Франсиско Мартин Касальдеррей - Мир математики. Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе
В «Атлантическом кодексе» Леонардо да Винчи продемонстрировал свою проницательность и в этом вопросе. Речь идет о следующей иллюстрации.
На ней в схематичном виде изображен тор. В действительности этот тор закручивается вокруг другого; более того, эти два тора параллельно друг другу закручиваются вокруг третьего. Это четко видно на реконструированном изображении этой фигуры.
Реконструкция мазоччо, или тора, из «Атлантического кодекса» Леонардо да Винчи.
(источник: FMC)
Это изображение сопровождается подписями вверху и внизу рисунка. Леонардо был левшой и писал задом наперед, так что его тексты можно было прочитать только в зеркальном отражении. Чтобы прочитать их, необязательно нужно зеркало — можно воспользоваться компьютерным графическим редактором и применить осевую симметрию относительно вертикальной оси изображения. Именно это мы и сделали:
Подпись над рисунком гласит:
«соrро nato della prospettiva di Leonardo Vinci discepolo di la sperientia».
(«Тело, полученное перспективой Леонардо да Винчи, изученной на опыте».)
Подпись под рисунком звучит так:
«si a fatto questo соrро senza esemplo d’alcun соrро, mа solamente con semplici linje».
(«Это тело было выполнено без какого-либо образца, но только с помощью простых линий».)
Леонардо с самого начала было известно то, о чем другие узнали намного позже. Перспектива, изобретенная для изображения реальности, стала использоваться для создания виртуальных реальностей, новых фигур, выполненных «без какого-либо образца, но только с помощью простых линий» — нереальных фигур, существование которых стало возможным только благодаря живописи.
* * *
ДВА РИСУНКА ИЗ ГАЛЕРЕИ УФФИЦИ
В Кабинете рисунков и эстампов Галереи Уффици выставлены два рисунка, на которых изображены мазоччо. Эти рисунки приписываются Паоло Уччелло и Пьеро делла Франческа, но их подлинные авторы неизвестны. На одном изображен мазоччо, на внешних гранях которого находятся пирамиды. На другом, так называемом «Бокале Уффици», можно различить три мазоччо, на большем из которых также находятся пирамиды. Это позволяет предположить, что оба рисунка принадлежат одному автору. Паоло Уччелло приписывается рисунок мазоччо, представленный внизу.
Бокал Уффици.
Мазоччо из Галереи Уффици.
Мазоччо работы Паоло Уччелло.
* * *
Математические игры АльбертиЕще одним художником, который занимался математикой и написал несколько книг по этой теме, был Леон Баттиста Альберти. Помимо трактата «О живописи» ему также принадлежит книга «Математические забавы», в которой, вопреки названию, рассматривается решение некоторых геометрических задач, возникающих при измерениях, например при определении ширины реки, глубины колодца или топографической съемке.
Альберти выполнил топографическую съемку Рима, однако составленная им карта не сохранилась. Результаты своей работы он изложил в книге, озаглавленной Descriptio Urbis Romae («Описание города Рима»), опубликованной в 1433 году незадолго до выхода трактата «О живописи». Эта книга начинается следующей фразой:
«С возможной тщательностью, при помощи придуманных мною математических приборов изучил я в том виде, в каком они нам известны сейчас, направления и очертания городских стен Рима, реки [Тибра] и дорог, равно как положение и размещение храмов, общественных зданий, ворот и трофеев, границы холмов и, наконец, площадь, занимаемую жилыми зданиями. Теперь всякий, не нуждаясь ни в каком особом даровании, удобно и легко сможет все вычертить в том масштабе, в каком ему заблагорассудится. К этому [описанию] склонили меня просвещенные друзья, и желание их я и счел нужным исполнить».
Рукопись «Описания города Рима» Альберти. XV век.
* * *
КАРТА РИМА ПЬЕТРО ДЕЛЬ МАССАЙО
Карта Альберти, которая предположительно была выполнена на основе результатов топографической съемки, приведенных в «Описании города Рима», не сохранилась. Тем не менее несколько лет спустя, в 1464 году, Пьетро дель Массайо опубликовал во Флоренции издание «Географии» Птолемея, в которое включил прекрасный план Рима, представленный на этой странице, который был выполнен по методу Альберти.
Можно заметить, что за исключением собора Святого Петра в Ватикане, изображенного внизу справа, и отдельных церквей Массайо прежде всего интересовали древние памятники: акведуки, Колизей, Пантеон, колонны Траяна и Марка Аврелия. Основной недостаток карты заключается в том, что из нее неясно, какую цель ставил перед собой автор — составить карту древнего Рима или же Рима середины кватроченто. Однако, несмотря на примитивность технических приспособлений, использованных при создании этой карты по методу Альберти, она является относительно точной, в чем легко убедиться, сравнив ее с любой современной картой.
* * *
Несколькими годами позже, примерно в 1450 году, Борсо д’Эсте, герцог Феррара, попросил его написать книгу, в которой бы излагались математические методы, использованные в «Описании города Рима». Так появилась книга «Математические забавы». Приведем фрагмент этой книги, в котором объясняется, как следует составлять схему определенного места. Для этого при помощи описываемого им инструмента следует произвести топографические измерения с трех различных точек и, используя подобие треугольников, построить карту местности.
Далее приводится перевод фрагмента этой книги со средневекового итальянского языка с максимально возможным соблюдением стиля Альберти:
«К сказанному мне хотелось бы прибавить описание одного инструмента, который весьма пригоден (как вы сами поймете) для подобных целей, в особенности для того, кто изготовляет баллисты и другие подобные военные машины. Однако я его применяю для целей гораздо более приятных: для топографического изучения местности или для съемки планов, как я это делал тогда, когда чертил план Рима. Итак, заодно я вам расскажу и об этом способе.
Вы определите расположение и охват территории с ее дорогами и домами таким образом. Сделайте на доске круг шириною не менее локтя [флорентийский локоть равнялся 58,4 см] и поделите весь этот круг на любое количество равных частей; чем больше их будет, тем лучше, потому что тогда они будут четки и ясны. Я обычно делю на 12 частей, проводя диаметры внутри круга; затем всю окружность изнутри я делю на 48 частей и эти 48 частей называю градусами. В свою очередь каждый из этих градусов я делю на 4 части и называю их минутами, а против каждого градуса проставляю соответствующую ему цифру, как на этом рисунке.
Гониометр Альберти. Иллюстрация из книги «Математические забавы».
Когда вы пожелаете вычертить свой план, вы поставите этот прибор на ровном месте, притом высоком, откуда вы можете окинуть взглядом много пунктов на той территории, план которой вы хотите начертить, вроде колоколен, башен и тому подобного. Затем вы возьмете веревку со свинцовой гирькой и отойдете от прибора на два локтя, поочередно визируя бросающиеся в глаза предметы так, чтобы линия вашего зрения, направляясь к башне, в которую вы целитесь взглядом, проходила одновременно через свинцовый отвес и через центр круга. Цифры, которые линия вашего зрения пересечет на окружности круга, направляясь к визируемой вами точке, запишите себе для памяти на бумаге.
Например, представьте себе, что вы находитесь со своим прибором на башне замка и визируете верхние ворота; предположим, что линия вашего зрения проходит около 20-го градуса, там, где обозначено деление в две минуты. Вы записываете на своем листке: верхние ворота — 20 градусов 2 минуты, и не двигая прибора, двигаетесь сами, визируя углы. Быть может, ваша визирная линия пройдет там, где на приборе обозначено 32 градуса и 0 минут. Тогда вы запишете: углы — 32. Так вы будете продолжать и дальше, не сдвигая прибора. Кончив это, перейдите в другое подобное место, видное с первого, и поставьте ваш прибор, расположив его так, чтобы под той линией, по которой вы первоначально визировали это место, оказалась именно та цифра, через которую эта линия проходила раньше. Иначе говоря, если бы от первой башни сюда плыл корабль, то при неизменном ветре он видел бы перед собою обозначение 20 градусов и 2 минуты, 32 градуса и тому подобное. Здесь вы поступаете так же, как в замке: обратите внимание на [цифры] внутри [окружности] и запишите их на другом листке.
