Владимир Кирсанов - Научная революция XVII века
Ньютон в это время не только не осознавал эквивалентности тяжелых сфер и точек, но еще и никак не связывал с тяготением форму орбиты. Лишь тогда, когда он смог показать взаимосвязь первых законов Кеплера с концепцией тяготения, он смог говорить о тяготении как фундаментальном принципе. А пока лишь он установил, как следует из его заметок 1669 г., что «у главных планет, поскольку кубы их расстояний от Солнца обратно пропорциональны квадратам их периодов, их стремление удалиться от Солнца будет обратно пропорционально квадратам их расстояний от Солнца» [4, I, с. 297—300]. Этот документ, открытый Холлом в 1957 г., показывает, что Ньютон в 1666 г. пришел к мысли о связи между центробежной силой и квадратом расстояния, лишь смутно прозревая в этой зависимости идею всемирного тяготения[18].
В «чумные годы» Ньютон размышлял не только о механических проблемах, его занимала также и оптика, в первую очередь теория цветов. Эта проблема начала его интересовать, вероятно, чуть раньше отъезда в Вулсторп, после того как он прочел «Микрографию» Гука, вышедшую в 1665 г. Без сомнения, в формировании его интереса к проблеме сыграли большую роль сочинения Декарта (особенно «Метеоры») и Бойля — его «Эксперименты и соображения относительно света», опубликованные в 1664 г. Свое критическое отношение к взглядам, существовавшим тогда на природу цветов, Ньютон высказал еще в «Философских вопросах», а впоследствии на остававшихся чистых листах дописал еще свои возражения против представления Гука.
Что же представляли собой эти взгляды? Преобладавшими в ученой среде были представления Аристотеля, согласно которому цвет определялся смешением света и тьмы в различных пропорциях. Декарт сделал существенный шаг вперед в понимании природы цветов — у него имеются три «элементарных» цвета: красный, желтый и синий, а все остальные создаются из их комбинаций. Важно и то, что у него цвет связывался с наличием определенного периодического движения, а именно, определенной скорости вращения частиц второго элемента. Теория Гука была сродни аристотелевской — цвет определялся комбинацией света и темноты, несмотря на то, что в основе его теории лежало представление о волновой природе света. Он считал, что цвет зависит от угла, который составляет поверхность волны с направлением распространения света. Например, «изображение на сетчатке косого и деформированного импульса света (an oblique and confus'd pulse of light), слабейшая часть которого предшествует сильнейшей, является синим», а если, наоборот, ослабленная часть косой волны попадает в глаз последней, то изображение является красным. Если поверхность волны перпендикулярна направлению распространения, наблюдаемый цвет будет белым.
Ньютону все это казалось неверным. Его приверженность атомистической доктрине не давала ему возможности стать ни на точку зрения Декарта, ни на точку зрения Гука. «Чем более одинаково частицы света (globuli) возбуждают оптический нерв, тем более тело кажется окрашенным в красный, желтый, синий и т. д. цвет, а чем более разнообразно они на него действуют, тем более тела кажутся белыми, черными и серыми» [2, с. 159],— писал он в добавлении к «Вопросам».
Ньютон вначале подошел к проблеме чисто теоретически, предположив, что свет является потоком частиц, а белый цвет является составным. Тогда же он связал цвет со скоростью частиц. После того как выкристаллизовалась первоначальная идея, можно было приступать к экспериментам. Направление их было определено работами его предшественников — это должны были быть эксперименты с призмой. Позднее Ньютон так вспоминал об этом: «В начале 1666 г. (в то время, когда я занялся шлифованием оптических стекол иной формы, чем сферическая) я приобрел для себя треугольную стеклянную призму, чтобы с ее помощью попробовать получить знаменитые явления цветов» [2, с. 156].
Нам достоверно неизвестно, ставил ли он опыты с разложением света до своего окончательного возвращения в университет. Во всяком случае, подготовительная работа была проведена.
4
Весной 1667 г. Ньютон возвратился в Кембридж. Можно с уверенностью сказать, что почти два года, проведенные им вне стен университета, пошли ему на пользу. За это время он превратился из критически настроенного дилетанта в настоящего ученого, чьи результаты объективно не вызывали сомнений в его гениальности. Но именно — объективно, потому что с его результатами еще никто не был знаком ни в математике, ни в физике. Впрочем, мало-помалу он становился известным, об этом говорит тот факт, что в октябре 1669 г. Ньютон сменил Барроу на посту профессора люкасовской кафедры. Но в период между 1667 и 1669 гг. еще многое Ньютону предстояло сделать в науке и еще многое в его жизни должно было измениться.
