Стивен Вайнберг - Первые три минуты
Закон Стефана-Больцмана (см. главу III) утверждает, что при температуре фотонов Т плотность энергии фотонов
Следовательно, полная плотность энергии после электрон-позитронной аннигиляции равна
Мы можем перевести это в эквивалентную плотность массы, разделив на квадрат скорости света, и найдем тогда
ДОПОЛНЕНИЯ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
ДОПОЛНЕНИЕ 1. КЛАССИЧЕСКАЯ
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ
В предлагаемой книге Вайнберг для определения закона расширения Вселенной рассматривает шар, выделенный из безграничной среды. Гравитационное поле среды, окружающей шар, при этом не рассматривается: как известно, поле внутри сферически-симметричной оболочки равно нулю. Вывод Вайнберга правилен. Однако у читателя могут возникнуть сомнения, нет ли произвола в операции мысленного выделения шара[62]. Поэтому полезно дать вывод, также основанный на ньютоновой теории тяготения, в котором искусственное выделение шара не используется. Логическая простота при этом покупается ценой некоторого математического усложнения решения. Приводимый ниже вывод оказывается также весьма полезным в теории образования галактик при рассмотрении возмущений идеального решения. Однако в этом дополнении мы не касаемся вопроса о возмущениях.
Итак, для определения закона расширения будем непосредственно рассматривать безграничную среду, ее гравитационный потенциал и движение.
Уравнение тяготения запишем в форме уравнения Пуассона:
где φ — потенциал гравитационного поля; G — гравитационная постоянная; ρ — плотность. Будем искать сферически-симметричное решение с φ, зависящим только от r = (х2 + у2 + z2)1/2. Тогда
Решение этого уравнения имеет вид:
Мы привыкли к тому, что потенциал равен нулю на бесконечности; для ограниченной совокупности масс это так и есть. В безграничной Вселенной, равномерно заполненной веществом, это не так, однако нет никаких причин отказываться от приведенного решения.
Давление, так же как и плотность, считаем не зависящим от координат. В уравнение движения сплошной среды входит градиент давления, но в данном случае эта величина равна нулю.
Общий вид уравнения движения сплошной среды:
Подставим сюда выражение закона Хаббла
и используем выражение (3) для φ(r) и то, что grad ρ = 0. Сократив r, получим:
Наконец, составим уравнение неразрывности:
Подставив сюда хаббловское выражение скорости (5), найдем, что не зависящая от координат (но зависящая от времени) плотность удовлетворяет уравнению
Система уравнений (6) и (8) полностью эквивалентна тем уравнениям, которые выписаны автором книги в дополнении 2. Для ее решения удобно поделить одно уравнение на другое. Тогда
Это уравнение легко представить в виде линейного уравнения относительно величины H2:
решение которого с заданными (измеренными в настоящее время) значениями Н0 и ρ0 нетрудно записать. Общее решение имеет вид (А — константа интегрирования):
я2 = V/3 + YGp- (и)
Подставляя сегодняшние значения Н0 и ρ0 получаем окончательно
что полностью описывает и прошлое (при ρ > ρ0) и будущее Вселенной. Еще одним интегрированием можно найти t(ρ) и тем самым связать Н и ρ с t.
Однако мы не останавливаемся на этом. Нашей целью была демонстрация того, что не нужно искусственно выделять какой-то шар, рассматривать находящуюся на краю точку, делать правдоподобные, но не строгие предположения о том, что внешняя (бесконечная!) область не влияет на движение.
Выше были применены регулярные методы рассмотрения движения сплошной среды и ясные предположения о том, что ищется решение изотропное и однородное, т. е. такое, в котором равноценны все направления и все точки пространства. Изотропия следует из сферически-симметричного вида функции φ и симметрии закона Хаббла. В однородности решения легко убедиться, меняя начало координат и переходя к новой системе, ускоренно движущейся относительно старой. Безграничность среды, так же как и обращение потенциала в бесконечность на пространственной бесконечности, не создает никаких трудностей при расчете[63].
Все расчеты могли бы быть проделаны не только в девятнадцатом, но и в восемнадцатом веке. Тщательный логический анализ понятий однородности и изотропии в ньютоновой механике — вот что могло бы привести к сверхраннему открытию теории расширяющейся Вселенной. Парадокс — один из тех, которыми изобилует наука, — заключается в том, что ньютонова теория космологического расширения была создана лишь после научного подвига Фридмана. Вспоминаются слова Пастернака: «Хоть простота нужнее людям, но сложное доступней им».
За всем сказанным выше не следует, однако, забывать, что релятивистская теория богаче и содержательнее ньютоновой; в общей теории относительности выясняется еще и глобальная геометрия мира.
Наконец заметим, что на ранней стадии мы имеем дело с веществом, давление которого того же порядка, что и плотность энергии покоя ρс2. Газ, состоящий из частиц, движущихся со скоростью света, имеет давление р = ρс2/3. В этом случае, как нас учит общая и специальная теория относительности, уравнения несколько меняются. Уравнение Пуассона имеет вид:
Поэтому можно сказать, что давление тоже «весит».
Уравнение неразрывности имеет вид:
так как плотность в данном объеме уменьшается не только вследствие вытекания части вещества из данного объема, но и за счет работы расширения, в силу закона эквивалентности массы и энергии.
ДОПОЛНЕНИЕ 2. А.А.ФРИДМАН И ЕГО
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Советскому читателю должны быть интересны сведения о нашем соотечественнике, внесшем крупнейший вклад в теоретическую космологию. Александр Александрович Фридман родился 17 июля 1888 года в Петербурге в семье музыкантов. Его математические способности проявились очень рано, еще в гимназии. Он учился в университете, был учеником академика Стеклова. Во время первой мировой войны служил в авиационных частях, организовал аэронавигационную службу. Сделал весьма важные работы по динамической метеорологии и гидромеханике. В июле 1925 года участвовал в рекордном полете на аэростате. Умер 16 сентября 1925 года в Ленинграде от брюшного тифа в возрасте 37 лет.
Его первая космологическая работа была напечатана в ведущем журнале того времени в Германии в 1922 году и в русском «Журнале физико-химического общества». В этой работе впервые было найдено решение уравнений общей теории относительности для замкнутого нестационарного расширяющегося мира. Эта работа не осталась незамеченной. Эйнштейн опубликовал в том же году «Замечание», в котором, настаивая на стационарности Вселенной, опровергал работу Фридмана. За этим последовало письмо Фридмана, и в следующем 1923 году Эйнштейн опубликовал краткую заметку, в которой писал: «Я считаю результаты г. Фридмана правильными и проливающими новый свет. Оказывается, что уравнения… допускают… также и переменные относительно времени… решения».
Наконец в 1924 году Фридман опубликовал решение для пространства отрицательной кривизны, т. е. для открытого мира. Эти два типа решений исчерпывают все возможности для однородной изотропной Вселенной[64]. Но до смерти Фридмана оставался только один год, и он не успел узнать об астрономическом подтверждении своей теории.
В 1963 году Академия наук СССР отметила 75-летие со дня рождения Фридмана. Был издан посвященный ему выпуск журнала «Успехи физических наук» (т. 80, вып. 3). В этом выпуске воспроизведены статьи Фридмана 1922 и 1924 годов и заметки Эйнштейна. Выпуск содержит также воспоминания о Фридмане и обзоры по космологии и общей теории относительности. Несколько позже появились «Избранные труды» Фридмана (М., Наука, 1966). В эти труды вошли книга Фридмана «Мир как пространство и время», впервые изданная в 1923 году, и статьи советских ученых о его жизни и творчестве.
ДОПОЛНЕНИЕ 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ И ВЕЩЕСТВА
Автор правильно отмечает, что при температуре выше 3000 К атомы диссоциированы и имеет место рассеяние фотонов свободными электронами. Однако не совсем точно высказывание относительно того, что это рассеяние поддерживает тепловое равновесие между веществом и излучением.
