РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров
Значения столбца «AHPR» являются средними арифметическими HPR (расчет будет рассмотрен позднее в этой главе), a GHPR является средним геометрическим HPR. Столбец «f» представляет оптимальные f, из которых находятся значения столбцов AHPR и GHPR. Арифметическое математическое ожидание равно AHPR - 1, а геометрическое математическое ожидание равно GHPR - 1. Отметьте, что наибольшие математические ожидания (необязательно положительные ожидания, как в этом примере) возникают в день после приобретения опциона. Каждый последующий день ожидания уменьшаются, причем скорость уменьшения с течением времени замедляется. После 911106 математические ожидания (HPR - 1) становятся отрицательными. ' Если бы нам пришлось торговать по этой информации, мы могли бы войти сегодня (911104) и выйти при закрытии завтра (911105). Справедливая цена опциона равна 2,861. Если мы допустим, что он котируется по цене 100 долларов за полный пункт, цена опциона составит 2,861 * $100 ^ $286,10. Разделив эту цену на оптимальное f= 0,0806, мы найдем, что следует торговать одним опционом на каждые 3549,63 доллара на балансе счета. Если бы мы держали опцион до закрытия 911106 (последний день), когда он все еще имеет положительное математическое ожидание, то открыв позицию сегодня, используя для дня выхода (911106) соответствующее оптимальное f= 0,0016, торговали бы 1 контрактом на каждые 178 812,50 доллара на балансе счета ($286,10 / 0,0016). Отметьте, что при этом ожидание намного ниже, чем в случае торговли 1 контрактом на каждые 3549,63 доллара на балансе счета и выхода по цене закрытия завтра (911105).
Скорость изменения между двумя функциями: уменьшением премии с течением времени и расширением окна Х стандартных отклонений, может создать положительное математическое ожидание для длинной позиции по опциону. Это ожидание имеет наибольшее значение в момент открытия позиции и после этого понижается с уменьшающейся скоростью. Таким образом, справедливо оцененный опцион (на основе вышеизложенных моделей) может иметь положительное математическое ожидание, если позицию по нему закрыть в начале периода падения премии. В следующей таблице рассматривается тот же колл-опцион с ценой исполнения 100, но на этот раз используются окна различного размера (различные значения стандартных отклонений):
Число стандартных отклонений 2 3 5 8 10 AHPR 1,000102 1,000379 1,000409 1,000409 1,000409 GHPR 1,000047 1,00018 1,000195 1,000195 1,000195 f 0,043989 0,0781 0,0806 0,0806 0,0806 Дата выхода 911105 911105 911106 911106 911106AHPR и GHPR — это арифметические и геометрические HPR при оптимальном f для дня закрытия 911105 (самая благоприятная дата выхода, так как она имеет наивысшие AHPR и GHPR). f соответствует оптимальному f для 911105. Значения строки «Дата выхода» — это последние даты, когда еще существует положительное ожидание (т.е. когда AHPR и GHPR больше 1). Интересно отметить, что AHPR, GHPR, f и Дата выхода сходятся к определенным значениям, когда мы увеличиваем число стандартных отклонений. За пределами 5 стандартных отклонений эти значения едва заметно изменяются, за пределами 8 стандартных отклонений они практически вообще не изменяются. Недостатком использования большого числа стандартных отклонений является необходимость в значительном компьютерном времени. В нашем примере это не так важно, но когда мы будем рассматривать одновременную торговлю по нескольким позициям, вы увидите, что каждая дополнительная позиция экспоненциально увеличивает необходимое компьютерное время. Для одной позиции 8 стандартных отклонений более чем достаточно, однако для нескольких позиций, открытых одновременно, необходимо уменьшить число стандартных отклонений. Следует отметить, что правило 8 стандартных отклонений применимо только тогда, когда логарифмы изменений цены распределены нормально.
Одиночная короткая позиция по опциону
Все сказанное по поводу одиночной длинной опционной позиции остается верным и для одиночной короткой опционной позиции. Единственное отличие заключается в ином написании уравнения (5.14):
где HPR(T, U) = НРR для данного тестируемого значения Т и U;
f = тестируемое значение f;
S = текущая цена опциона;
Z(T, U - Y) = теоретическая цена опциона, когда цена базового инструмента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т,
Р(Т, U) = вероятность того, что базовый инструмент равен U, когда время, оставшееся до истечения срока исполнения, равно Т;
Y = разность между арифметическим математическим ожиданием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.