Прежде всего перед ним снова встала проблема, связанная с продолжением работы в университете: статус стипендиата колледжа был всего лишь необходимым условием для дальнейшей университетской карьеры, но отнюдь не достаточным. Чтобы обеспечить себе возможность дальнейшей работы в университете, Ньютон должен был стать членом колледжа. Важность этого шага для его дальнейшей жизни может быть сравнима только с избранием его стипендиатом три года назад. Но сходство ситуаций этим не ограничивается — по-прежнему у Ньютона не было никаких видимых шансов быть избранным в члены колледжа: он почти никому не был известен как ученый, к тому же последние три года выборы не проводились, и потому набралось много кандидатов на всего девять вакансий. Как пишет Уэстфолл, «фаланга вестминстерских ученых имела, как обычно, все преимущества. Было хорошо известно, что их политическое влияние постоянно возрастает, в результате чего они, пользуясь доступом ко двору, запаслись грамотами от короля, требовавшего их избрания. Для остальных все зависело от решения магистра и восьми старших членов (senior fellows), и слухи о связях распространялись повсюду. Кандидаты должны были просидеть в часовне четыре дня подряд, подвергаясь экзамену viva voce со стороны восьми старших членов,— это было вымирающим олицетворением программы, которую Ньютон систематически игнорировал почти четыре года. Как мог бывший сабсайзер, каковы бы ни были его достоинства, надеяться пройти в таких обстоятельствах?» [2, с. 177].
Тем не менее невозможное снова случилось, и когда 2 октября 1667 г. зазвонил колокол, возвещая о том, что выборы состоялись, Ньютон стал младшим членом (minor fellow) колледжа. Спустя полгода, в марте 1668 г., он был сделан старшим членом (senior fellow), а еще через четыре месяца Ньютон почти автоматически получил степень магистра искусств. К этому моменту имя Ньютона начинает приобретать известность в университетских кругах, в первую очередь благодаря его математическим достижениям.
Задача о проведении касательной к кривой (Декарт) Задача о проведении касательной к кривой (Ньютон)Существенные результаты в математике Ньютон получил уже в первые годы своего пребывания в университете. Осенью 1664 г. он занимался проблемой проведения касательных и нормалей к кривым, ею он заинтересовался, как мы помним, изучая работы Декарта и Схоутена. Решение этой проблемы было чрезвычайно важно вследствие ее непосредственной связи с понятиями дифференциального исчисления (напомним, что производная функция в данной точке есть тангенс угла наклона касательной к кривой, изображающей функцию, в этой точке)[19].
У Декарта нахождение касательной к кривой заменялось построением поднормали для данной точки. На рисунке (слева) NM — касательная, проведенная к кривой aMb в точке М, МО — нормаль и KO — поднормаль. Согласно Декарту, окружность, проведенная из точки O (пересечение нормали с осью абсцисс) радиусом МО, будет иметь в М общую касательную с данной кривой. Поэтому задача нахождения поднормали KO, которую можно рассматривать как абсциссу точки М, сводится к построению окружности, имеющей с данной кривой одну общую точку М. В общем случае окружность пересечет кривую по меньшей мере в двух точках. Алгебраически это означает, что совместное решение уравнений окружности и данной кривой имеет два различных корня. Если же окружность касается кривой, то решением служит один двойной корень, которому соответствует нормаль KO и отрезок КМ (т. е. абсцисса и ордината точки М). Декарт находил этот двойной корень с помощью открытого им метода неопределенных коэффициентов.
Для Ньютона в подходе Декарта наиболее важной была процедура перехода от двух точек пересечения к одной, и уже весной 1665 г. он определяет центр кривизны кривой как точку пересечения двух бесконечно близких нормалей, а 20 мая 1665 г. он пишет статью о максимумах и минимумах, где прямо переходит к методам исчисления бесконечно малых. В задаче о нахождении поднормали он поступает следующим образом: наряду с точкой e (которая, как и у Декарта, есть общая точка окружности и кривой) он берет другую точку пересечения f, бесконечна близкую к e; тогда c будет бесконечно близко к b. Расстояние cb он обозначает как o малое (такое обозначение он ввел несколько раньше). Затем, полагая, что de = df, и воспользовавшись теоремой Пифагора, Ньютон получает
