РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров
Мы можем сказать, что повышение А^ 2 оказывает на G то же воздействие, что и аналогичное понижение величины (1,25 * М) ^ 2.
Чтобы понять это, рассмотрим изменение А от 1,1 до 1,2:
А SD М G А^2 SD ^ 2 = (1, 25 * М)^ 2 1,1 0,1 0,08 1,095445 1,21 0,01 1,2 0,4899 0,39192 1,095445 1.44 0.24 0,23 = 0,23Когда A=l,l,ToSD=0,l. Когда А = 1,2, то, чтобы получить эквивалентное G, SD должно быть равно 0,4899, согласно уравнению (1.27). Так как М = = 0,8 * SD,ToM=0,3919. Если мы возведем в квадрат значения А и SD и рассчитаем разность, то получим 0,23 в соответствии с уравнением (1.29). Рассмотрим следующую таблицу:
А SD М G А^2 SD ^ 2 = (1,25 * М) ^ 2 1,1 0,25 0,2 1,071214 1, 21 0,0625 1,2 0,5408 0,4327 1,071214 1, 44 0.2925 0, 23 = 0,23Отметьте, что в предыдущем примере, где мы начали с меньших значений разброса (SD или М), требовалось их большее повышение, чтобы достичь того же G. Таким образом, можно утверждать, что чем сильнее вы уменьшаете дисперсию, тем легче дается больший выигрыш. Это экспоненциальная функция, причем в пределе, при нулевой дисперсии, G равно А. Трейдер, который торгует на фиксированной долевой основе, должен максимизировать G, но не обязательно А. При максимизации G надо понимать, что стандартное отклонение SD затрагивает G в той же степени, что и А в соответствии с теоремой Пифагора! Таким образом, когда трейдер уменьшает стандартное отклонение (SD) своих сделок, это эквивалентно повышению арифметического среднего HPR (т.е. А), и наоборот!
Фундаментальное уравнение торговли
Мы можем получить гораздо больше, чем просто понимание того факта, что уменьшение размера проигрышей улучшает конечный результат. Вернемся к уравнению (1.19а):
Подставим А вместо AHPR (среднее арифметическое HPR). Далее, так как (X ^Y) ^ Z = Х ^ (Y * Z), мы можем еще больше упростить уравнение:
Это последнее уравнение мы назовем фундаментальным уравнением торговли, так как оно описывает, как различные факторы: А, SD и N — влияют на результат торговли. Очевидны несколько фактов. Во-первых, если А меньше или равно единице, тогда при любых значениях двух других переменных, SD и N, наш результат не может быть больше единицы. Если А меньше единицы, то при N, стремящемся к бесконечности, наш результат приближается к нулю. Это означает, что, если А меньше или равно 1 (математическое ожидание меньше или равно нулю, так как математическое ожидание равно А - 1), у нас нет шансов получить прибыль. Фактически, если А меньше 1, то наше разорение — это просто вопрос времени (то есть достаточно большого N).
При условии, что А больше 1, сростом N увеличивается наша прибыль. Например, система показала среднее арифметическое 1,1 и стандартное отклонение 0,25. Таким образом:
В нашем примере, где коэффициент равен 1,1475; 1,1475 ^ (1/2) = 1,071214264. Таким образом, каждая следующая сделка, каждое увеличение N на единицу
соответствует умножению нашего конечного счета на 1,071214264. Отметьте, что это число является средним геометрическим. Каждый раз, когда осуществляется сделка и когда N увеличивается на единицу, коэффициент умножается на среднее геометрическое. В этом и состоит действительная польза диверсификации, выраженная математически фундаментальным уравнением торговли. Диверсификация позволяет вам как бы увеличить N (т.е. количество сделок) за определенный период времени. Есть еще одна важная деталь, которую необходимо отметить при рассмотрении фундаментального уравнения торговли: хорошо, когда вы уменьшаете стандартное отклонение больше, чем арифметическое среднее HPR. Поэтому следует быстро закрывать убыточные позиции (использовать маленький stop-loss). Но уравнение также демонстрирует, что при выборе слишком жесткого стопа вы можете больше потерять. Вас выбьет с рынка из-за слишком большого количества сделок с маленьким проигрышем, которые позднее оказались бы прибыльными, поскольку А уменьшается в большей степени, чем SD. Вместе с тем, и уменьшение больших выигрышных сделок поможет вашей системе, если это уменьшает SD больше, чем уменьшает А. Во многих случаях этого можно достичь путем включения в вашу торговую программу опционов. Позиция по опционам, которая направлена против позиции базового инструмента (покупка опциона или продажа соответствующего опциона), может оказаться весьма полезной. Например, если у вас длинная позиция по какой-либо акции (или товару), покупка пут-опциона (или продажа колл-опциона) может уменьшить ваше SD по совокупной позиции в большей степени, чем уменьшить А. Если вы получаете прибыль по базовому инструменту, то будете в убытке по опциону. При этом убыток опциону лишь незначительно уменьшит общую прибыль. Таким образом, вы уменьшили как ваше SD, так и А. Если вы не получаете прибыль по базовому инструменту, вам надо увеличить А и уменьшить SD. Надо стремиться уменьшить SD в большей степени, чем уменьшить А.
Конечно, издержки на трансакции при такой стратегии довольно значительны, и они всегда должны приниматься в расчет. Чтобы воспользоваться такой стратегией, ваша программа не должна быть ориентирована на очень короткий срок. Все вышесказанное лишь подтверждает, что различные стратегии и различные торговые правила должны рассматриваться сточки зрения фундаментального уравнения торговли. Таким образом, мы можем оценить влияние этих факторов на уровень возможных убытков и понять, что именно необходимо сделать для улучшения системы.
Допустим, в долгосрочной торговой программе была использована вышеупомянутая стратегия покупки пут-опциона совместно с длинной позицией по базовому инструменту, в результате мы получили большее оценочное TWR. Ситуация, когда одновременно открыты длинная позиция по базовому инструменту и позиция по пут-опциону, эквивалентна просто длинной позиции по колл-опциону. В том случае лучше просто купить колл-опцион, так как издержки на трансакции будут существенно ниже[4], чем при наличии длинной позиции по базовому инструменту и длинной позиции по пут-опциону. Продемонстрируем это на примере рынка индексов акций в 1987 году. Допустим, мы покупаем базовый инструмент — индекс ОЕХ. Система, которую мы будем использовать, является простым 20-дневным прорывом канала. Каждый день мы рассчитываем самый высокий максимум и самый низкий минимум последних 20 дней. Затем, в течение дня, если рынок повышается и касается верхней точки, мы покупаем. Если цены идут вниз и касаются низшей точки, мы продаем. Если дневные открытия выше или ниже точек входа в рынок, мы входим при открытии. Такая система подразумевает постоянную торговлю на рынке:
Дата Позиция Вход P&L Полный капитал Волатильность 870106 Длинная 241,07 0 0 0,1516987 870414 Короткая 276,54 35,47 35,47 0,2082573 870507 Длинная 292,28 -15,74 19,73 0,2182117 870904 Короткая 313,47 21,19 40,92 0,1793583 871001 Длинная 320,67 -7,2 33,72 0,1848783 871012 Короткая 302,81 -17,86 15,86 0,2076074 871221 Длинная 242,94 59,87 75,73 0,3492674
Если определять оптимальное f no этому потоку сделок, мы найдем, что соответствующее среднее геометрическое (фактор роста на нашем счете за игру) равно 1,12445.
Теперь мы возьмем те же сделки, только будем использовать модель оценки фондовых опционов Блэка-Шоулса (подробно об этом будет рассказано в главе 5), и преобразуем входные цены в теоретические цены опционов. Входные данные для ценовой модели будут следующими: историческая волатильность, рассчитанная на основе 20 дней (расчет исторической волатильности также приводится в главе 5), безрисковая ставка 6% и 260,8875 дней (это среднее число рабочих дней в году). Далее мы допустим, что покупаем опционы, когда остается ровно 0,5 года до даты их исполнения (6 месяцев), и что они «при деньгах». Другими словами, существуют цены исполнения, в точности соответствующие цене входа на рынок. Покупка колл-опциона, когда система в длинной позиции по базовому инструменту, и пут-опциона, когда система в короткой позиции по базовому инструменту, с учетом параметров упомянутой модели оценки опционов, даст в результате следующий поток сделок:
