Стивен Вайнберг - Первые три минуты
Мы показали, что время, необходимое, чтобы плотность Вселенной упала до значения ρ от значительно больших ранних значений, пропорционально 1/ρ1/2, в то время как плотность ρ пропорциональна 1/Rn. Поэтому время пропорционально Rn/2 или, другими словами,
Это остается справедливым до тех пор, пока кинетическая и потенциальная энергии не уменьшатся настолько, что станут сравнимы с их суммой — полной энергией.
Как отмечено в гл. II, в каждый момент времени t после начала имеется горизонт на расстоянии порядка ct, из-за которого никакая информация все еще не может нас достичь. Теперь мы видим, что при t → 0 R(t) уменьшается менее быстро, чем расстояние до горизонта, так что в достаточно ранние моменты времени любая данная «типичная» частица была за горизонтом.
ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧЕРНОГО ТЕЛА
Распределение Планка дает энергию du излучения черного тела в единице объема, приходящуюся на узкий интервал длин волн от λ до λ + dλ, в виде
Здесь Т — температура; k = 1,38 × 10-16 эрг/К — постоянная Больцмана; с = 299 792 км/с — скорость света; е = 2,718… — числовая постоянная; h = 6,625 × 10-27 эрг·с — постоянная Планка, впервые введенная Максом Планком в качестве составной части этой формулы.
Для больших длин волн знаменатель в распределении Планка можно приближенно записать в виде
Следовательно, в этой области длин волн распределение Планка дает
Это — формула Рэлея-Джинса. Если ее применить для произвольно малых длин волн, то du/dλ станет бесконечной при λ → 0 и полная плотность энергии излучения черного тела будет бесконечной.
К счастью, du в формуле Планка достигает максимума при длине волны
и затем плавно спадает с уменьшением длины волны. Полная плотность энергии излучения черного тела равна интегралу
Подобные интегралы можно найти в стандартных таблицах определенных интегралов; в результате
Это — закон Стефана-Больцмана.
Мы можем легко интерпретировать распределение Планка в терминах квантов света или фотонов. Каждый фотон имеет энергию, определяемую формулой
Отсюда, число фотонов dN в единице объема излучения черного тела, приходящееся на узкий интервал длин волн от λ до λ + dλ, равно
Полное число фотонов в единице объема 1 см3 равно тогда
а средняя энергия фотона:
Рассмотрим теперь, что происходит с излучением черного тела в расширяющейся Вселенной. Предположим, что размер Вселенной изменился в f раз; например, если Вселенная удваивается в размере, то f = 2.
Как мы видели в главе II, длины волн изменяются пропорционально размеру Вселенной и будут иметь новое значение
После расширения плотность энергии du' в новом интервале длин волн от λ' до λ' + dλ' меньше первоначальной плотности энергии du в старом интервале длин воли от λ до λ + dλ по двум различным причинам.
1. Так как объем Вселенной увеличился в f3 раз, то до тех пор, пока не рождалось и не уничтожалось никаких фотонов, их число в единице объема уменьшилось в f3 раз, т. е. изменилось на множитель 1/f3.
2. Энергия каждого фотона обратно пропорциональна его длине волны и поэтому уменьшилась на множитель 1/f. Отсюда следует, что плотность энергии уменьшилась на общий множитель 1/f3, умноженный на 1/f, то есть на множитель 1/f4:
Если мы теперь перепишем эту формулу, введя новую длину волны λ', то она примет вид
Но это в точности та же формула, что и старая формула для du, выраженная через λ и dλ, за исключением того, что Т заменяется новой температурой
Следовательно, мы заключаем, что свободно расширяющееся излучение черного тела продолжает описываться формулой Планка, но с температурой, падающей обратно пропорционально масштабу расширения.
ДОПОЛНЕНИЕ 5. МАССА ДЖИНСА
Для того чтобы сгусток вещества образовал гравитационно связанную систему, необходимо, чтобы его гравитационная потенциальная энергия превысила внутреннюю тепловую энергию. Гравитационная потенциальная энергия сгустка радиуса r и массы M порядка
Внутренняя энергия в единице объема пропорциональна давлению p, так что полная внутренняя энергия порядка
Следовательно, гравитационное сжатие будет преобладать, если
Но для заданной плотности р мы можем выразить r через М с помощью соотношения
Условие гравитационного стягивания можно поэтому переписать в виде
или, иными словами,
где MD (с точностью до несущественного численного множителя) — величина, известная как масса Джинса:
Например, как раз перед рекомбинацией водорода плотность массы равнялась 9,9 × 10-22 г/см3 (см. математическое допол-нение 3), а давление равнялось[58]:
Поэтому масса Джинса была равна
где MΘ — масса Солнца. (Для сравнения масса нашей Галактики равна примерно 1011МΘ.) После рекомбинации давление[59] упало в 109 раз, так что масса Джинса уменьшилась до
Интересно, что это примерно равно массе больших шаровых скоплений внутри нашей Галактики.
ДОПОЛНЕНИЕ 6. ПЛОТНОСТЬ И ТЕМПЕРАТУРА НЕЙТРИНО
До тех пор, пока сохраняется тепловое равновесие, полное значение величины, называемой «энтропией», остается фиксированным. В достаточном для наших целей приближении энтропия S в единице объема при температуре Т дается формулой
где NT — эффективное число разновидностей частиц, находящихся в тепловом равновесии, пороговая температура которых ниже Т. Для того чтобы удержать полную энтропию постоянной, S должна быть пропорциональна обратному кубу размера Вселенной. Это значит, что если R есть расстояние между любой парой типичных частиц, то
Как раз перед аннигиляцией электронов и позитронов (при температуре около 5 × 109 К) нейтрино и антинейтрино уже вышли из теплового равновесия с остальным содержимым Вселенной, так что единственными частицами, имевшимися в больших количествах в равновесии, были электрон, позитрон и фотон. Мы видим, что согласно табл. 1 полное эффективное число разновидностей частиц перед аннигиляцией составляло[60]
После аннигиляции электронов и позитронов в четвертом кадре единственными частицами, которые остались в равновесии в большом количестве, были фотоны. Эффективное число разновидностей частиц равнялось поэтому просто
Из закона сохранения энтропии следует, что
Это значит, что тепло, выделившееся при аннигиляции электронов и позитронов, увеличило величину TR на множитель
Перед аннигиляцией электронов и позитронов температура нейтрино Tν была такой же, как и температура фотонов Т. Но после этого Т просто падала как 1/R, так что для всех последующих моментов времени произведение TνR равнялось значению TR перед аннигиляцией.
Отсюда заключаем, что после окончания процесса аннигиляции температура фотонов оказалась выше температуры нейтрино в
Нейтрино и антинейтрино, даже хотя они и не находятся в тепловом равновесии, дают важный вклад в космическую плотность энергии. Эффективное число разновидностей нейтрино и антинейтрино равно[61] 7/2, или 7/4 от эффективного числа разновидностей фотонов. (Имеются два спиновых состояния фотона.) В то же время четвертая степень температуры нейтрино меньше, чем четвертая степень температуры фотонов, на множитель (4/11)4/3. Следовательно, отношение плотности энергии нейтрино и антинейтрино к плотности энергии фотонов
