РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров
Эффективная граница GHPR соответствует использованию рычага и реинвестированию прибылей. Наша цель — найти оптимальный неограниченный геометрический портфель, который в результате даст наибольший геометрический рост. Можно использовать уравнения с (7.Оба) по (7.06г) для нахождения на эффективной границе геометрического оптимального портфеля. В нашем случае, независимо от того, какое значение мы пытаемся найти для Е (значение на пересечение столбца ответов и первой строки), мы получаем один и тот же портфель, состоящий только из сберегательного счета, поднятого рычагом для достижения желаемого значения Е. В этом случае мы получаем самое низкое V (т. е. 0) для любого Е.
Удалим из матрицы сберегательный счет и повторим процедуру. На этот раз мы рассмотрим только четыре рыночные системы (Toxico, Incubeast, LA Garb и NIC) и ограничим сумму весов числом 9. Мы должны поступить таким образом, потому что, как только в матрице появляется компонент с нулевой дисперсией и AHPR большим 1, мы получаем оптимальный портфель, состоящий из одного компонента, а для соответствия требуемому Е будет меняться только рычаг этого компонента.
Решив матрицу, мы увидим, что уравнения с (7.06а) по (7.06г) удовлетворяются при Е, равном 0,2457. Так как это геометрический оптимальный портфель, V также равно 0,2457. Получившееся среднее геометрическое равно 1,142833. Портфель будет выглядеть следующим образом:
Toxico 102,5982%
Incubeast 49,00558%
LA Garb 40,24979%
NIC 708,14643%
Возникает резонный вопрос: «Каким образом сумма весов компонентов может быть больше 100%?» Мы ответим на этот вопрос, но несколько позже.
Если NIC не является одним из компонентов геометрического оптимального портфеля, то следует поднять ограничение суммы весов S до уровня, когда NIC станет одним из компонентов геометрического оптимального портфеля. Вспомните, что если в портфеле есть только два компонента, причем коэффициент корреляции между ними равен -1 и оба компонента имеют положительное математическое ожидание, тогда от вас потребуется финансирование бесконечного числа контрактов, поскольку такой портфель никогда не будет проигрывать. Следует также отметить, что чем ниже коэффициенты корреляции между компонентами в портфеле, тем выше процент, требуемый для инвестирования в эти компоненты. Разность между инвестированными процентными долями и ограничением суммы весов S должна быть заполнена NIC. Если NIC отсутствует среди компонентов геометрического оптимального портфеля, значит портфель работает при ограниченном S и поэтому не может считаться неограниченным геометрическим оптимальным портфелем. Так как вы не будете в действительности инвестировать в NIC, то не имеет значения, каков его вес, пока он является частью геометрического оптимального портфеля.
Оптимальное f и оптимальные портфели
Из главы 6 мы узнали, что для каждого компонента портфеля необходимо определить ожидаемую прибыль (в процентах) и ожидаемую дисперсию прибылей. В общем случае, ожидаемые прибыли (и дисперсии) рассчитываются на основе текущей цены акции. Затем для каждого компонента определяется его оптимальный процент (вес). Далее, для расчета суммы инвестиций в тот или иной компонент, баланс на счете умножается на вес компонента, и затем для определения количества акций для покупки эта сумма в долларах делится на текущую цену одной акции.
Так в общих чертах можно описать современную стратегию создания портфеля. Но это не совсем оптимальный вариант, и в этом состоит одна из основных идей книги. Вместо определения ожидаемой прибыли и дисперсии прибыли на основе текущей цены компонента, ожидаемая прибыль и дисперсия прибылей для каждого компонента должны определяться на основе долларового оптимального f. Другими словами, в качестве входных данных вы должны использовать арифметическое среднее HPR и дисперсию HPR. Используемые HPR должны быть привязаны не к количеству сделок, а к фиксированным интервалам времени (дни, недели, месяцы, кварталы или годы), как в главе 1 для уравнения (1.15).
где А = сумма в долларах, выигранная или проигранная в этот день;
В = оптимальное f в долларах.
Не обязательно использовать дневные данные, можно использовать любой временной период, при условии, что он одинаковый для всех компонентов портфеля (тот же временной период должен использоваться для определения коэффициентов корреляции между HPR различных компонентов). Скажем, рыночная система с оптимальным f= 2000 долларов за день заработала 100 долларов. Тогда для такой рыночной системы дневное HPR = 1,05.
Если вы рассчитываете оптимальное f на основе приведенных данных, то для получения дневных HPR следует использовать уравнение (2.12);
где D$ = изменение цены 1 единицы в долларах по сравнению с прошлым днем, т.е. (закрытие сегодня - закрытие вчера) * доллары за пункт;
f$ = текущее оптимальное f в долларах, рассчитанное из уравнения (2.11). Здесь текущей ценой является закрытие последнего дня.
После того как вы определите оптимальное f в долларах для 1 единицы компонента, надо взять дневные изменения баланса на основе 1 единицы и преобразовать их в HPR с помощью уравнения (1.15). Если вы используете приведенные данные, воспользуйтесь уравнением (2.12). Когда вы комбинируете рыночные системы в портфеле, все они должны иметь одинаковый формат, т.е. если данные приведены к текущим ценам, то оптимальные f и побочные продукты также должны быть приведенными.
Вернемся к арифметическому среднему HPR. Вычитая единицу из арифметического среднего, мы получим ожидаемую прибыль компонента. Дисперсия дневных (недельных, месячных и т.д.) HPR даст исходную дисперсию для матрицы. Наконец, для каждой пары рассматриваемых рыночных систем рассчитаем коэффициенты корреляции между дневными HPR.
Теперь можно сделать важное заключение. Портфели, параметры которых (ожидаемые прибыли, дисперсия ожидаемых прибылей и коэффициенты корреляции ожидаемых прибылей) выбраны на основе текущей цены компонента, не будут истинно оптимальными портфелями. Для определения истинно оптимального портфеля следует использовать входные параметры, основанные на торговле 1 единицей при оптимальном/для каждого компонента. Вы не можете быть ближе к пику кривой оптимального f, чем само оптимальное f. Рассчитывая параметры из текущей рыночной цены компонента, вы выбираете параметры произвольно, следовательно, они не обязательно оптимальны.
Вернемся к вопросу о том, каким образом возможно инвестировать больше 100% в определенный компонент. Одно из основных утверждений этой книги состоит в том, что вес и количество не одно и то же. Вес, который вы получаете при нахождении геометрического оптимального портфеля, должен быть отражен в оптимальных f компонентов портфеля. Для этого следует разделить оптимальное f каждого компонента на его соответствующий вес. Допустим, у нас есть следующие оптимальные f (в долларах):
Toxico $2500
Incubeast $4750
LA Garb $5000
(Отметьте, что если вы приводите данные к текущей цене и, следовательно, получаете приведенное оптимальное f и побочные продукты, тогда ваше оптимальное f в долларах будет меняться каждый день в зависимости от цены закрытия предыдущего дня на основании уравнения [2.11].)
Теперь разделим f на соответствующие веса:
Toxico $2500 / 1,025982 = $2436,69
Incubeast $4750 / 0,4900558 = $9692,77
LA Garb $5000 / 0,4024979 = $12 422,43
Таким образом, используя новые «отрегулированные» значения f, мы получаем геометрический оптимальный портфель. Допустим, Toxico представляет определенную рыночную систему. Торгуя 1 контрактом в этой рыночной системе на каждые 2436,69 долларов на счете (и поступая таким же образом с новыми отрегулированными значениями f других рыночных систем), мы будем торговать геометрическим оптимальным неограниченным портфелем. Если Toxico является акцией и мы считаем 100 акций «I контрактом», то следует торговать 100 акциями Toxico на каждые 2436,99 доллара на балансе счета. Пока мы не будем учитывать залоговые средства. В следующей главе мы рассмотрим проблему требований к залоговым средствам.
«Минутку, — можете возразить вы. — Если мы изменим оптимальный портфель посредством оптимального f, будет ли он оптимальным. Если новые значения относятся к другому портфелю, то ему соответствует другая координата прибыли, и он может не оказаться на эффективной границе».
Заметьте, мы не изменяем значения f. Мы просто сокращаем расчеты, и это выглядит так, как будто значения f изменяются. Мы создаем оптимальные портфели, основываясь на ожидаемых прибылях и дисперсии прибылей при торговле одной единицей каждого компонента, а также на коэффициентах корреляции. Таким образом, мы получаем оптимальные веса (оптимальный процент счета для торговли каждым компонентом). Поэтому, если рыночная система имеет оптимальное f = 2000 долларов и ее вес в оптимальном портфеле равен 0,5, мы должны использовать для этой рыночной системы 50% счета при полном оптимальном f= 2000 долларов. Это то же самое, что торговать 100% нашего счета при оптимальном f, деленном на оптимальный вес, т.е. ($2000 /0,5) = $4000. Другими словами, торговать оптимальным f= 2000 долларов на 50% счета, по сути, то же самое, что и торговать измененным f= 4000 долларов на 100% счета.
