Сергей Федин - Математики тоже шутят
2. В журнале Spectator был объявлен конкурс на тему «Что бы Вы с наибольшим удовольствием прочли, раскрыв утреннюю газету?» Первый приз получил ответ:
Наш второй конкурсПервый приз во втором конкурсе этого года присужден мистеру Артуру Робинсону, остроумный ответ которого без натяжки должен быть признан наилучшим. Его ответ на вопрос: «Что бы Вы с наибольшим удовольствием прочли, раскрыв утреннюю газету?» был озаглавлен «Наш второй конкурс», но из-за лимитирования бумаги мы не можем напечатать его полностью.
16. Палиндроматика
Есть такие удивительные фразы, которые читаются одинаково и слева направо и справа налево. Одну наверняка знают все: А роза упала на лапу Азора. Именно ее просила написать в диктанте неуча Буратино капризная Мальвина. Называются такие взаимообратные фразы палиндромами, что в переводе с греческого означает «бегущий назад, возвращающийся». Вот еще несколько примеров: 1. Лилипут сома на мосту пилил. 2. Лезу на санузел. 3. Лег на храм, и дивен и невидим архангел. 4. Нажал кабан на баклажан. 5. Муза, ранясь шилом опыта, ты помолишься на разум. (Д. Авалиани). 6. Уж редко рукою окурок держу... (Б. Гольдштейн) 7. Учуя молоко, я около мяучу. (Г. Лукомников). 8. Он верба, но она — бревно. (С. Ф.)
А интересно, есть ли палиндромы в математике? Для ответа на этот вопрос попробуем перенести идею взаимообратного, симметричного прочтения на числа и формулы. Оказывается, это не так уж и трудно. Познакомимся лишь с несколькими характерными примерами из этой палиндромной математики, палиндроматики. Оставляя в стороне палиндромные числа — например, 1991, 666 и т.д. — обратимся сразу к симметричным формулам.
Попытаемся для начала решить такую задачу: найти все пары таких двузначных чисел
(x1 — первая цифра, y1 — вторая цифра) и
чтобы результат их сложения не менялся в результате прочтения суммы справа налево, т.е.
Например, 42 + 35 = 53 + 24.
Задача решается тривиально: сумма первых цифр у всех таких пар чисел равна сумме их вторых цифр. Теперь можно без труда строить подобные примеры: 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52 и так далее.
Можно развивать эти идеи дальше — например, так: 79 + 42 = 121 = 24 + 97 (Г. Лукомников) или даже так: XI + IV = VI + IX (В. Силиванов)
Рассуждая аналогичным образом, можно легко решить такую же задачу для остальных арифметических действий.
В случае разности, т.е.
получаются следующие примеры: 41 – 32 = 23 –14, 46 – 28 = 82 – 64, ... — суммы цифр у таких чисел равны (x1 + y1 = x2 + y2).
В случае умножения имеем: 63 ∙ 48 = 84 ∙ 36, 82 ∙ 14 = 41 ∙ 28, ... — при этом произведение первых цифр у чисел N1 и N2 равно произведению их вторых цифр (x1 ∙ x2 = y1 ∙ y2).
Наконец, для деления получаем такие примеры:
— в этом случае произведение первой цифры числа N1 на вторую цифру числа N2 равно произведению двух других их цифр, т.е. x1 ∙ y2 = x2 ∙ y1.
17. Антисоветская теорема
Доказательство следующей «теоремы», появившейся в эпоху «недоразвитого социализма», опирается на популярные тезисы тех лет относительно роли Коммунистической партии.
Теорема. Роль партии — отрицательна.
Доказательство. Хорошо известно, что:
1. Роль партии непрерывно возрастает.
2. При коммунизме, в бесклассовом обществе, роль партии будет нулевой.
Таким образом, имеем непрерывно возрастающую функцию, стремящуюся к 0. Следовательно, она отрицательна. Теорема доказана.
18. Детям до шестнадцати решать запрещается
Несмотря на кажущуюся абсурдность следующей задачи, у нее, тем не менее, есть вполне строгое решение.
Задача. Мама старше сына на 21 год. Через шесть лет она будет старше его в пять раз. Спрашивается: ГДЕ ПАПА?!
Решение. Пусть X — возраст сына, а Y — возраст мамы. Тогда условие задачи записывается в виде системы двух простых уравнений:
Подставляя Y = X+ 21 во второе уравнение, получим 5X + 30 = X + 21 + 6, откуда X = –3/4. Таким образом, сейчас сыну минус 3/4 года, т.е. минус 9 месяцев. А это значит, что папа в данный момент находится на маме!
19. Неожиданный вывод
Хорошо известно ироническое выражение «Если ты такой умный, то почему ты такой бедный?», применимое, увы, очень ко многим. Оказывается, у этого грустного феномена есть строгое математическое обоснование, опирающееся на столь же бесспорные истины.
А именно, начнем с двух всем известных постулатов:
Постулат 1: Знание = Сила.
Постулат 2: Время = Деньги.
Кроме того, любой школьник знает, что
Путь s = Скорость x Время = Работа : Сила,
Откуда
Работа : Время = Сила x Скорость (*)
Подставляя значения для «времени» и «силы» из обоих постулатов в (*), получим:
Работа : (Знание x Скорость) = Деньги (**)
Из полученного равенства (**) видно, что устремляя «знание» или «скорость» к нулю, мы можем получить за любую «работу» сколь угодно большие деньги.
Отсюда вывод: чем глупее и ленивее человек, тем больше денег он сможет заработать.
20. Математическая игра Ландау
Несколько лет назад в журнале «Наука и жизнь» (№1, 2000) была опубликована вызвавшая огромный интерес читателей заметка профессора Б. Горобца, посвященная замечательной игре-головоломке, которую придумал академик Ландау, чтобы не скучать во время поездок в машине. Поиграть в эту игру, в которой датчиком случайных чисел служили номера проносящихся мимо машин (тогда эти номера состояли из двух букв и двух пар цифр), он часто предлагал своим спутникам. Суть игры заключалась в том, чтобы с помощью знаков арифметических действий и символов элементарных функций (т.е. +, –, x, :, √, sin, cos, arcsin, arctg, lg и т.д.) привести к одному и тому же значению эти два двузначных числа из номера попутной машины. При этом допускается использование факториала (n! = 1 x 2 x ... х n), но не допускается использование секанса, косеканса и дифференцирования.
Например, для пары 75–33 искомое равенство достигается следующим образом:
а для пары 00–38 — так:
Однако не все номера решаются столь просто. Некоторые из них (например 75–65) не поддавались и автору игры, Ландау. Поэтому возникает вопрос о каком-либо универсальном подходе, некоей единой формуле, позволяющей «решать» любую пару номеров. Этот же вопрос задавал Ландау и его ученик проф. Каганов. Вот что он, в частности, пишет: «Всегда ли можно сделать равенство из автомобильного номера?» — спросил я у Ландау. — «Нет», — ответил он весьма определенно. — «Вы доказали теорему о несуществовании решения?» — удивился я. — «Нет», — убежденно сказал Лев Давидович, — «но не все номера у меня получались».
Однако такие решения были найдены, причем одно из них еще при жизни самого Ландау.
Харьковский математик Ю. Палант предложил для уравнивания пар чисел формулу
позволяющую в результате неоднократного применения выразить любую цифру через любую меньшую. «Я привел доказательство Ландау», — пишет об этом решении Каганов. — «Оно ему очень понравилось..., и мы полушутя, полусерьезно обсуждали, не опубликовать ли его в каком-нибудь научном журнале».
Однако в формуле Паланта используется «запрещенный» ныне секанс (вот уже более 20 лет он не входит в школьную программу), а посему ее нельзя считать удовлетворительной. Впрочем, мне удалось это легко исправить с помощью модифицированной формулы
Полученная формула (опять-таки при необходимости ее надо применять несколько раз) позволяет выразить любую цифру через любую большую цифру, не применяя других цифр, что, очевидно, исчерпывает задачу Ландау.
В конце концов, автор исходной заметки про игру Ландау, проф. Горобец дал еще одно, почти тривиальное общее решение: «Возьмем произвольный номер a,b—c,d и рассмотрим три случая.
1. Пусть среди цифр нет нулей. Составим из них два числа ab и cd, (это, разумеется, не произведения). Покажем, что при n ≥ 6:
