Сергей Федин - Математики тоже шутят
sin[(ab)!]° = sin[(cd)!]° = 0.
Действительно, sin(n!)° = 0, если n ≥ 6, так как sin(6!)° = sin720° = sin(2 x 360°) = 0. Дальше любой факториал получается умножением 6! на последующие целые числа: 7! = 6! x 7, 8! = 6! x 7 x 8 и т.д., давая кратное число раз по 360° в аргументе синуса, делая его (и тангенс тоже) равным нулю.
2. Пусть в какой-то паре цифр есть ноль. Умножаем его на соседнюю цифру и приравниваем к синусу факториала в градусах, взятого от числа в другой части номера.
3. Пусть в обеих частях номера имеются нули. При умножении на соседние цифры они дают тривиальное равенство 0 = 0.
Разбиение общего решения на три пункта с умножением на ноль в пунктах 2 и 3 связано с тем, что sin(n!)° ≠ 0, если n < 6».
Разумеется, подобные общие решения лишают игру Ландау изначальной прелести, представляя лишь абстрактный интерес. Поэтому попробуйте поиграть с отдельными трудными номерами, не используя универсальных формул. Вот некоторые из них: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37; 00–26.
21. Гадание по определителям
Если посчитать этот шутливый определитель, написанный по идее московского математика Ю. А. Шевченко, то получится примерно следующее: Петя любит Машу, а Маша не любит математику.
22. 9 знаков
Еще про определители.
Мне рассказывали, что одно время среди первокурсников мехмата была популярна игра в «определитель» на деньги. Двое игроков чертят на бумаге определитель 3 x 3 с незаполненными ячейками. Затем по очереди вставляют в пустые ячейки цифры от 1 до 9. Когда все клетки заполнены, определитель считают — ответ с учетом знака и есть выигрыш (или проигрыш) первого игрока, выраженный в рублях. То есть, если, например, получилось число –23, то первый игрок платит второму 23 рубля, а если, скажем, 34, то, наоборот, второй платит первому 34 рубля.
Хотя правила игры просты, как репка, придумать правильную стратегию выигрыша очень нелегко.
23. Как академики задачу решали
Эту заметку мне прислал математик и писатель А. Жуков, автор замечательной книги «Вездесущее число пи».
Профессор Борис Соломонович Горобец, преподающий математику в двух московских вузах, написал книгу о великом физике Льве Давидовиче Ландау (1908–1968) — «Круг Ландау». Вот какую любопытную историю, связанную с одной физтеховской вступительной задачей он нам рассказал.
Случилось так, что соратник Ландау и его соавтор по десятитомному курсу по теоретической физике академик Евгений Михайлович Лифшиц (1915–1985) в 1959 году помогал выпускнику школы Боре Горобцу готовиться к поступлению в один из ведущих физических вузов Москвы.
На письменном экзамене по математике в Московском физико-математическом институте предлагалась следующая задача: «В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный равнобедренный треугольник ABC, с углом C = 90°, стороной AB = l. Боковые грани образуют с плоскостью основания двугранные углы α, β, γ. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара».
Будущий профессор не справился тогда с задачей, но запомнил ее условие и позже сообщил Евгению Михайловичу. Тот, повозившись с задачей в присутствии ученика, не смог решить ее сходу и забрал с собой домой, а вечером позвонил и сообщил, что, не одолев ее в течение часа, предложил эту задачу Льву Давидовичу.
Ландау обожал решать задачи, вызывавшие затруднения у других. Вскоре он перезвонил Лифшицу и, довольный, сказал: «Задачу решил. Решал ровно час. Позвонил Зельдовичу, теперь решает он.» Поясним: Яков Борисович Зельдович (1914–1987) — известный ученый, считавший себя учеником Ландау, был в те годы главным физиком-теоретиком в сверхсекретном Советском Атомном проекте (о чем, конечно, тогда мало кто знал). Примерно через час Е. М. Лифшиц позвонил снова и сообщил: только что ему позвонил Зельдович и не без гордости сказал: «Решил я вашу задачу. За сорок минут решил!»
А за какое время справитесь с этой задачей вы?
24. Задачка
В остроумном сборнике физтеховского юмора «Занаучный юмор» (М., 2000) есть немало математических шуток. Вот только одна из них.
При испытании одного изделия произошел один отказ. Какова вероятность безотказной работы изделия?
25. «Интересное» доказательство
Теорема. Все натуральные числа интересны.
Доказательство. Предположим противное. Тогда должно существовать наименьшее неинтересное натуральное число. Ха, так ведь это чертовски интересно!
26. Высшая арифметика
1 + 1 = 3, когда значение 1 достаточно велико.
27. Формула Эйнштейна—Пифагора
E = m ∙ c2= m(a2 + b2).
28. О пользе теорвера
Эту забавную историю из моей студенческой жизни вполне можно предлагать на семинарах по теории вероятностей в качестве задачки.
Летом мы с друзьями отправились в поход в горы. Нас было четверо: Володя, два Олега и я. У нас была палатка и три спальника, из которых один двухместный — для нас с Володей. С этими самыми спальниками, точнее с их расположением в палатке, и вышла закавыка. Дело в том, что шли дожди, палатка была тесной, с боков подтекало, и лежащим с краю было не очень-то удобно. Поэтому я предложил решить эту проблему «по-честному», с помощью жребия.
— Смотрите, — сказал я Олегам, — наш с Володей двуспальник может быть либо с краю, либо в центре. Поэтому будем бросать монетку: если выпадет «орел» — наш двуспальник будет с краю, если «решка» — в центре.
Олеги согласились, однако через нескольких ночевок с краю (нетрудно посчитать по формуле полной вероятности, что для каждого из нас с Володей вероятность спать не у края палатки равна 0,75) Олеги заподозрили неладное и предложили пересмотреть договор.
— Действительно, — сказал я, — шансы были неравны. На самом деле для нашего двуспальника три возможности: с левого края, с правого и в центре. Поэтому каждый вечер мы будем тянуть одну из трех палочек — если вытянем короткую, то наш двуспальник будет в центре.
Олеги опять согласились, хотя и на этот раз наши шансы ночевать не у края (теперь вероятность равна 0,66, точнее, две третьих) были предпочтительнее, нежели у каждого из них. После двух ночевок с краю (на нашей стороне были лучшие шансы плюс везение) Олеги снова поняли, что их надули. Но тут, к счастью, кончились дожди, и проблема отпала сама собой.
А ведь на самом деле наш двуспальник должен быть всегда с краю, а мы с Володей уже с помощью монетки определяли бы каждый раз, кому повезло. То же бы делали и Олеги. В этом случае шансы спать с краю были бы у всех одинаковы и равны 0,5.
5. Студенческий фольклор
По теории вероятности
Совершаются неприятности.
Николай Глазков1. Евгений Неглинкин
Шуточная поэма «Евгений Неглинкин» занимает, очевидно, такое же место в студенческом фольклоре математиков, как породившая ее поэма Пушкина «Евгений Онегин» в русской поэзии, выгодно отличаясь от других перлов этого жанра, как мастерством исполнения, так и грандиозностью замысла. Написанная в предвоенные годы двумя студентами мехмата Леонидом Трудлером и Александром Штерном под собирательным псевдонимом Аллеон Труште, она (по воспоминаниям профессора Б. В. Гнеденко) сразу очаровала не только студентов мехмата, но и преподавателей. И это неудивительно — тонкие остроумные зарисовки студенческой жизни, к тому же изложенные виртуозно стилизованной «онегинской строфой», так и хочется вставить в беспечный разговор с университетским приятелем. Думаю, что многие из них столь же актуальны и ныне и, уверен, будут растасканы на цитаты. Вот лишь несколько наудачу выбранных отрывков:
О, колбаса, еда студента!
Едина ты питаешь нас,
Порой сочна, как ананас,
Порою тверже монумента!
...
Зима. Студенты, нос повесив,
В читальню обновляют путь.
По градам вольным и по весям
Молва: «Экзамены грядут».
...
Но вот мехмат. Евгений мнется,
В замочну скважину глядит,
Вздохнув, рукой за дверь берется
И в залу входит. Страшный вид!
Доцент, профессор — колет, режет,
Вой [15], крики, плач, зубовный скрежет,
Пытаемых студентов стон —
И смерть и ад со всех сторон.
Тем более обидно, что в наше время эта замечательная ироническая поэма почти незнакома широкому кругу любителей математики, а единственная известная мне публикация ее была лишь в серьезном филологическом журнале «Новое литературное обозрение» в далеком 1994 году (№6), да и то в связи с работами по стиховедению академика Колмогорова, упоминавшего эту поэму в одной из своих лекций о поэтике. Впрочем, в интернете можно отыскать еще одну версию «Неглинкина», несколько отличающуюся от канонического варианта и, возможно, сделанную одним из авторов поэмы много лет спустя после ее создания. И все же я решил представить здесь именно первый, более архаический вариант, отметив отличия второго в сносках.
