Стивен Вайнберг - Первые три минуты
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
Эти замечания предназначены для тех читателей, которые хотят познакомиться с кое-какой математикой, на которой базируется нематематическое изложение в основной части этой книги. Для того чтобы уследить за ходом обсуждений в большей части книги, совершенно не обязательно изучать эти замечания.
ДОПОЛНЕНИЕ 1. ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА
Предположим, что гребни волн покидают световой источник в регулярные моменты времени, разделенные периодом Т. Если источник движется от наблюдателя со скоростью v, тогда за время между испусканием двух последовательных гребней источник проходит расстояние vT. Это увеличивает время, необходимое на то, чтобы гребень волны дошел от источника до наблюдателя, на величину vT/c, где с — скорость света. Отсюда время, прошедшее между появлением двух последовательных волновых гребней в точке наблюдения, равно
длина волны света после испускания[57]
длина волны света в момент приема
Поэтому отношение этих длин волн
Эти же аргументы применимы и тогда, когда источник приближается к наблюдателю, с той разницей, что v заменяется на — v. (Подобные рассуждения применимы не только к световым волнам, но и к любому типу волнового сигнала.)
Например, галактики в скоплении Девы движутся от нашей Галактики со скоростью примерно 1000 км/с. Скорость света равна 300 000 км/с. Поэтому длина волны любой спектральной линии от скопления в Деве больше своего нормального значения λ в отношении
ДОПОЛНЕНИЕ 2. КРИТИЧЕСКАЯ ПЛОТНОСТЬ
Рассмотрим сферу радиуса R, внутри которой содержатся галактики. (Для целей данного вычисления мы должны выбрать R больше, чем расстояние между скоплениями галактик, но меньше любого расстояния, характеризующего Вселенную в целом.) Масса такой сферы равна ее объему, умноженному на космическую плотность массы ρ:
Из ньютоновой теории тяготения следует, что потенциальная энергия любой типичной галактики на поверхности этой сферы
где m — масса галактики; G — ньютонова постоянная тяготения, G = 6,67 × 10-8 см3/(г·с2). Скорость этой галактики определяется законом Хаббла в виде
где Н — постоянная Хаббла. Следовательно, кинетическая энергия галактики равна
Полная энергия галактики есть сумма кинетической и потенциальной энергий:
Эта величина должна оставаться постоянной в процессе расширения Вселенной.
Если полная энергия Е отрицательна, галактика никогда не может удалиться в бесконечность, так как на очень больших расстояниях потенциальная энергия становится пренебрежимо малой, и в этом случае полная энергия просто равна кинетической энергии, которая всегда положительна. Если же полная энергия Е положительна, галактика может достичь бесконечности, имея остаточную кинетическую энергию. Таким образом, условие того, что галактика имеет скорость, как раз равную скорости отрыва, заключается в том, что Е обращается в нуль, что дает
Другими словами, плотность должна иметь значение
Это и есть критическая плотность. (Хотя этот результат получен здесь с использованием принципов ньютоновой физики, он на самом деле справедлив даже тогда, когда содержимое Вселенной является ультрарелятивистским, если только иметь в виду, что ρ интерпретируется как полная плотность энергии, деленная на с2.)
Например, если Н равна популярному в настоящее время значению 15 км/с на миллион световых лет, то, вспоминая, что световой год соответствует 9,46 × 1012 километров, мы получаем
В одном грамме содержится 6,02 × 1023 ядерных частиц; такое значение теперешней критической плотности соответствует примерно 2,7 × 10-6 ядерных частиц в 1 см3, или 0,0027 частицы в одном литре.
ДОПОЛНЕНИЕ 3. МАСШТАБЫ ВРЕМЕНИ РАСШИРЕНИЯ
Рассмотрим теперь, как меняются параметры Вселенной с течением времени. Предположим, что в момент времени t типичная галактика массы m находится на расстоянии R(t) от некоторой произвольно выбранной центральной галактики, например нашей собственной. Мы видели в предыдущем математическом дополнении, что полная (кинетическая плюс потенциальная) энергия этой галактики равна
где H(t) и ρ(t) — значения постоянной Хаббла и космической плотности массы в момент времени t. Энергия должна быть всегда постоянной. Однако мы увидим ниже, что при R(t) → 0 ρ(t) увеличивается, по меньшей мере, как 1/R3(t), так что ρ(t)R2(t) растет как 1/R(t) при R(t), стремящемся к нулю. Чтобы сохранить энергию Е постоянной, два члена в скобках должны почти сокращаться, так что при R(t) → 0 мы имеем
Характерное время расширения — просто обратная величина постоянной Хаббла, т. е.
Например, в момент времени первого кадра (см. гл. V) плотность массы равнялась 3,8 тысячи миллионов грамм на кубический сантиметр. Отсюда, время расширения равнялось тогда
Далее, как меняется ρ(t) с изменением R(t)? Если плотность массы определяется массами ядерных частиц (эра преобладания вещества), тогда полная масса внутри сопутствующей сферы радиуса R(t) просто пропорциональна массе ядерных частиц внутри этой сферы и, следовательно, должна оставаться постоянной:
Отсюда ρ(t) обратно пропорциональна R3(t):
(знак ~ означает «пропорционально».) В то же время если плотность массы определяется массой, эквивалентной энергии излучения (эра преобладания излучения), тогда ρ(t) пропорциональна четвертой степени температуры. Но температура меняется как 1/R(t), так что ρ(t) в этом случае обратно пропорциональна R4(t):
Чтобы иметь возможность одновременно рассматривать эры преобладания вещества и излучения, мы запишем эти результаты в виде
где
Кстати, заметим, что при R(t) → 0 ρ(t) растет, по меньшей мере, так же быстро, как 1/R3(t), что и было указано выше.
Постоянная Хаббла пропорциональна ρ1/2, и поэтому
Но тогда скорость типичной галактики
Элементарным результатом дифференциального исчисления является то, что если скорость пропорциональна какой-то степени расстояния, тогда промежуток времени, необходимый для того, чтобы попасть из одной точки в другую, пропорционален изменению отношения расстояния к скорости. Более точно, если ν пропорциональна R1-n/2, это соотношение имеет вид
или
Можно выразить H(t) через ρ(t), после чего получим
Таким образом, независимо от величины n пройденное время пропорционально изменению квадратного корня из обратной величины плотности.
Например, в течение всей эры преобладания излучения после аннигиляции электронов и позитронов плотность энергии равнялась
(см. мат. доп. 6). Кроме того, в этом случае n = 4. Таким образом, время, необходимое, чтобы Вселенная охладилась от 100 миллионов градусов до 10 миллионов градусов, составляет
Наш общий результат можно также выразить более просто, записав, что время, необходимое, чтобы плотность упала до значения ρ от некоторого значения, много большего, чем ρ, равно
(Если ρ(t2) >> ρ(t1), мы можем пренебречь вторым членом в нашей формуле для t1 — t2) Например, при температуре 3000 К плотность массы фотонов и нейтрино равнялась
ρ = 1,22 × 10-35 × 30004 г/см3 = 9,9 × 10-22 г/см3.
Это настолько меньше, чем плотность при температуре 108 К (или 107 К, или 106 К), что время, требуемое на то, чтобы Вселенная охладилась от очень высоких температур на ранней стадии до 3000 К, можно рассчитать (полагая n = 4) просто как
