Круг Ландау - Горобец Борис Соломонович

С удовольствием прочитал заметку профессора Б. Горобца (см. Наука и жизнь № 1, 2000 г.) о занимательной игре-головоломке, придуманной в свое время академиком Л.Д. Ландау. Напомню вкратце суть игры: требуется с помощью знаков арифметических действий и символов элементарных функций (т. е. +, —, V, sin, cos, arcsin, arctg, lg и т. д.) привести к одному и тому же значению два произвольных двузначных числа. При этом допускается использование факториала (n! = 1∙2∙… n), но не допускается использование секанса, косеканса и дифференцирования.

Например, если наудачу выбрана пара чисел 32–88 (во времена Ландау в качестве случайного датчика таких пар чисел выступали четырехзначные номера проносящихся мимо машин), то искомое равенство достигается следующим образом:

√(3–2) = log₈8 (или менее вычурно: 3–2 = 8: 8).

Однако не все номера «решаются» так просто. В процитированной заметке автор указывает даже несколько и вовсе «неподдающихся» номеров: 59–58, 47–73, 47–97, 27–37 и 75–65 (этот номер якобы не удавалось «решить» и самому Ландау). Попутно предлагается найти какой-либо универсальный подход, единую формулу, позволяющую «решать» любую пару номеров. В заметке даже приводилась одна такая формула:

√N + 1 = sec arctg √N, позволяющая в результате неоднократного применения выразить любую цифру через любую меньшую. Однако в этой формуле используется «запрещенный» секанс (он не входит в школьную программу), а посему ее нельзя считать удовлетворительной.

Мне удалось найти общий метод «решения» любого номера, не выходя за рамки, очерченные в начале этой заметки. Для этого воспользуемся тождествами:

tg (arcctg х) = 1/х, cos(arctg х) = 1/(√(1 + δ²)

Они получаются из равенств:

tg (arcctg х) = 1/ctg(arcctg x) = 1/x,

sin(arctg x)/cos(arctg x) = x,

sin²(arctg x) + cos²(arctg x) = 1.

Решая систему из двух последних уравнений, получим искомое тождество.

Обозначив левые части этих равенств соответственно через f₁(x) и f₂(x), а композицию этих функций f₁(f₂(x)), через f(x), получим: f(N) = (1 + N)^1/2, откуда окончательно

f(√N)= √(1 + N²)

(или tg arcctg cos arctg = √(1 + N)

Полученная формула (опять-таки при необходимости ее надо применять несколько раз) позволяет выразить любую цифру через любую большую цифру, не применяя других цифр, что, очевидно, исчерпывает задачу Ландау-Горобца. Возьмем, к примеру, один из «неподдающихся» номеров: 59–58. Тогда решение будет таким:

5 + √9 = 5 + f(√8), где f(√8) = √9 = 3.

Разумеется, приведенный универсальный метод — не единственный, можно было бы придумать еще несколько подобных. Однако все они так или иначе используют тригонометрические тождества. Поэтому интересно, усложняя задачу, попытаться найти общее «решение» игры, не используя тригонометрию.

Предлагаю одну из возможностей. Коль скоро разрешается пользоваться факториалом, то почему бы не воспользоваться знаками [] и {} соответственно целой и дробной части числа (как и факториал, они не входят в программу обычных школ, но широко применяются в элементарной математике и, как правило, их проходят в «продвинутых» классах и школах). Напомню, что [х] — это наибольшее целое число, не превосходящее х (например, [4,32] = 4, [—2,8] = —3 и т. д.), [х] = х — [х] (так, {1,2} = 0,2, (—0,6] = 0,4).

Введение только этих функций сразу дает несколько тривиальных решений нашей задачи. Например, достаточно взять дробную часть от обоих двузначных чисел и в результате получить в обоих случаях ноль.

А ведь можно еще использовать известные со школьной скамьи знаки модуля, длины вектора (скажем, |√2; √7 |= √(2 + 7) = 3) и так далее.

*****

Заметка доктора геолого-минералогических наук Бориса Соломоновича Горобца «Игра Ландау в номера» (см. Наука и жизнь № 1, 2000 г.) вызвала у читателей журнала огромный интерес. Напомним, в чем состояла суть игры.

Предлагалось из цифр двух пар случайных чисел составить равенство, используя только знаки арифметических действий и тригонометрических функций. Академик Л. Д. Ландау придумал эту игру, чтобы скоротать время при поездках в машине, и использовал в ней номера попутных автомобилей. Он признался, что некоторые номера решению не поддаются. В статье был приведен их перечень.

Редакция получила несколько десятков писем с различными вариантами решений «неподдающихся» номеров; часть их была опубликована (см. Наука и жить № 10. 2000 г.; № 1, 2001 г.). Общий метод решения любого номера, отличающийся от приведенного Б. Горобцом, дал математик С. Федин, давний автор журнала (см. Наука и жизнь № 4, 2000 г.). Сегодня мы продолжаем обзор новых читательских писем.

