Владимир Кирсанов - Научная революция XVII века
Еще не понимая, что это за сила, Ньютон тем не менее стремится избежать такого различия и строит следующую модель (см. рисунок справа): шар, отражаясь от внутренней поверхности экрана в форме окружности, описывает замкнутую фигуру — квадрат. Если шар испытывает одно столкновение, то он описывает половину квадрата и проходит полуокружность; при этом горизонтальная (на чертеже) составляющая его скорости меняет свой знак на обратный, другая остается без изменений. Поэтому изменение этой компоненты при одном соударении равно ее удвоенной величине. Ньютон составляет пропорцию: «2fa : ab :: ab : fa :: сила или давление b на fg при отражении: силе движения b». Более привычная запись пропорции: 2fa/ab = ab/fa, она получается вследствие того, что отношение гипотенузы к катету в прямоугольных равнобедренных треугольниках неизменно. С другой стороны, ab есть мера скорости, а fa — мера ее горизонтальной составляющей. Тогда в современных обозначениях:
2fa/ab = Amv/mv = ab/fa = l/R,
где l — сторона квадрата, R — радиус окружности, mv — первоначальное количество движения, Δmv — изменение количества движения при одном соударении.
Ясно, что для четырех соударений, необходимых для описания шаром квадрата, Σ(Δmv)/mv = 4l/R. Если стороны квадрата постоянно удваивать, то получим для n-угольника: Σ(Δmv)/mv = nl/R, При n → ∞, nl → 2πR и Σ(Δmv)/mv = 2π, или Σ(Δmv) = 2π∙mv. Σ(Δmv) — полное изменение количества движения за один оборот, следовательно, Σ(Δmv) = F∙T, где T = 2πR/v, откуда
F = mv2/R.
Этот вывод формулы для центробежной силы отличается от ньютоновского только терминологией: Ньютон называл mv силой движения шара, Δmv — давлением, или силой одного столкновения (отражения), Σ(Δmv) —суммарной силой, a F— силой, в результате действия которой тело удаляется от центра в каждое мгновение.
Получив формулу для центробежной силы, Ньютон сразу попытался сопоставить ее с силой тяжести. Такое сопротивление напрашивалось само собой, если он хотел ответить на вопрос, с которым столкнулся еще при чтении «Диалога»: почему предметы не срываются с поверхности Земли в результате ее суточного вращения? Галилей был на правильном пути, но не сумел довести дело до конца, его объяснение было лишь качественным. Он считал, что сила тяжести, которую он называл gravita, действует на тело, стремящееся при вращении Земли отлететь от нее по касательной, и это действие превалирует над стремлением тела удалиться от центра Земли.
Ньютон решил довести решение проблемы до численного результата. Зная формулу центробежной силы, он смог вычислить достаточно точно ускорение свободного падения в экспериментах с коническим маятником. Он получил значение, равное 960 см/с2. Из данных, содержащихся в «Диалоге», он получил также, «что сила Земли, направленная от ее центра, относится к силе тяжести как один к 144 или около того». Но эти расчеты были проведены с учетом галилеевской величины ускорения свободного падения, которая после проведения Ньютоном опытов с коническим маятником оказалась вдвое заниженной. Ньютон это учел и получил окончательное отношение 1 : 288 [4, III, с. 44—45]. Нет никаких оснований не верить словам Ньютона, что «в тот же самый год он начал думать о тяжести, простирающейся до орбиты Луны (найдя, как вычислить силу, с которой шар, обращающийся внутри сферы, давит на ее поверхность)». Естественно было сначала сравнить центробежную силу на орбите Луны с силой тяжести на поверхности Земли. Легко подсчитать, что центробежная сила на лунной орбите в 14,26 раза меньше, чем на поверхности Земли. Тогда у Ньютона должно было получиться, что сила тяжести на поверхности Земли в 14,26 ∙ 288 = 4106 раз больше центробежной силы на лунной орбите (Ньютон в своих записках говорит, что эта величина получилась у него немногим более 4000).
Этому результату Ньютон попытался дать другое теоретическое объяснение. При помощи третьего закона Кеплера он показал, что для небесных тел стремление удалиться от центра их обращения обратно пропорционально квадрату их расстояния от этого центра. Действительно, F ~ v2/R и T ~ R3/2 при учете того, что v = 2πR/T, дают F ~ 4π/R2∙R3/T2; а так как R3/T2 = const, то F ~ 1/R2.
Итак, с одной стороны, он получил, что сила тяжести на Земле в 4000 раз больше, чем центробежное стремление на лунной орбите. С другой стороны, он вывел, что согласно закону обратных квадратов сила тяжести должна быть в 3600 раз больше этого стремления (радиус лунной орбиты принимается равным 60 земным радиусам): если предположить, как это сделал Ньютон, что планеты удерживаются на своих орбитах вследствие того, что сила тяготения уравновешивается центробежной силой.
Совпадение и правда показалось ему pretty nearly и достаточным, чтобы увидеть в этом балансе сил рациональное зерно. Но настоящее понимание концепции тяготения, как и истинного смысла центробежной силы, пришло к Ньютону много позднее.
Обычно возникновение идеи о всемирном тяготении связывается с легендой о яблоке. Вполне вероятно, что случай с яблоком действительно имел место, так как он находит подтверждение в четырех независимых свидетельствах: Кондуитта, Де Муавра, Стьюкли и Роберта Грина, а также в связанных с ними утверждениях Уэстона и Пембертона.
Обстоятельства дела сводятся к тому, что «в 1666 году он (Ньютон) снова приехал из Кембриджа к своей матери в Линкольншир, и в то время, когда он размышлял в саду, ему пришло в голову, что сила тяжести (которая заставляет яблоко падать с дерева на землю) не ограничена определенным расстоянием от Земли, но должна простираться много дальше, чем обычно думают. Почему не столь далеко, как до Луны? — сказал он самому себе, а если это так, то это должно сказываться на ее движении и, возможно, удерживать ее на ее орбите. После чего он подсчитал, каково должно было бы быть следствие такого предположения. Однако когда в отсутствие книг под рукой он принял (как это обычно делали географы и наши моряки до того, как Норвуд измерил Землю), что в одном градусе широты на поверхности Земли содержится 60 английских миль, его расчеты не совпали с теорией и ему пришлось допустить, что наряду с силой тяжести может оказывать влияние сила, которой обладала бы Луна, если бы двигалась, увлекаемая вихрями» [2, с. 154].
Сравнивая этот рассказ Кондуитта с вышеприведенным высказыванием самого Ньютона, можно увидеть два существенных несоответствия. Ньютон в рассказе Кондуитта счел расхождение в 16% (3600 и 4000) недопустимым, в то время как в своем собственном рассказе он рассматривает два полученных значения совпадающими «весьма близко». Кроме того, в пересказе Кондуитта имеется ссылка на картезианское объяснение движения планет, которая вроде бы лишала смысла все ньютоновское построение. Эти несоответствия вместе с тем фактом, что закон всемирного тяготения был сформулирован лишь двадцать лет спустя, заставили многих исследователей творчества Ньютона ломать голову над вопросом: откуда взялась эта ошибка в 16% и почему Ньютон, зная о законе всемирного тяготения в 1666 г., удерживался от его обнародования до 1684—1686 гг.?
До настоящего времени эти два вопроса рассматривались взаимосвязано, в чем, по-видимому, и коренилось заблуждение относительно правильного ответа. В действительности Ньютон, по всей вероятности, пользовался заниженной величиной радиуса Земли, взятой из английского перевода «Диалога» (3500 итальянских миль, где 1 итальянская миля равняется 5000 футам, а не 5280, как следовало бы в случае правильного измерения), но сама ошибка вследствие неправильной величины радиуса не может объяснить двадцатилетней задержки в публикации закона. Во-первых, Ньютон мог повторить свой расчет, пользуясь не данными «Диалога», а теми справочниками, о которых говорит Кондуитт, а в них уже с 1636 г. давалось правильное значение радиуса Земли, лишь на 0,5% отличающееся от величины, полученной в результате триангуляции Пикара в 1669—1670 гг. Во-вторых, и это самое главное, у Ньютона в 1666 г. представление о тяготении еще не сформировалось, а только зародилось, поэтому стали возможны картезианские реминисценции.
Другое объяснение было выдвинуто знаменитым математиком Адамсом и несколько менее знаменитым математиком Глэшером которые в конце XIX в. занимались разбором так называемой Портсмутской коллекции рукописей Ньютона. Они полагали, что отсрочка обнародования закона связана с тем, что Ньютон в 1666 г. еще не мог доказать, что тяготение между двумя материальными сферами эквивалентно взаимодействию между точечными центрами этих сфер, если считать, что в них сосредоточена вся масса. Такое объяснение ближе к истине, но на самом деле все было гораздо сложнее.
Ньютон в это время не только не осознавал эквивалентности тяжелых сфер и точек, но еще и никак не связывал с тяготением форму орбиты. Лишь тогда, когда он смог показать взаимосвязь первых законов Кеплера с концепцией тяготения, он смог говорить о тяготении как фундаментальном принципе. А пока лишь он установил, как следует из его заметок 1669 г., что «у главных планет, поскольку кубы их расстояний от Солнца обратно пропорциональны квадратам их периодов, их стремление удалиться от Солнца будет обратно пропорционально квадратам их расстояний от Солнца» [4, I, с. 297—300]. Этот документ, открытый Холлом в 1957 г., показывает, что Ньютон в 1666 г. пришел к мысли о связи между центробежной силой и квадратом расстояния, лишь смутно прозревая в этой зависимости идею всемирного тяготения[18].
