Круг Ландау - Горобец Борис Соломонович

Главному Редактору газеты «Московские новости»

г-ну Виктору Лошаку

Непостижимым образом в уважаемой газете МН от 5 августа с.г. появилась пошлая, наполненная ложью статья о книге жены академика Ландау (1908–1968). Разбираться в ней подробно не стоит и неприятно, ограничусь тремя замечаниями.

1. Все физики, знавшие Ландау, относятся к этой книге крайне отрицательно, многие с отвращением. Конечно, если очистить ее от лжи, она может представить интерес для психолога и психиатра.

2. Один пример клеветы — перенесенное из этой книги без колебаний и малейшего понимания вопроса поношение выдающегося ученого, академика АН СССР Е.М. Лифшица (не «Лившица», как беззаботно пишет ничего не знающий о мире физиков рецензент [107]). Это ближайший друг, ученик, соавтор Ландау по созданию уникального 10-томного курса теоретической физики, многократно переиздававшегося и у нас, и во многих странах (Лифшиц продолжил его после катастрофы 1962 г., сделавшей Ландау неработоспособным). Трудно представить себе, как без его организованности, широты знаний, полного взаимопонимания с Ландау, научной честности этот труд-подвиг был бы совершен. Как и то, что без его любви к Ландау, без четкого руководства деятельностью физиков по помощи врачам удалось бы вернуть Ландау к жизни.

3. Изливается клевета и на автора ценной книги о Ландау — Анну Михайловну Ливанову, физика, автора не только этой книги (которую рецензент неизвестно почему назвал «курьезной книжонкой», хотя она переиздана в Англии в Пергамон-пресс и во многих других странах), но и ряда книг о физиках и физике. В «курьезной книжонке» о Ландау ценно не только то, что написано о нем самом, но и интересные, компетентные рассказы о его ближайших учениках, об атмосфере знаменитого общемосковского семинара Ландау. Всех этих людей она лично знала. Беззаботно рецензент пишет, что у Ливановой «ничего не говорится о катастрофе 1962 г. не приведена дата смерти!». Это ложь самого рецензента, видимо, даже не читавшего книгу Ливановой (в издании 1983 г. мог бы посмотреть стр. 15 и 57).

Как все это могло произойти?

Академик РАН Е.Фейнберг

«Воспоминания о Л.Д. Ландау» [1988] и [Каганов, 1988]. В юности я слышал об этой игре от матери, а позже прочел о ней в упомянутых книгах. На меня произвели особенное впечатление номера, не решенные Ландау («неподдающиеся случаи», по словам М.И. Каганова), а также следующие слова из диалога Каганова с Ландау:

«Всегда ли можно “сделать” равенство из автомобильного номера?» — спросил я у Ландау. — «Нет», — ответил он весьма определенно. — Вы доказали теорему о несуществовании решения?» — удивился я. — «Нет», — убежденно сказал Лев Давидиович, — но не все номера у меня получались».

Несмотря на это один из харьковских математиков нашел формулу общего решения этой игровой задачи Ландау. В своих заметках М.И. Каганов не указал его имени, но в ответе на мое письмо к нему вспомнил, что «это был Юра Палант». Математик нашел довольно громоздкую формулу, представляющую собой суперпозицию нескольких тригонометрических функций, в т. ч. аркфункций. «Работает» она медленно, шаг за шагом уменьшая одну из цифр в номере на единицу, до тех пор пока обе пары цифр не сравняются. «Я привел доказательство Ландау. Оно ему очень понравилось…, — пишет Каганов — и мы полушутя, полусерьезно обсуждали, не опубликовать ли его в каком-нибудь научном журнале».

Мне показалось, что игра Ландау заслуживает дальнейшей популяризации. Она дает огромный набор примеров любого уровня сложности, от простейших тестов для школьников до весьма сложных частных или даже общих решений, достигающих «олимпиадного уровня». Мне также удалось найти простое новое общее решение задачи Ландау, которое мгновенно, в отличие от решения Юрия Паланта, обеспечивает равенство любых пар цифр. Оно достигается, если потребовать равенства синусов от факториального аргумента, выраженного в градусах, что приводит к равенству нулей (во всех сложных случаях). Я написал заметку на эту тему в журнал Наука и жизнь. После публикации редакция получила массу писем с весьма остроумными частными решениями конкретных трудных случаев. Был получен также один новый вариант общего решения (в письме кандидата физ. — мат. наук С. Федина из Московской области, Щелково-3), помещенный ниже.

