Лев Бобров - По следам сенсаций
Подмеченные Зеноном трудности в строгом истолковании понятий «предел» и «непрерывность» можно проиллюстрировать и на более простом примере.
Представьте: у вас в комнате по полу ползёт черепаха. И вдруг — стоп! — животное упёрлось носом в стенку. Путь черепахи — переменная величина, растущая до какого-то предела. Предел — стена. Вернее, точка, ограничивающая траекторию черепахи. Но эта точка не принадлежит к бесконечному множеству точек траектории! Мало того: у черепашьего пути вообще невозможно определить последнюю точку — ту, где обретается черепаший нос в момент удара, ту, что предшествует предельной — точке стены. Здесь мы ненароком коснулись другой апории Зенона. Если первая в истории математики фигурирует под названием «Ахилл», то второй присвоено имя «Дихотомия». Это древнегреческое слово переводится так: «бесконечное деление пополам».
Прежде чем завершить весь путь, черепаха должна пройти его половину, говорил Зенон. Но прежде чем она достигнет середины пути, ей предстоит добраться до метки, рассекающей надвое эту половину. Однако прежде чем оставить за собой четверть пути, нужно пройти его «осьмушку»… Уф! Так можно продолжать до бесконечности. Короче, Зенон делал вывод: движение никогда не начнётся!
Геометрически парадокс можно истолковать так. Мы берём отрезок и делим его напополам. Левую половину опять рассекаем надвое. Левую четвертушку — тоже надвое. Затем левую осьмушку, шестнадцатую долю, одну тридцать вторую и так далее — без конца. Не напоминает ли это погоню Ахилла за черепахой или путешествие черепахи по комнатному тупику? Только сейчас роль стены выполняет черепаший нос. Его кончик — точка покоя. А где начинается первая по счёту точка движения? Ведь мы не в силах найти точку, непосредственно следующую за границей отрезка, — точно так же, как и могли определить точку, непосредственно предшествовавшую предельной в примере с черепахой, натолкнувшейся на препятствие!
Ошибка Зенона, по словам профессора С. А. Богомолова, заключается в том, что из невозможности вообразить начало движения древний философ заключил о невозможности самого движения и достоверного знания о нём. Она вполне объясняется уровнем математических знаний его эпохи и не уменьшает его заслуг. В «Дихотомии» Зенон указал на трудности постигнуть понятия «континуум» (непрерывная последовательность всех точек линии) и «движение». Но математики давно уже привыкли к тому, что рассудок справляется с вопросами, перед которыми бессильна интуиция. И тем не менее мы должны всё-таки признать, что в «Дихотомии» есть некоторый неразрешимый остаток. Речь идёт о бесконечном ряде, не имеющем начала. Это всё та же диалектика бесконечности, которая обретает особую остроту применительно к последовательности моментов времени.
Следующий наш перевал — «Стрела», третья апория. Третья по счёту, но не по важности. Нас ждёт парадокс, который слывёт, по выражению профессора А. А. Богомолова, «апофеозом зеноновской диалектики».
Движенья нет, сказал мудрец брадатый…
Это Пушкин цитирует Зенона. И продолжает:
…Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей!
Пушкина цитирует писатель Даниил Данин в своей книге «Неизбежность странного мира». И продолжает: «Зенон вопрошал:
— Вот летит стрела, в каждый момент её можно где-то застигнуть, там она в это мгновенье покоится, откуда же берётся движение? Значит, движение — череда состояний покоя? Не абсурд ли это?
Рассуждение было безупречно. Но и доказательство Диогена, который начал ходить, тоже было неопровержимо. Мог ли отыскаться выход из этого очевидного противоречия — движение слагается из моментов покоя? Выход должен был отыскаться и отыскался.
Для этого математика и механика должны были научиться оперировать с бесконечно малыми величинами. Они должны были научиться рассматривать состояние покоя как нулевой предел исчезающе малого перемещения. Это делает дифференциальное исчисление. И должны были научиться складывать такие нули, не удивляясь, что бесконечное прибавление бесконечно малых движеньиц может дать вполне реальный конечный отрезок пути. Это делает исчисление интегральное. В рассуждении Зенона была заметная логическая погрешность. Он разлагал перемещение стрелы на бесконечное множество состояний покоя, а складывал их по арифметической логике конечных сумм: если взять столько-то нулей, всё равно получится нуль. И потому сказал: «Движения нет». А всё дело в том, что как ни велико арифметическое «сколько-то», оно ещё не бесконечность. Диоген только молча и мог опровергнуть Зенона — словами у него ничего бы не вышло, потому что не было тогда нужных для этого слов».
Что ж, это, пожалуй, верно, что у Диогена не нашлось бы нужных слов, дабы возразить — правда, не самому Зенону, а одному из его последователей (Зенон умер за сто с лишним лет до появления Диогена на свет). Ну, а сегодня? Что это за магические слова, каковыми-де можно парировать выпады Зенона? Очевидно, дифференциальное и интегральное исчисления, не так ли? Что ж, давайте попробуем урезонить античного смутьяна самыми, могущественными аргументами математического анализа.
Лук звенит, стрела трепещет,
И, клубясь, издох Пифон…
И твой лик победой блещет,
Бельведерский Аполлон!
Сценка убийства, нарисованная Пушкиным, графически изображается баллистической кривой, а в идеале (если не учитывать сопротивления воздуха) — параболой, по которой перемещается стрела от тетивы до мишени. Координаты такие: высота подъёма (вертикальная ось) и время полёта (ось горизонтальная). Сейчас мы займёмся дифференцированием.
Как подсчитать скорость? Ясное дело как: списал километраж со спидометра и поделил на время, за которое машина проделала путь. Верно. Только так мы найдём среднюю скорость. А она наверняка менялась! Сперва автомобиль стоял — скорость была равна нулю. Потом тронулся — скорость стала нарастать, превысила дозволенный рубеж; тут раздался свисток милиционера, пришлось дать тормоз — скорость резко пошла на убыль, пока машина снова не стала как вкопанная. Если же посчитать среднюю скорость, то выяснится, что вас и штрафовать-то не за что! Однако постового не проведёшь. Он, может, и не знает дифференциального исчисления, но уж в нарушениях кое-что смыслит. Как же всё-таки нам определить точное значение скорости в любой момент времени?
Давайте вернёмся к стреле: её скорость описывается более простым математическим выражением. Только тут всё наоборот: в момент старта с тетивы скорость стрелы (речь идёт о скорости её подъёма) максимальна. В наивысшей точке трассы она равна нулю. В момент убийства Пифона снова достигает наибольшего значения. В любой момент она иная, чем раньше. Тем не менее мы можем уловить закономерность, с какой она изменяется от точки к точке.
Представьте, что полёт стрелы, пущенной лучезарным богом в отвратительное чудище, отснят на киноплёнку. И мы остановили демонстрацию фильма где-то посредине, выхватив любой кадр. К этому моменту стрела (лучше говорить об одной из её точек, скажем, центре тяжести) поднялась на определённую высоту. Включим лентопротяжный механизм снова, но ровно настолько, чтобы перед нашими глазами застыл следующий кадр. Центр тяжести, продлив свою трассу на крохотный кусочек, окажется в новой точке, где высота подъёма увеличилась. Обозначим это приращение высоты так: ΔS («дельта эс»). А заодно символом Δt («дельта тэ») обозначим временной интервал между соседними кадрами. Тогда средняя скорость подъёма на этом участочке пути выразится нехитрой дробью. Обратили внимание — скорость-то у нас опять средняя! Да, но чем меньше «дельта тэ», тем ближе значение нашей дроби к истинной скорости в первой точке. Если бы затвор киноаппарата при съёмке щёлкал бы в тысячу раз чаще, то промежуток времени между двумя соседними кадрами сократился бы тоже ровно в тысячу раз. Значение «моментальной» скорости стало бы точнее. И всё же до тех пор, покуда наша долька временной оси будет конечной (не бесконечно малой) величиной, отношение «дельта эс» к «дельта тэ» даёт лишь среднюю скорость между двумя моментами. А что, если сделать «дельта тэ» бесконечно малым? Иными словами, представив вторую точку трассы подвижной, теснить и теснить её к жёстко сидящей первой точке? Тогда «дельта тэ» устремится к нулю. «Дельта эс» тоже. А их отношение? Оно станет всё точнее и точнее передавать значение скорости стрелы в момент времени, запечатлённый на первом кадре. Но лишь в пределе она окажется мгновенной скоростью в тот самый момент. Этот предел отношения ΔS/Δt при Δt, стремящемся к нулю, изображается двухэтажным знаком dS/dt («дэ эс по дэ тэ») и называется производной функцией (в нашем случае производной от пути по времени). dS и dt называются дифференциалами (от латинского слова «разница»).
