Франсиско Мартин Касальдеррей - Мир математики. Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе
Засим вы перейдете в третье место и там поступите так же, все замечая и все записывая. Здесь я помещаю для вас рисунок, поясняющий сказанное.
После этого вы поступите так. Возьмите вашу доску, на которой вы хотите вычертить план, и поставьте точку там, где вам покажется удобным, сообразуясь с общим расположением чертежа, и пусть это будет положение одного из тех мест, откуда вы наблюдали предметы. Например, пусть будет это замок. Напишите над этой точкой: замок. В этой точке прикрепите маленькую бумажную модель прибора шириною в полпяди, разделенную так же, как и самый прибор, с которым вы производили наблюдения, и расположите центр этой модели в точности над указанной точкой. Отсюда проведите все ваши линии на основании записей вашего памятного листка. Сходным образом поставьте, где вам заблагорассудится, вторую точку на только что проведенной вами линии, соответствующую второму из тех мест, откуда вы производили наблюдения, и на эту вторую точку наложите вторую бумажную модель, повернув ее так, чтобы указанной линии соответствовала та цифра, которая в вашем памятном листке стоит против слова «замок». Иными словами, чтобы обе модели лежали на линии, соответствующей им обеим, и чтобы все линии выходили отсюда в направлении тех цифр, которые обозначены на вашем листке.
И там, где линия вашей первой модели, соответствующая, например, Санто Доменико, пересекается с линией вашей второй модели, также соответствующей Санто Доменико, там поставьте точку и надпишите сверху: Санто Доменико. Также поступите и в отношении всех остальных. Если случится, что эти две линии пересекаются так, что угол оказывается не вполне ясным, поставьте модель в третьей точке, откуда вы производили наблюдения, и расположите ее подобно первым двум, чтобы линии их соответствовали друг другу, и благодаря этому все вам станет ясным. Подобные вещи нелегко выразить словами, но самый предмет нетруден и доставляет большое удовольствие, позволяя осуществить многое, как вы сами сможете убедиться.
Таким путем мне удалось отыскать древний акведук, который выходил наружу только некоторыми своими отдушинами, а ходы его были скрыты внутри горы. Таким путем, как вы понимаете, можно записать ходы и извивы любого лабиринта и пути в любой пустыне без погрешностей и ошибок.
Таким же способом вы можете измерить далекие расстояния. И если вы желаете измерить, каково расстояние между Торре дель Уччелино и замком, вы должны поступить следующим образом.
Поставьте ваш прибор так, как мы сказали, и заметьте цифру, под которой видна названная башня; затем визируйте какое-нибудь другое место, находящееся на известном расстоянии от вас; предположим, что вы находитесь на одном конце коридора в замке. Сделайте пометку на другом конце и визируйте ее, замечая градусы и минуты. Затем поставьте названный прибор на другой конец коридора, вами визированный, и расположите его так, как мы сказали, а именно чтобы прямая линия коридора соответствовала одной и той же цифре; отсюда визируйте названную башню и отметьте цифры на приборе. Сделав это, в зале или каком-либо другом помещении выберите площадку и пространство, на котором, как если бы вы хотели чертить план, обозначьте ваши точки и проведите линии при помощи вышеназванного прибора, отметив точки их пересечения, как показано на рисунке.
Я утверждаю, что столько раз, сколько расстояние между двумя названными точками содержится в любой из линий, выходящих из этих точек и пересекающихся друг с другом, столько раз промежуток между концами коридора содержится в расстоянии от любой из этих двух точек до Уччелино.
На рисунке вы увидите числовые обозначения, и для примера мы скажем, что от одной точки до другой — 35 унций [унция = 1/12 фута], а от пересечения обеих линий до одной из этих точек — 385 унций. Так как 35 содержится в 385 одиннадцать раз, то окажется, что в расстоянии между коридором и Торре дель Уччелино одиннадцать раз содержится промежуток, который вы брали в коридоре. Этот способ измерения будет вам служить на небольших расстояниях, а при расстояниях больших требуется прибор более крупный».
«Вилка», «огненная линия» и «овальная линия» Дюрера
Среди множества геометрических чертежей, приведенных Дюрером в «Правилах измерения линий, плоскостей и целых тел при помощи циркуля и угольника», присутствует чертеж конических сечений. Книга Дюрера начинается следующими словами:
«Проницательнейший из всех мужей, Евклид, заложил основания геометрии. Тому, кому они хорошо известны, не потребуется ничего из приведенного далее, что я пишу лишь для юношей и тех, кто должным образом не обучен».
Художники, согласно Дюреру и другим живописцам той эпохи, должны были в равной степени изучать технику рисунка и геометрию и одинаково свободно обращаться как с кисточкой, так и с циркулем и линейкой. Дюрер считал, что художник должен уметь «измерять», поэтому назвал свою книгу «Правила измерения».
Дюрер изучил математику и перспективу во время путешествий в Италию. Вернувшись в родной Нюрнберг, в библиотеках своих друзей он познакомился с классическими и современными математическими трудами, которые в то время только начинали печататься, и книгопечатание было одной из самых процветающих отраслей города.
Он изучил «Начала» Евклида, а также труды Пьеро делла Франческа и Леона Баттисты Альберти. В «Правилах измерения» Дюрер пытается предложить геометрические методы и описать их понятным для художников и ремесленников образом. Он не уделял особого внимания ни доказательствам, ни чистой теории. Он рассмотрел линейную перспективу, правильные многоугольники, многогранники и Платоновы тела, для которых привел точный и удобный алгоритм построения. Он также изучил использование геометрии в типографике, инженерном деле и архитектуре.
Чтобы дать читателю представление о его стиле и строгой и четкой манере изложения, приведем фрагмент его книги, где он описывает метод построения эллипса.
«Математики древности указывали, что существует три способа выполнить сечение конуса. Все три различны между собой и не представляют по своей форме круг как основание конуса. <…> Каждое из трех сечений являет собой особую линию, построение которой я объясню. Первое из этих сечений, которое пересекает конус наклонно, не рассекая его основания, знатоки называют эллипсом. <…> Второе сечение проводится параллельно стороне ab конуса или другой [иными словами, его образующей], и знатоки зовут его параболой. Третье сечение есть вертикальная линия, параллельная линии, соединяющей центр основания конуса с вершиной, и знатоки зовут это сечение гиперболой. Мне неизвестно, имеют ли эти линии названия на немецком языке, но я присвою им названия, чтобы их можно было различить. Эллипс я буду называть овальной линией, так как его контур по форме почти равен яйцу. Параболу я буду называть огненной линией, поскольку зеркало такой формы разжигает огонь. Наконец, гиперболу я назову линией в форме вилки.
Если я хочу провести овальную линию, или эллипс, я начну рисовать конус, обозначив на нем желаемое сечение. Схему этого я изображу ниже. Далее я буду действовать следующим образом.
Иллюстрация из книги Дюрера.
Пусть a — вершина конуса, bd — диаметр его основания. Из а вниз я проведу вертикальную линию. Верхний конец сечения я обозначу f, нижний — g. Далее я разделю это сечение fg одиннадцатью точками на 12 частей и пронумерую их, начиная с конца f. Под этим конусом я изобразил этот рисунок. Обозначу а центр, a bcde — его окружность, как показано на моем рисунке. Из всех делений проведем линии к основанию, которые будут соответствовать точкам и серединам, пронумерованным нами как 1, 2, 3 и так далее. Обозначу теми же буквами и цифрами точки пересечения этих линий с окружностью основания.
Выполнив это, я возьму циркуль и поставлю одну из его ножек на сечение конуса, на вертикальную линию ае и высоту деления 1. Другую ножку я расположу на той же высоте относительно [образующей] ad. Перемещу этот раствор циркуля к основанию и, поместив одну из его ножек в центр а, другую — на чертеж линии 1, буду прочерчивать дугу в направлении к d, пока мне снова не встретится линия 1. [Далее эти действия повторяются для каждой линии с номера 2 по номер 11].
Затем использую основание в качестве примера и проведу линию эллипса следующим образом.
Проведу по вертикали линию, равную сечению fg, сохранив на ней 11 точек, которые разделяют ее на 12 частей. Проведу И параллельных горизонтальных линий, каждая из них будет проходить по одному из делений предыдущих. Далее на сегменте 1 основания возьму меру между двумя точками, в которых его пересекает дуга, проведенная мной с помощью циркуля, и перемещу ее на рисунок сечения fg, отложив ее на линии 1 с двух сторон. Проделаю это же самое с остальными пронумерованными отрезками. Сделав это, я проведу овальную линию, или эллипс, соединив точки так, как я показал здесь».
