Рафаэль Лаос-Бельтра - Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии.
Пусть даны две матрицы А и В:
Их произведением будет матрица С:
Элемент сij матрицы С в общем виде задается следующим выражением:
аi1b1j = аi2b2j +… + аinbnj
Таким образом, чтобы вычислить элемент с, нужно взять элементы а11, а12…, Ь11, b21… и найти значение выражения а11Ь11 + а12Ь21 + … + а1nЬn1.
Проще всего продемонстрировать вычисление произведения матриц на примере
Пусть даны матрицы А и В:
Найдем их произведение A·В, выполнив следующие действия:
Получим матрицу:
Важно учесть, что сумма матриц А + В не изменится, если мы поменяем слагаемые местами (следовательно, операция сложения матриц является коммутативной), в то время как произведение матриц не обладает этим свойством: произведение матриц A·В не равно произведению В·А. С учетом этого одним из самых интересных действий является умножение матрицы А на матрицу В, состоящую из одного столбца, то есть умножение Аm x n · Вn x 1. Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор-столбцом.
Умножение матрицы на вектор и применение этой операции
Чтобы показать, как применяется произведение матрицы на вектор, представим, что нейробиолог составляет модель нейронной сети. В этой сети группа нейронов (обозначены кругами), которые мы будем называть афферентными, или чувствительными, получает импульсы из внешнего мира, к примеру посредством органов чувств. Афферентные нейроны отправляют сигналы другим нейронам, которые называются эфферентными, или двигательными, через соединения, или синапсы. Задача эфферентных нейронов — отправить ответ на некоторый входной сигнал, поступивший к афферентным нейронам. Этот ответ поступает к мышцам, железам и т. д. Обозначим входной сигнал, поступающий к афферентным нейронам, вектором u->. Элементами вектор-столбца х1, х2, …, хi. будут, к примеру, характеристики некоторого объекта. Обозначим через y1, y2, …, yi. составляющие вектора v->, который будет обозначать ответ эфферентных нейронов после обработки входного сигнала.
Модель нейронной сети.
Наконец, представим синапсы между афферентными и эфферентными нейронами в виде матрицы М. Назовем ее матрицей памяти. Каждый элемент с этой матрицы обозначает связь между входным, или афферентным, нейроном i и выходным, или эфферентным, нейроном j. Учитывая вышесказанное, модель нейронной сети можно сформулировать с помощью матричной алгебры. Имеем:
Если нейробиолог, используя эту модель, захочет узнать ответ эфферентного нейрона № 2, зная все остальные значения, ему достаточно будет вычислить:
y2 = С21Х1 + С22Х2 + … + C2jXi
А если нужно определить выходное значение для первого эфферентного нейрона?
В этом случае достаточно вычислить y1 = С11Х1 + С12Х2 + … + C1jXi
Пусть дана нейронная сеть с тремя входными, или афферентными нейронами, и тремя выходными, или эфферентными нейронами. Матрица связей, или синапсов, между нейронами М приведена ниже:
Если к слою входных нейронов поступает извне следующий сигнал:
каким будет выходное значение для первого эфферентного нейрона? В соответствии с описанной моделью имеем:
Искомое выходное значение равно у1 = 0,2·1 + 0,6·0 + 0,8·1, и, как следствие, у1 = 1.
Сегодня этот класс математических моделей используется для распознавания образов — букв, чисел, фотографий и т. д. в системах искусственного интеллекта.
Транспонирование матриц
Еще одна привычная операция над матрицами называется транспонированием. Для того чтобы получить транспонированную матрицу А' для матрицы А, достаточно поменять строки исходной матрицы на столбцы. Пусть дана матрица А:
транспонированная матрица А' будет выглядеть так:
Транспонированная матрица определяется мгновенно. В самом деле, если мы транспонируем транспонированную матрицу, то есть найдем (Аt)t, то вновь получим матрицу А. Покажем, где применяется эта операция.
Определители
Предположим, что ученый работает с моделью, в которой определена квадратная матрица, то есть матрица с равным числом строк и столбцов. В этом случае существует особое число, соответствующее матрице, которое указывает на некоторые ее любопытные свойства. Это число называется определителем матрицы. Рассмотрим простейший случай — матрицу 2 x 2 (две строки и два столбца), элементы которой обозначим через а, Ь, с и d:
Определитель матрицы А будет равен:
Значение определителя будет равно а·d — b·с. Иными словами, нужно найти произведение элементов на главной диагонали и вычесть из него произведение элементов на побочной диагонали. Определитель матрицы А будет равен 2, так как:
Швейцарский математик Габриэль Крамер (1704–1752) сформулировал правило, носящее его имя, которое позволяет решать системы линейных уравнений с помощью определителей.
Отметим, что мы заменили круглые скобки, типичные для матрицы, двумя прямыми линиями — именно так обозначаются определители. Любопытно, что определители были созданы раньше, чем матрицы, и были известны в Древнем Китае за 300 лет до Рождества Христова. Древние китайцы использовали понятие, схожее с понятием определителя, располагая неизвестные системы линейных уравнений на шахматной доске. Европейские математики впервые применили определители для решения систем линейных уравнений лишь в 1750 году (это сделал Габриэль Крамер). В XIX веке с определителями работали другие математики, в частности Коши. Матрицы появились позднее, так как нужно было дать какое-то название объекту, для которого рассчитывались определители.
Определитель квадратной матрицы размером 3 x 3
Мы уже показали, как вычислить определитель второго порядка. Сделаем еще один шаг вперед. Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:
Будем считать, что каждому ее элементу соответствует знак + или —, как если бы речь шла о кристалле хлорида натрия, то есть обычной поваренной соли:
Выберем, к примеру, первую строку матрицы и исключим ее из рассмотрения. Затем исключим элементы первого столбца матрицы:
Выполним над элементами матрицы следующие операции:
Обратите внимание, что а11 положительно, так как этому элементу матрицы соответствует знак +.
После того как мы исключили из рассмотрения первую строку и первый столбец матрицы, оставшиеся элементы образуют новую матрицу. Определитель полученной матрицы называется минором Мij, где i и j — номер строки и столбца, исключенных из рассмотрения. В нашем примере i = 1, j = 1.
Выполним аналогичные действия для второго столбца матрицы:
Учитывая, что элемент а12 имеет знак —, получим:
Повторим аналогичные действия для третьего столбца:
С учетом того, что а13 имеет знак +, получим:
Теперь, чтобы вычислить определитель матрицы А, нужно свести полученные выше результаты в одно выражение:
Пусть дана матрица A:
Ее определитель вычисляется следующим образом:
