Эрик Каплан - Санта действительно существует?
Джордж: «Нарушение закона».
Логик: «Действительно ли нужно сообщить властям обо всех преступниках? Если бы ты жил в нацистской Германии и твой друг вопреки закону укрывал бы в своем доме евреев, ты бы сдал его полиции?»
Джордж: «Нет».
Логика: «Значит, выражение “О преступниках всегда нужно сообщать властям” неверно. Ты можешь защитить своего друга, и совесть твоя при этом будет чиста. Мы разрешили противоречие!»
Джордж: «Спасибо, Логик!»
Разумеется, эта беседа пошла бы совсем по-другому, если бы Логик подвергнул сомнению утверждение «Своих друзей нужно защищать» и сослался на примеры, когда люди сообщали властям о близких, если те делали что-то плохое. Или же Логик мог углубиться в нюансы значений слова «защищать» — в некоторых случаях защита друга, совершившего преступление, состоит как раз в том, чтобы сообщить о нем куда следует. Так человек получит помощь, которая убережет его от еще большей беды. Так или иначе, оба этих рассуждения дают Джорджу возможность уйти от противоречия.
Иногда логика прекрасно помогает нам решать наши проблемы. Например, в одном из диалогов Платона софист пытается сбить с толку покупателя собаки следующим рассуждением.
У тебя появилась собака.
У собаки появились щенки.
Если у А появилось В, а у В появилось С, значит, у А появилось С.
Единственное животное, которое может иметь щенков, — это собака.
У тебя появились щенки (что вытекает из пунктов 1, 2 и 3).
Ты — собака (что вытекает из пунктов 4 и 5).
Стоит отметить, что собеседник софиста в этом диалоге — все-таки не собака, а человек2. К счастью для него, в рассуждениях софиста есть логическая ошибка. Если у вас появилась собака, а у нее появились щенки, это не значит, что вы — собака. Почему?
Потому что слово «появиться» используется здесь в двух разных значениях. В первом случае оно означает «приобретение в собственность», а во втором — «рождение». Как только мы понимаем, что речь идет о двух разных концепциях, выражаемых одним словом, мы сразу же видим, что это рассуждение не имеет смысла.
Смысл выражения «появилась собака» в утверждении 1 не равнозначен смыслу выражения «появились щенки» в утверждении 2. Пускай в некоторых юридических обстоятельствах утверждение 3 и является верным, к рождению потомства оно не имеет никакого отношения.
Логика снова всех спасла.
Она может вывести нас из любого концептуального лабиринта.
Она по-настоящему крута.
Вперед, логика!
Впрочем, в некоторых случаях логика оказывается не просто бесполезна, но вредна. Даже если мы проанализируем все свои утверждения и найдем ответы на все сложные вопросы вроде «Когда допустимо предавать друга?», «Когда хорошие люди совершают преступления?» или «Что означает слово «защищать»?», у нас все равно останутся кое-какие сомнения, которые невозможно будет разрешить логическим путем. Это так называемые логические парадоксы — фразы, которые с точки зрения логики одновременно являются верными и неверными. Вот вам пример одного из них: «Это предложение неверно».
Если предложение неверно, то оно верно. Но если оно верно, значит, оно неверно! Даже если мы очистим все свои представления о мире от противоречий, прибегнув к логике, данный парадокс все равно встанет у нас на пути. Иными словами, ни один из методов, которые помогли нам решить задачку Джорджа и Эдди, в этом случае неприменим, потому что приведенное выше предложение состоит из исключительно логичных слов.
Когда логики пытаются применить свое искусство к теории множеств, возникает еще одна важная группа парадоксов, которые называются теоретико-множественными. Вот пример теоретико-множественного парадокса.
Существует множество различных типов прилагательных. Некоторые из них описывают сами себя. Например, прилагательное «русскоязычный» является русскоязычным прилагательным. Другие прилагательные не имеют такого свойства. Например, прилагательное «длинный» не описывает само себя, потому что слово «длинный» не очень длинное.
Давайте назовем прилагательные, которые описывают сами себя, «самоописательными», а все остальные прилагательные — «несамоописательными».
Примером самоописательных слов и выражений могут служить «прилагательное», «трудновыговариваемое», «многосложное» или «содержащее гласные».
