) = 0;
х - 18 + х = 0;
2х = 18; х = 9.
Произведение достигает максимума, когда одна его часть равна девяти, а следовательно, и другая тоже равна девяти. Другими словами, максимальную площадь из всех прямоугольников с одинаковым периметром имеет квадрат. Составим табличку. В третьей графе ее стоит не самая разность, а ее абсолютная величина. Дальше девяти табличку продолжать не стоит: все будет симметрично повторяться в обратном порядке.
Из двух последних столбцов видно, что когда множители равны, то их разность, как и полагается, равна нулю, а произведение их становится наибольшим, то есть достигает максимума.
- Так, - сказал Илюша. - Действительно, если продолжить табличку и иксу дать значение "десять", то другой множитель будет равен восьми и произведение пойдет на убыль в обратном порядке. Действительно, максимум!
- А теперь давай начертим график нашего уравнения:
у = 18х - x2
- 381 -
Ты видишь, что эта кривая (а это парабола!) как раз проходит через наивысшую точку, когда икс равен девяти. Что означает с геометрической точки зрения то обстоятельство, что для икса, равного девяти, игрек-штрих равен нулю? Дело в том, что игрек-штрих показывает, как меняется угловой коэффициент касательной к параболе. А ты, наверно, помнишь, что этот коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной по отношению к положительному направлению оси абсцисс? Ты, наверное, помнишь и то, что когда кривая достигает максимума, то касательная, естественно, располагается...
- Параллельно оси иксов, то есть горизонтально! - подхватил Илюша.
- Верно! Ну, а теперь скажи мне, какой она в таком случае образует угол с осью абсцисс?
- Никакого угла она не образует!
- Никакого? .. - переспросил Радикс. - Таким образом, если тебя кто-нибудь попросит сказать, тепло ли сегодня на улице, то ты посмотришь на градусник за окном, увидишь, нуль градусов, и скажешь, что сегодня никакой температуры не наблюдается. Так я тебя понял?
- Нет, - сказал Илюша, смутившись, - конечно, так сказать нельзя. Тут я должен сказать, что угол этот заключает в себе нуль градусов.
- Как раз! - отвечал Радикс. - А теперь ответь мне, чему равен тангенс нуля градусов?
- Нулю, конечно!
- Ну, так вот игрек-штрих и дает этот самый нуль. Вот как производится изыскание максимумов или минимумов! Это одна из самых важных задач в дифференциальном исчислении. Этим делом очень много и плодотворно занимались Ферма и Паскаль. Впрочем, задача, которую мы сейчас разбирали, была решена еще греческим математиком Никомахом во втором веке нашей эры.
- А на самом деле, когда математики ищут максимум, они тоже так поступают, как ты мне сейчас показывал, или ты это только для меня придумал?
- Так делали в старое время, во времена Ферма, например.
- 382 -
А сейчас это делают немножко не так. Смысл действий, впрочем, один и тот же.
- А как это теперь делается?
- Ну что ж, давай попробуем одолеть и эту премудрость.
Если мы возьмем ту же самую функцию да еще припомним то, как мы рассуждали по вопросу о превращении секущей в касательную в предыдущей схолии, то справиться с этим будет не так уж трудно. Для этого нам необходимо, как ты, вероятно, помнишь, исследовать параболу с точки зрения изменения. .. Ну-ка, скажи мне: изменения чего?
- Я думаю, - довольно бойко отвечал Илюша, - что речь пойдет об изменении скорости, с которой растет функция.
- Правильно. Итак, приступим к изучению изменения скорости изменения функции. Для этого дадим независимой переменной, то есть иксу, некое приращение, которое мы обозначим через Δх. Здесь Δ - не множитель, а заменяющая слово "приращение" прописная греческая буква "дельта", которая читается, как наше "Д". А читается формула просто: "дельта икс".
Приращение это не очень большое, не очень и маленькое, но, в общем, конечное. Теперь поскольку икс, независимая переменная, получил некое приращение (ну, допустим, что икс у нас равнялся двум, а теперь будет два и нуль-нуль-три после запятой), то, так как игрек есть переменная...
- Зависимая! - подсказал проворно Илья. - ... а следовательно, и она должна тоже... Что тоже?
- Тоже получит приращение.
- Ответ достойный. И мы назовем это приращение Ау, то есть "дельта игрек". Когда мы найдем приращения, то возьмем их отношение. Если все это изобразить на чертеже, то легко заметить, что получается тот же самый замечательный характеристический Паскалев прямоугольный треугольник, который ты видел на странице... (не спутай только этот Паскалев треугольник с другим, биномиальным Паскалевым треугольником, о котором шла речь в Схолии Седьмой!
Не забудь, что это характеристический дифференциальный треугольник, введенный впервые Архимедом!). Катетами его будут Δх и Δу, а гипотенузой будет прямая, которая рассечет нашу кривую и которую за это самое люди добрые зовут...
- Секущей, - отвечал мальчик.
- А теперь скажи, каков смысл этого отношения?
- По-моему, это будет тангенс угла ос, - сказал Илюша.
- Несомненно. Только я тебя спрашиваю не про то, что это будет, а что это означает.
- 383 -
- Мне кажется, что этот тангенс как-то, может быть, и грубо, но все же измеряет ту же самую скорость. Я заключаю это из того, что если все построение сдвинуть по абсциссе вправо или влево, не изменяя размеров приращения икса, то наклон секущей по отношению к положительному направлению оси абсцисс, - а следовательно, и тангенс соответствующего угла, - изменится. И изменится в соответствии с изменением скорости роста нашей функции.
- Превосходно, молодой человек! Но это все же еще не совсем точно. Давай-ка вычислим, чему же равно это отношение. Пусть до приращения икс достиг значения, которое мы обозначим просто х, а соответственный игрек - аналогично тоже просто буквой у, и пусть переменные, получив и та и другая свои приращения, получат значения x1 и у1. В таком случае можно написать, что
Δх = x1 - х;
Δy = y1 - y = (18x1 - x12) - (18x - х2),
а следовательно, отношение их будет
Δx / Δy = (18x1 - х12 - 18x + х2) / (x1 -x)
Вот что представляет собой тангенс наклона секущей. Ты был прав, говоря, что он измеряет скорость изменения функции. Но вот на что следует обратить внимание: а хорошо ли он ее измеряет? Ясно, что не очень хорошо, ибо его показания зависят от размера приращения независимой переменной. Это раз. Вовторых, ясно, что секущая может дать указания на скорость лишь в среднем, на измеряемом промежутке, то есть только в общем, а отнюдь не в тех важнейших подробностях, которые могут понадобиться в исследовании. И вот в силу этих двух особенностей это показание недостаточно. Что же следует сделать и как с ним поступить, дабы его коренным образом улучшить? Для этого мы начнем сближать х1 и х, тогда y1 и у также начнут сближаться. И если мы будем все уменьшать и уменьшать расстояние между х1 и х, то при безграничном уменьшении секущая... Что сделает наша секущая?
