Лев Бобров - По следам сенсаций
Приведённое построение можно повторить применительно к любой точке нашей кривой. Впрочем, не обязательно только нашей, а вообще любой кривой. Конечно, вид производной будет неодинаковым для разных кривых, не говоря уже о том, что её значение меняется от точки к точке у каждой кривой. Но теперь мы знаем закон поведения производной: она меняется так же, как и угол наклона касательной к кривой в данной точке. И геометрический смысл произведений — тангенс этого угла. Ведь что такое наши «дельта эс» и «дельта тэ», как не катеты прямоугольного треугольника! Треугольник построен на гипотенузе с теми самыми краевыми точками, которые отмечали положение центра тяжести стрелы на обоих кадрах. Когда же мы начали сдвигать эти соседние точки, гипотенуза слилась с касательной.
Так вот: отыскав производную, мы продифференцировали функцию — в нашем случае уравнение параболы. Зная производную, мы можем найти и первоначальную (первообразную) функцию, то есть проделать обратную операцию — интегрирование. Приёмы дифференцирования и интегрирования едва ли сложнее алгебраических правил. Но нас сейчас волнует не это. Какой смысл таится в дроби? Здесь и числитель и знаменатель вроде бы… нули! Но ведь отношение нулей — абсурд!
Чтобы разобраться в парадоксе, придётся снова совершить экскурс в прошлое и ответить на вопрос: а сумел ли Ньютон отразить «стрелу», пущенную Зеноном? Не постигла ли его детище — анализ бесконечно малых — злая участь Пифона, убиенного Аполлоном Бельведерским?
…24 августа 1624 года в Париже должен был состояться публичный диспут. Но перед самым открытием дискуссии один из её устроителей, де Клав, был арестован. Другому, Виллону, пришлось скрыться. Специально изданный парламентский указ гласил: запретить полемику; в торжественной обстановке перед лицом собравшихся разорвать в клочья заранее объявленные тезисы; всех организаторов выслать в 24 часа за пределы города, лишив их права вообще въезжать в столичный округ; строго-настрого запретить профессорам любое упоминание крамольных тезисов в лекциях.
Всяк, кто устно или печатно нарушит сей рескрипт, подлежит смертной казни…
Четырнадцатый тезис разорванной программы диспута провозглашал атомистическую доктрину. В нём чёрным по белому значилось, что Аристотель, то ли по невежеству, то ли по злому умыслу, высмеял учение, согласно которому мир состоит из атомов. Между тем-де это мировоззрение как нельзя лучше соответствует разумным основам подлинной натурфилософии…
Но при чём тут Зенон? Речь-то шла об идеях Демокрита!
Атомистика Демокрита была реакцией на выпады элейской школы, во главе которой стоял Зенон. Интересно и важно: Демокрит был апостолом атомизма не только в физике, но и в математике. Причём обосновывал необходимость атомистического миросозерцания ссылкой не на физические явления, отнюдь, а на чисто математические затруднения, возникающие в том случае, если считать пространство непрерывным.
В дозеноновском естествознании все тела считались беспредельно делимыми. Это с одной стороны. А с другой — допускалось, что каждый предмет состоит из бесчисленного множества непротяженных и далее неделимых «телец». На эти-то противоречивые принципы и обрушился Зенон.
Если тело делимо беспредельно, говорил он, го оно должно быть бесконечно большим. Как бы далеко ни заходило дробление, всякий раз будут получаться протяжённые частицы, размеры коих никогда не обратятся в нуль. Поскольку же деление бесконечно, постольку и геометрических «атомов» будет бесчисленное множество! А если так, то сумма бесконечно большого количества протяжённых и далее, неделимых элементов окажется неизмеримо огромной. Если же, наоборот, точка как предел деления не имеет размеров, то сложение любого, сколь угодно большого количества таких «нулей» никогда не даст протяжённого тела!
Логическая диверсия Зенона произвела ошеломляющее впечатление. Учёные всполошились; всем стало ясно, что теоретические основы геометрии продуманы недостаточно глубоко, внутренне противоречивы и несостоятельны.
Вот тогда-то, среди обломков, оставшихся после разрушительной деятельности элеатов, школа Демокрита и принялась восстанавливать теоретически фундамент геометрии. Приклеив единомышленникам Зенона ярлык «афизиков» («лжеучёных»), она попросту отмахнулась от их дьявольских искушений. Предел делимости материи и пространства был провозглашён сызнова. Так в ответ на сугубо негативную элейскую критику появилась позитивная платформа, на которой можно было — худо, ли, бедно ли — дальше возводить храм математики и механики. Но тут Аристотель взял и торпедировал эту конструктивную платформу! Что ж, он был по-своему прав: ведь противоречия, подмеченные Зеноном, делали позиции Демокрита очень и очень шаткими…
Более полутора десятков столетий довлели над наукой аристотелевские идеи.