Наименьшее затруднение по-прежнему вызывает пара 58–59: решение 5∙8 = 5!/√9 прислали С. Медведев (г. Егорьевск), В. Идпатулин (г. Ижевск), Е. Аникин (г. Мийск), С. Масилевич (г. Солигорск) и В. Донченко (г. Ростов-на-Дону); решение 5!/8 = 5√9 — К. Кузнецов (Москва), А. Залесов (Москва), семья Аюповых (пришло по электронной почте без адреса), А. Пикапов (г. Новокуйбышевск). А доцент Днепропетровского университета А. Дышлис отметил, что эти решения симметричны: первое при умножении обеих частей равенства на √9/8 превращается во второе.

Е. Головин (г. Сыктывкар) прислал сразу несколько решений, часть из которых, к сожалению, некорректна — цифры в них идут не в том порядке. Верных решений было три:

27 — 37: 2 ⁷ = (sin arcctg √3)⁷, так как arcctg √3 = π/6, sin π/6 = 1/2;

59 — 58: —lg — (5–9) = lg sin arcctg √(-(5–8));

47 — 97: Ig sin arcctg √-(4 — 7) = — lg(9–7).

He менее интересные решения прислали и уже упомянутые выше авторы. К. Кузнецов, студент факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, дал самые простые варианты из всех присланных:

47 — 73: √4 ln √7 = ln (7!/((3!)!);

47 — 97: √4 ln √7 = — ln(((√/9)!)!/7!);

27 — 37: 2ln √7 = —ln((3!)!/7!).

При этом он считает, что на самом деле решил всего один пример: последние два равенства легко получаются из первого.

B. Донченко предложил сразу несколько вариантов (аргументы тригонометрических функций нужно рассматривать в градусной мере): _

47 — 73: tg((-(√4–7))!)° = tg(7!/3!)°,

4 — sin(7!)° = 7–3;

47 — 97:4 — sin(7!)° = — (√9–7),

4 — 7 = — (√9 — sin(7!)°),

√(√4 + 7) = √9 — sin(7!)°);

27 — 37: √(2 + 7) = 3 — sin(7!)°).

C.Масилевич те же номера представляет в виде:

47 — 73: cos (4∙7!)° = lg(7 + 3);

47 — 97: cos (4∙7!)°° = cos (9∙7!)°;

27 — 37: cos (2∙7!)° = lg(3 + 7).

Семья Аюповых использовала двойной факториал!!. Этот редко применяемый символ означает произведение либо только четных чисел, либо только нечетных, в зависимости от характеристики числа, при котором он стоит (например, 6!! = 2∙4∙6, а 7!! = 3∙5∙7).

47—73: 4!! — 7 = 7–3!;

47 — 97: — 4 + 7 = √(9!!/7!!) (9!!/7!!).

В. Идпатулин обошелся без тригонометрических формул:

47 — 73: ^√4√7! = √(7∙(3!)!);

47 — 97: ⁴√7! = √(√9))∙7;

27 — 37: ^2√7! = √((3!)∙7). (По его собственному признанию, этот номер получился «похуже» — двойка при квадратном корне все-таки не ставится.)

И. Довганчук (г. Новосибирск) проанализировал большое количество пар чисел и нашел, что наибольшее их число решается при помощи только арифметических и алгебраических действий, а некоторые — путем однократного применения тригонометрических функций. Однако есть номера, которые можно решить только путем двух-трехкратного применения тригонометрических функций, например:

00 — 26:,

0 + 0 = tg arcsec tg arcsec √√(-2 + 6)

К ним, по мнению автора, относятся следующие пары номеров:

00 — (26, 27, 38, 47, 57, 58, 62,68, 72, 74, 83, 85, 86);

01 — (27, 47, 58, 72, 74, 85);

05 — (26, 57, 62, 68, 75, 86);

06 — (57, 75);

07 — (26, 38, 57, 58, 62, 68, 75, 83, 85, 86);

08 — (27, 38, 47, 57, 58, 68, 72, 74, 75, 83, 85, 86);

10 — (27, 47, 58, 72, 74, 85);

70 — (58, 85);

80 — (27, 47, 58, 72, 74, 85).

Их он предлагает попытаться решить без применения тригонометрии. Думается, у читателей это должно получиться. Дело упрощает то, что по определению 0! = 1, и некоторые пары получают очень простое выражение:

00 — 68: 0! + 0! = — 6 + 8;

07 — 26: 0! + 7 = 2 + 6;

00 — 38: 0! + 0! = ³√8;

05 — 62: 0! — 5 = — (6–2).

Игра Ландау в номера продолжается.