Парадокс возникает, когда мы беремся за слово «несамоописательный». Является ли оно самоописательным или несамоописательным? Если оно описывает само себя, то не описывает само себя, а если оно не является самоописательным, то одновременно и является таковым. Как и в случае с парадоксом лжеца, нашему сознанию приходится метаться между двумя взаимоисключающими понятиями.
Философ Бертран Рассел3 предложил для таких парадоксов решение, которое еще называют простой теорией типов. Суть данной теории состоит в том, что если мы будем правильно и очень точно подбирать слова, то никогда не попадем в ловушку парадокса. Вот как это работает.
Нельзя применять к прилагательным ту логику, которую мы только что применили к слову «самоописательный». Мы должны очень четко определить прилагательное и тип объектов, которое оно характеризует, чтобы избежать парадоксов любого рода. Например, слово «длинный» должно применяться к предметам, а не к словам. Если вам требуется слово, описывающее слова, которые описывают предметы, то такое слово должно принадлежать к другому типу прилагательных. Представьте, что у вас есть отдельная коробочка с прилагательными, которые характеризуют не предметы, а слова. Если же перед вами находится предмет и вы хотите обозначить его характеристики, то для этого вы используете прилагательные из другой коробочки, относящиеся только к предметам.
Если же вы хотите описать качества какого-то слова, то вы можете использовать прилагательные только из коробки для характеристики слов, не трогая коробку с описаниями предметов. А если вы захотите сказать что-то о самих прилагательных, характеризующих слова? Никаких проблем! У вас есть коробка с прилагательными второго порядка — теми, что описывают прилагательные, которые описывают слова. Количество коробок в вашем распоряжении бесконечно, но Рассел составил свод правил, позволяющих ориентироваться в них и избегать парадоксов.
В простой теории типов Бертрана Рассела вопрос «Является ли слово “самоописательный” самоописательным?» невозможен. Так как прилагательные и все другие части речи описывают разные типы прилагательных, то самоописательных прилагательных не существует. Придерживаясь этого правила, вы не будете создавать парадоксов. Это что-то вроде логической гигиены для мозга.
Логик и философ Альфред Тарский4 сделал примерно то же самое с парадоксом лжеца. Он определил понятие «истина» таким образом, что его невозможно стало применить к выражению, содержащему слово «истинный» в себе.
Для начала Тарский определил понятие «истинный» для объектного языка L при помощи правил составления так называемых предложений истины. Сами правила не так уж и важны. Все, что нам нужно знать, — как с их помощью генерировать предложения истины, не используя при этом понятие «истинности». Такие предложения выглядят следующим образом.
«Фраза “Снег белый” истинна-в-языке-L» в том и только в том случае, если снег белый.
«Фраза “Трава зеленая” истинна-в-языке-L» в том и только в том случае, если трава зеленая.
Иными словами, если вы хотите описать выражение «Снег белый», вы можете это сделать, добавив к утверждению дополнительное условие «истинно-в-языке-L». Однако, говоря так, вы используете уже не язык L, а метаязык L1. Объектный язык называется так, потому что на нем мы говорим о предметах. Метаязык L1, в свою очередь, используется, чтобы говорить о предложениях объектного языка. Метаязык содержит выражения «истинно-в-языке-L» и «ложно-в-языке-L». Кроме того, существует еще и метаметаязык, описывающий выражения на метаязыке. На нем вы можете сказать следующее: «Выражение “Фраза «Снег белый» истинна-в-языке-L” истинно-в-языке-L1».
Какой же язык нужно использовать, чтобы сказать «Это предложение неверно»? Такого языка нет. Существует истина-в-языке-L, истина-в-языке-L1, истина-в-языке-L2, но не абсолютная истина, из-за которой и возникает парадокс.
Те из читателей этой книги, которые любят решать головоломки, наверняка уже заметили нестыковку. Чтобы сформулировать проблему и описать свое решение, Расселу и Тарскому приходится нарушать собственные правила!
Представим, будто Рассел сказал нам: «Не нужно ставить вопрос следующим образом: “Является ли слово «самоописательный» самоописательным?” Такая фраза абсолютно бессмысленна. Лучше используйте мою теорию типов, в которой прилагательные имеют смысл только в том случае, когда мы правильно их применяем».