Лишь в эпоху позднего Возрождения учёные возвысили свой голос против схоластических догм. Даже невзирая на то, что, посулив особо рьяным критиканам смертную казнь, французский парламент тем самым приравнял авторитет Платона и его ученика Аристотеля к авторитету евангелия…
Идея непрерывности, противоречившая повседневной интуиции, была отринута мыслителями эпохи Возрождения.
В своих «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей науки», Галилей рассуждает о бесконечно малых промежутках между отдельными бесконечно малыми участками прямой. Из письма Кавальери к Галилею явствует, что оба они, как, впрочем, и Кеплер, контрабандой вынашивали идею «неделимого». А взгляды Кеплера и Кавальери, предтеч Ньютона в создании новой математики, — чистейшей воды геометрический атомизм!
«Непосредственная и непрерывающаяся связь между математическим атомизмом древности и нынешним дифференциальным и интегральным исчислением не подлежит сомнению, — говорит профессор С. Я. Лурье в книге «Теория бесконечно малых у древних атомистов». — Историю метода бесконечно малых следует начинать не с Казальери, а с Демокрита».
Итак, исчисление бесконечно малых было построено на атомистическом фундаменте. Но тогда, выходит, парадоксы Зенона остались непреодоленными? Вспомните наше недоумение с дифференциалами: что это — нули или не нули? Какой смысл таится в дроби, где и числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю?
Этот вопрос глубоко волновал другого создателя анализа Лейбница, немецкого коллегу Ньютона. Обозначение dS/dt, введённое Лейбницем, рассматривалось как отношение бесконечно малых величин — дифференциалов dS и dt. Эта символика до сих пор смущает любого из нас, когда мы принимаемся штудировать дифференциальное исчисление. Из выражения: предел ΔS/Δt = dS/dt при Δt стремящемся к нулю, — невольно напрашивается вывод, будто «дельта тэ» стремится сразу к двум пределам: к dt, отнюдь не равному нулю, и в то же время к нулю, а «дельта эс» к dS и к нулю! А всё потому, что перед нами «ископаемые останки» атомистической эпохи в математике. Стоит допустить, что кривая составлена из мельчайших «атомов», как пределом для приращения «дельта эс» или «дельта тэ» будет уже не нуль, то есть ничто, а высота или, ширина этой неделимой геометрической крупицы: dS или соответственно dt. Теперь, с позиций Лейбница, безо всяких ухищрений легко поддаётся уразумению и равенство: предел ΔS/Δt = dS/dt Ибо при атомистическом подходе предел ΔS равен dS, а предел Δt равен dt. Вот именно: при атомистическом. При том самом, который в пух и прах был разнесён ещё Зеноном. При том самом, от которого давным-давно уже ушла математика. Ну, а сегодня, когда математика вновь стоит на позициях непрерывности, тоже кстати зело подорванных Зеноном? Дают ли о себе знать коварные аргументы элеатов?
Откройте прекрасную книгу Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика». Там сказано: дифференциалы как бесконечно малые величины из математического обихода изгнаны окончательно и не без позора. И всё же сам термин «дифференциал» прокрался обратно через чёрный ход. Он как ни в чём не бывало по-прежнему фигурирует в обозначениях, сохранившихся до сего времени и сбивающих с толку: dS/dt. Правда, сегодня в математики видят не бесконечно малую величину, а конечное приращение «дельта тэ». Что же касается dS/dt, то эта «дробь» в целом стала просто символом результата, который получается при переходе к пределу. Действительно, прежде чем переходить к пределу, можно избавиться от будущего «нуля» в знаменателе. Для этого числитель дроби ΔS/Δt раскрывают; ведь за этим символом стоит обычная алгебраическая разность. Разность между двумя выражениями одного и того же математического закона, но для двух разных точек кривой. В формуле разности появляется сомножитель «дельта тэ». Тот же самый, что стоит в знаменателе! А раз так, то и числитель и знаменатель можно сократить на «дельта тэ». Ведь это не возбраняется до тех пор, пока «дельта тэ» не равно нулю. Так «дельта тэ» исчезает из знаменателя. Правда, в формуле для числителя после сокращения остаётся ещё одно «дельта тэ». Но потом, когда мы переходим к пределу, это второе «дельта тэ» обращается в нуль. Так — сложно ли, просто ли — но для каждой функции удаётся ловким манёвром миновать нелепость:
