Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса
Рассмотрим простой пример того, как эти две области встречаются, так сказать, посередине и дополняют друг друга. Начнем с того факта, что статистические исследования показывают, что измерения самых разных физических величин и даже человеческих черт распределяются согласно кривой нормального распределения. Но на самом деле кривая нормального распределения – это не какая-то одна кривая, а целое семейство кривых, описываемых одной и той же общей функцией, и все они полностью характеризуются всего двумя математическими величинами. Первая из них – среднее значение – это центральное значение, относительно которого распределение симметрично. Эта величина зависит, разумеется, от того, какую именно переменную измеряют (рост, вес, IQ и так далее). Среднее значение одной и той же переменной может быть разным в разных популяциях. Например, средний рост шведов, скорее всего, отличается от среднего роста перуанцев. Вторая величина, определяющая кривую нормального распределения, называется стандартным отклонением. Это мера того, насколько тесно данные сосредоточены вокруг среднего значения. На рис. 36 у кривой нормального распределения (а) самое большое стандартное отклонение, поскольку значения рассеяны шире. Однако тут мы сталкиваемся с интересным фактом. Если с помощью интегрирования сосчитать площадь под кривой, легко математически доказать, что независимо от среднего значения и величины стандартного отклонения, 68,2 % измерений лежат в области, ограниченной одним стандартным отклонением по обе стороны от среднего значения (рис. 37). Иначе говоря, если среднее значение IQ в определенной (крупной) популяции равно 100, а стандартное отклонение равно 15, то 68,2 % людей в этой популяции обладают IQ между 85 и 115. Более того, для всех кривых нормального распределения 95,4 % всех случаев лежат в пределах двух стандартных отклонений от среднего, а 99,7 % данных попадают в пределы трех стандартных отклонений по обе стороны от среднего (рис. 37). Из этого следует, что в вышеприведенном примере 95,4 % популяции обладают IQ между 70 и 130, а 99,7 % – между 55 и 145.
Теперь предположим, что мы хотим предсказать, какова вероятность, что у случайно выбранного человека из этой популяции IQ окажется между 85 и 100. Рис. 37 подсказывает нам, что эта вероятность – 0,341 (или 34,1 %), поскольку по законам теории вероятности вероятность – это количество желаемых результатов, деленное на общее количество возможностей. А если нам интересно выяснить, какова вероятность, что кто-то (случайно выбранный) из этой популяции обладает IQ выше 130, то взгляд на рис. 37 покажет, что эта вероятность равна примерно 0,022, то есть 2,2 %. Примерно так же, опираясь на свойства нормального распределения и на метод интегрального исчисления (для вычисления площади под кривой), можно вычислить вероятность, что значение IQ попадет в тот или иной заданный диапазон. Иными словами, ответы нам дают теория вероятности и ее половинка-помощница статистика – в сочетании.
Как я уже не раз подчеркивал, вероятность и статистика обретают смысл, если имеешь дело с большим количеством событий, но не с отдельными событиями. Этой фундаментальной оговоркой, известной как закон больших чисел, мы обязаны Якобу Бернулли, который сформулировал ее в виде теоремы в своей книге «Ars Conjectandi» («Искусство предположений»; на рис. 38 приведен титульный лист)[95]. В переводе на обыденный язык теорема гласит, что если вероятность, что событие случится, равна p, то p – это самое вероятное соотношение количества случаев, когда это событие происходит, к общему числу попыток. Если же общее число попыток приближается к бесконечности, то доля успешных попыток становится в точности равна p. Вот как Бернулли формулирует закон больших чисел в «Искусстве предположений»: «Еще предстоит выяснить, увеличиваем ли мы при увеличении числа наблюдений и вероятность, что регистрируемое соотношение желаемых случаев к нежелательным приблизится к подлинному значению, и тогда эта вероятность в конце концов превзойдет всякую желаемую точность». Затем он пояснил это на конкретном примере[96].