Для одиночной короткой опционной позиции это уравнение преобразуется в:
где HPR(T, U) == HPR для данного тестируемого значения Т и U;
f= тестируемое значение f;
S = текущая цена опциона;
Z(T, U - Y)= теоретическая цена опциона, когда цена базового инструмента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т;
Р(Т, U) = вероятность того, что базовый инструмент равен U, когда время, оставшееся до истечения срока исполнения,
равно Т,
Y = разность между арифметическим математическим ожиданием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.
Обратите внимание, что единственным отличием уравнения (5.14) для одиночной длинной опционной позиции от уравнения (5.20) для одиночной короткой позиции является выражение (Z(T, U-Y)/S-1), которое заменяется на (1-Z(T, U - Y) / S). Все остальное в отношении одиночной длинной опционной позиции верно и для одиночной опционной короткой позиции.
Одиночная позиция по базовому инструменту
В главе 3 мы подробно рассмотрели математику поиска оптимального f параметрическим способом. Теперь мы можем использовать тот же метод и для
одиночной длинной опционной позиции с учетом нового HPR, которое рассчитывается по уравнению (3.30):
где HPR(U) = HPR для данного U;
L= ассоциированное P&L;
W = ассоциированное P&L худшего случая (это всегда отрицательное значение);
f == тестируемое значение f;
Р = ассоциированная вероятность.
Для длинной позиции переменная L, т.е. ассоциированное P&L, определяется как разность между ценой базового инструмента U и ценой S.
(5.21 а) L для длинной позиции = U - S
Для короткой позиции ассоциированное P&L рассчитывается наоборот:
(5.216) L для короткой позиции = S - U,
где S = текущая цена базового инструмента;
U = цена базового инструмента для данного HPR.
Мы можем также рассчитать оптимальное f для одиночной позиции по базовому инструменту, используя уравнение (5.14). При этом надо иметь в виду, что оптимальное f может получиться больше 1.
Пусть цена базового инструмента равна 100, и мы ожидаем пять результатов:
Результат Вероятность P&L 110 0,15 10 105 0,30 5 100 0,50 0 95 0,25 -5 90 0,10 -10
Отметьте, что исходя из уравнения (5.10) наше арифметическое математическое ожидание по базовому инструменту составляет 100,576923077. Это означает, что переменная Y для (5.14) равна 0,576923077, так как 100,576923077-100= = 0,576923077. Если рассчитать оптимальное f, используя столбец P&L и уравнение (3.30), мы получим f= 1,9, что соответствует 1 единице на каждые 52,63 доллара на счете. Если в уравнении (5.14) использовать данные из столбца «Результат», тогда переменная S равна 100. В этом случае мы не вычитаем значение Y (арифметическое математическое ожидание базового инструмента минус его текущая цена) из U при определении переменной Z(T, U - Y), и получаем оптимальное f около 1,9, что соответствует 1 единице на каждые 52,63 доллара на счете, так как
100 /1,9=52,63.
Если вычесть значение Y в выражении Z(T, U - Y), являющемся элементом уравнения (5.14), мы получим математическое ожидание по базовому инструменту, равное его текущему значению, и поэтому f не будет оптимальным. Тем не менее нам следует вычесть значение Y в Z(T, U - Y) для того, чтобы соответствовать расчетам цен опционов, а также формуле «пут-колл» паритета. Если мы будем использовать уравнение (3.30) вместо уравнения (5.14), тогда из каждого значения U в (5.21а) и (5.216) следует вычесть значение Y, то есть надо вычесть Y из каждого P&L, что опять же создает ситуацию, когда нет положительного математического ожидания, и поэтому нет оптимального значения f. Все вышесказанное означает, что если мы откроем позицию по базовому инструменту, не имея никаких представлений о направлении движения его цены, то не получим положительного математического ожидания (как происходит с некоторыми опционами) и поэтому не найдем оптимального f. Мы можем получить оптимальное f только в том случае, когда математическое ожидание положительное. Это произойдет, если базовый инструмент «в тренде».