Б.Горобец

Друзья знаменитого физика, Нобелевского лауреата Льва Давидовича Ландау (1908–1968) вспоминают, что путешествуя в автомобиле, он часто предлагал своим спутникам поиграть в номера автомашин. Игру он сам и придумал (см. статьи М.И. Каганова и З.И. Горобец-Лифшиц в книге «Воспоминания о Л.Д. Ландау», Москва, 1988). В то время номера машин состояли из двух букв и еще двух пар цифр. Нужно было найти такие математические действия, которые позволили бы приравнять обе пары цифр. Для этого нужно подобрать и вставить в каждую пару цифр подходящие знаки действий и символы элементарных функций: +, х, √, log, lg, sin, cos, tg, ctg, sec, cosec, факториал (!) (Напомним, что факториал — знак произведения последовательности натуральных чисел 1∙2∙…∙n = n! Его раньше изучали в школьной программе в разделе «Комбинаторика».) Между обеими парами цифр необходимо вставить знак равенства.

Например, вас обгоняет автомобиль с номером 71–15. Вы тут же сообщаете спутникам: ⁷√1 = 1⁵. Это очень легкий номер. А вот номер посложнее: 53–41. Приравнять его можно с помощью факториала: — (5–3!) = √4–1. Еще пример: 75–33; равенство из него: 7–5 = log_√33. Обратите внимание, здесь применен способ получить 2 с помощью логарифма; этот прием можно использовать для любой пары одинаковых цифр, начиная с 22.

Конечно, сегодняшний школьник может предложить продифференцировать числа в номере, стоящие по обе стороны черточки — производная от постоянной величины равна нулю. Однако это запрещено правилами игры Ландау: дифференцирование — действие из высшей математики. К тому же такой тривиальный способ решения лишил бы игру всякого интереса, соревновательного или тренировочного.

Навык находить равенство приобретается довольно быстро. И возникает неизбежный вопрос: все ли номера можно решить? Такой вопрос и задал М.И. Каганов академику Ландау. И получил ответ: «Нет, не все». «Вы доказали теорему не существования решения?» — спросил Каганов. «Нет, но не все номера у меня получаются, — ответил Ландау. — Например, номер 75–65.»

Далее М.И. Каганов рассказывает, что он заинтересовал игрой харьковских физиков и математиков. Один из математиков, имя которого, к сожалению, не сообщается, отнесся к игре серьезно. Он вывел формулу универсального решения задачи. Вот она: — √N + 1 = sec arctg √N. Суть формулы: любое натуральное число можно выразить через число, на единицу меньшее, N используя только знаки элементарных функций, не содержащие цифр. Формулу можно применять неоднократно, вплоть до получения равенства.

Для вывода этой формулы необходимо знать, что: 1) tg arctg х = х; 2) 1/соs²x = tg²x + 1. Проделаем следующие тождественные преобразования. N + 1 = (√N)² + 1 = tg²arctg √N +1 = 1/cos²arctg √N = sec²arctg √N. Извлекая корень из N + 1 слева и из секанса в квадрате справа, получаем окончательную формулу.

Заметим, что вот уже более 20 лет, как из школьной тригонометрии исключили секанс и косеканс. Нынешние школьники не знают, что sec x = 1/cos х, cosec х = 1/sin х и обходятся без них. В игре Ландау нельзя, однако, обойтись без секанса, так как выражение его через косинус содержит 1 в числителе, что запрещено правилами игры.

Разумеется, полученная формула не может рассматриваться как практическое средство ведения игры, поскольку она как раз наносит смертельный удар по игре как таковой. Строго говоря, нужно ввести в правила игры пункт, запрещающий применение универсальных формул. Поиск же последних можно рассматривать как самостоятельную математическую игру более высокого уровня сложности.

В заключение приводим еще несколько примеров «неподдающихся» номеров: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37.

В наши дни номера машин стали непригодными для игры. (И слава Богу — не будут отвлекать внимание водителя. Рассказывают, что академик Е.М. Лифшиц, друг и соавтор Ландау по знаменитому курсу теоретической физики, играл с ним сидя за рулем, и нередко выигрывал.

Если под рукой нет случайных чисел, берите две последние пары цифр из телефонных номеров своих знакомых. Или придумайте другой источник номеров. Может быть; кто-то выведет новую формулу универсального решения игры Ландау.

*****