Рис. 36
Рис. 37
У нас есть урна с 3000 белых и 2000 черных камешков, и мы хотим эмпирически определить соотношение количества белых и черных камешков – а мы его не знаем, – доставая из урны по одному камешку и записывая, когда нам попадается белый камешек, а когда черный (напоминаю, что при этом процессе должно соблюдаться важное требование: каждый камешек, отметив его цвет, следует положить обратно в урну и лишь затем доставать следующий, чтобы количество камешков оставалось постоянным). А теперь мы спрашиваем, возможно ли, увеличив число попыток, добиться, чтобы стало в 10, 100, 1000 раз вероятнее (а в конечном итоге прийти к «совершенной уверенности»), что соотношение количества извлечений белого камешка к количеству извлечений черного камешка приобретет точно такое же значение (3:2), что и подлинное соотношение черных и белых камешков в урне, а не какое-то другое значение? Если ответ отрицательный, то я признаю, что наша попытка оценить посредством наблюдения соотношение результатов в каждом конкретном случае (например, соотношение количества белых и черных камешков) обречена на провал. Но если это так, то мы наконец-то можем при помощи этого метода приблизиться к совершенной уверенности [в следующей главе «Искусства предположений» Якоб Бернулли доказывает, что так и есть] … и мы можем определять количество случаев a posteriori почти с той же огромной точностью, как если бы оно было известно нам a priori.
Рис. 38
Оттачиванию этой теоремы Бернулли посвятил двадцать лет, и она стала с тех пор одним из столпов статистики. В заключение он отметил, что убежден в существовании законов, которые управляют всем, – даже в тех областях, которые на первый взгляд представляются случайными.
Если бы удалось непрерывно пронаблюдать все события с этой минуты и на протяжении вечности (посредством чего вероятность превратилась бы в конечном итоге в уверенность), оказалось бы, что все в мире, даже то, что кажется нам совершенно случайным, происходит по определенным причинам и в определенном соответствии с законом, и что мы, следовательно, вынуждены предположить наличие определенной необходимости – если угодно, предопределения. Насколько я знаю, именно это имел в виду Платон, когда выдвигал доктрину вселенской цикличности и утверждал, что по истечении бесчисленных веков все вернется к первоначальному состоянию.
Мораль этой истории о науке неопределенности очень проста: можно применить математику даже к относительно «ненаучным» областям нашей жизни, в том числе и к тем, которые, как нам кажется, управляются чистой случайностью. Поэтому при попытках объяснить «непостижимую эффективность» математики мы не можем ограничиваться в дискуссии одними лишь законами физики. Рано или поздно нам все равно придется разбираться, что делает математику столь вездесущей.
Невероятное могущество математики не ускользнуло и от знаменитого драматурга и эссеиста Джорджа Бернарда Шоу (1856–1950). Несмотря на то, что прославился он отнюдь не математическими достижениями, Шоу написал очень глубокую статью о статистике и теории вероятности под названием «Напасть игры и благодать страховки» («The Vice of Gambling and the Virtue of Insurance»)[97]. В этой статье Шоу признает, что в его глазах страховка «основана на фактах, которые невозможно объяснить, и на рисках, которые способны вычислить лишь профессиональные математики». Однако далее он делает следующее проницательное замечание.
А теперь представьте себе деловую беседу между купцом, который жаждет торговать за границей, но отчаянно боится потерпеть кораблекрушение или быть сожранным дикарями, и шкипером, который жаждет заполучить грузы и пассажиров. Капитан уверяет купца, что его товары в полнейшей безопасности, как и он сам, буде он пожелает их сопровождать. Однако купец, голова у которого забита приключениями Ионы, Св. Павла, Одиссея и Робинзона Крузо, на это не отваживается. Разговор у них пойдет примерно так.
Капитан: В путь! Спорим на целую гору фунтов, что если ты поплывешь со мною, то в этот же день через год будешь жив и здоров!
Купец: Но если я приму эти условия, то должен буду поспорить с тобой на ту же сумму, что в течение года погибну.
Капитан: Почему бы и нет, если ты все равно наверняка проиграешь?
Купец: Но если я потону, то и ты потонешь, и что тогда станется с нашим спором?
Капитан: И то верно. Тогда я найду тебе какого-нибудь сухопутного жителя, который заключит этот спор с твоей женой и домочадцами.
