Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта
1 = 1;
1 + 2 = 3;
1 + 2 + 3 = 6;
1 + 2 + 3 + 4 = 10;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
и т. д. Для таких чисел существует формула:
1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1)/2.
Чтобы доказать ее, можно, в частности, записать сумму дважды, примерно так:
1 + 2 + 3 + 4 + 5;
5 + 4 + 3 + 2 + 1.
Из этой записи видно, что числа в вертикальных столбцах при сложении дают одно и то же, в данном случае 6. Поэтому удвоенная сумма равна 6 × 5 = 30, а сумма равна 15. Если проделать то же самое с числами от 1 до 100, все получится примерно так же: будет 100 колонок, дающих при сложении сумму 101, так что сумма первых 100 чисел должна составлять половину от 100 × 101, то есть 5050. В более общем случае при сложении первых n чисел мы получаем половину от n (n + 1). Формула готова.
Существует формула и для суммы квадратов, но более сложная:
1 + 4 + 9 + … + n² = n (n + 1) (2n + 1)/6.
А вот с кубами происходит нечто поразительное:
1³ = 1;
1³ + 2³ = 9;
1³ + 2³ + 3³ =36;
1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 100;
1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 225.
Результаты здесь – квадраты соответствующих треугольных чисел.
Почему в результате суммирования кубов получаются квадраты? Можно найти формулу и доказать таким способом все, что нам нужно, но существует очень аккуратное наглядное доказательство того, что 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)², для которого не нужны никакие формулы.
На рисунке показан один квадрат со стороной 1, два квадрата со стороной 2 (образующие куб 2 × 2 × 2), 3 квадрата со стороной 3 (куб 3 × 3 × 3) и т. д. Так что суммарная площадь этой фигуры представляет собой сумму последовательных кубов. Следуя вдоль одной из сторон (к примеру, верхней), видим 1 + 2 + 3 + 4 + 5, то есть сумму последовательных чисел. Но площадь квадрата равна квадрату его стороны. Готово!
Если вам непременно нужна формула, то мы знаем, что (1 + 2 + 3 + … + n) = n (n + 1)/2, а возведение в квадрат дает 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = n² (n + 1)²/4.
Загадка похищенных бумаг
Из мемуаров доктора Ватсапа
Сомс передал мне конверт и поднял в руке извлеченное из него письмо.
– Проверка на наблюдательность, Ватсап. Кто, по-вашему, мог прислать мне это?
Я поднес конверт к свету, оглядел марку и штемпель, понюхал, исследовал клей в том месте, где письмо было запечатано.
– Отправитель – женщина, – сказал я. – Незамужняя, но еще не старая дева, находится в активном поиске мужа. Она напугана, но храбрится, – я немного помолчал, и меня осенила еще одна мысль: – У нее плохо с финансами, но положение пока не катастрофическое.
– Очень хорошо, – сказал он. – Я вижу, вы усвоили некоторые из моих методов.
– Я стараюсь, – скромно заметил я.
– Объясните, что привело вас к этим выводам.
Я собрался с мыслями.
– Конверт розовый и несет на себе отчетливые следы какого-то аромата. Nuits de Plaisir, если я не ошибаюсь: моя приятельница Беатрис часто использует такой же. Для замужней женщины он слишком откровенен, а для молодой, напротив, недостаточно откровенен. Тот факт, что она вообще пользуется духами, указывает на активный поиск мужского внимания. Следы косметики на клапане это подтверждают. Но клеевой след был смочен лишь частично, а смачивают его языком, так что во рту у нее, вероятно, было сухо, когда она запечатывала конверт. Сухость во рту – признак страха. Но раз она все же заклеила конверт и отправила письмо, значит, она пока в состоянии действовать рационально, хотя и испытывает сильное напряжение, а это признак храбрости. Наконец, по марке заметно, что ее отклеили над паром от другого конверта и использовали вторично – загнутый уголок, следы предыдущего почтового штемпеля. Это указывает на бережливость. Однако на духи деньги нашлись, так что нельзя сказать, что отправительница письма стоит на пороге бедности.
Он задумчиво кивнул, а я мысленно похвалил себя.
– Кое-какие признаки вы упустили, – негромко заметил Сомс, – что показывает всю эту историю в новом свете. Форма и размер конверта говорят о правительственной рассылке, такой конверт не купишь в первом попавшемся писчебумажном магазинчике. Вы можете прочесть об этом в моей монографии о канцелярских принадлежностях и характерных для них размерах. Чернила, которыми написан адрес, имеют необычный темно-коричневый оттенок; опять же, такие чернила не купишь в магазине, а вот в некоторые департаменты Уайтхолла их поставляют в больших количествах.
– Ах! Значит, ее нынешний сердечный друг – чиновник, конверт и чернила она позаимствовала у него.
– Разумная теория, – сказал он. – Совершенно неверная, разумеется, но в высшей степени разумная, к тому же в основном соответствует нашим данным. Однако на самом деле это письмо от моего брата Спайкрафта.
Я был поражен до глубины души.
– У вас есть брат? – Сомс никогда не говорил о своей семье.
– Да, неужели я не упоминал его? Большое упущение с моей стороны.
– Откуда вы знаете, что письмо от него?
– Оно подписано.
– Ах. Но что вы скажете про остальные признаки?
– Это небольшая шутка со стороны Спайкрафта. Но надо спешить, нам назначена встреча в клубе «Диофант», едем немедленно. Дайте шестипенсовик какому-нибудь мальчишке, пусть приведет нам кэб, по пути я введу вас в курс дела.
Пока мы тряслись в кэбе вдоль Портленд-плейс, Сомс рассказал, что его брат – отставной специалист по простым числам и иногда частным образом выполняет заказы правительства Ее Величества. Он отказался говорить о сути предстоящего нам дела, сказав лишь, что оно в высшей степени конфиденциальное и связано с политикой.
По прибытии в клуб «Диофант» нас провели в гостевой зал, где в удобном кресле нас дожидался какой-то джентльмен. С первого взгляда он произвел на меня впечатление вялой тучности, но быстро выяснилось, что за этой внешностью скрываются острый ум и активное тело, полностью опровергающие ту, первую оценку.
Сомс представил нас.
– Вы часто находите мои дедуктивные способности поразительными, Ватсап, – сказал он, – но Спайкрафту я в подметки не гожусь.
– Есть все же одна область, в которой твои способности превосходят мои, – возразил его брат. – Речь идет о логических головоломках, в которых точные условия текучи, как вода. В них я всегда чувствую, что лишен опоры, с которой мог бы атаковать задачу. Отсюда моя записка.
– Насколько я понял, ты не возражаешь против того, чтобы рассказать все доктору Ватсапу?
– Его послужной список в Ал-Гебраистане безупречен. Он должен поклясться в сохранении тайны, но его слова будет достаточно.
Сомс бросил на брата острый взгляд.
– С каких это пор ты готов принять чье-то слово, это на тебя не похоже.
– Этого будет достаточно, когда я проинформирую его о последствиях его нарушения.
Я должным образом поклялся, и мы перешли к делу.
– Некий важный документ был случайно положен в ненадлежащее место, а затем украден, – сказал Спайкрафт. – Безопасность Британской империи требует безотлагательно найти его и вернуть на место. Если этот документ попадет в руки наших врагов, полетят головы и части империи могут пасть. К счастью, местный констебль мельком видел вора, и этого оказалось достаточно, чтобы сузить круг подозреваемых до четырех человек.
– Кто они? Мелкие воришки?
– Нет, все четверо весьма уважаемые джентльмены. Адмирал Арбатнот, банкир Берлингтон, врач Волверстон и генерал Гамильтон.
Сомс резко выпрямился.
– Значит, здесь отметился Могиарти.
Не успев проследить за его рассуждениями, я попросил объяснить.
– Все четверо – шпионы, Ватсап. И работают на Могиарти.
– Значит… Значит, Спайкрафт, должно быть, связан с контрразведкой! – воскликнул я.
– Да, – он коротко взглянул на брата. – Но вы не слышали этого от меня.
– А этих предателей допросили? – спросил я.
Спакрафт вручил мне досье, и я прочел вслух, чтобы Сомс тоже мог слышать.
– На допросе Арбатнот сказал: «Это сделал Берлингтон». Берлингтон сказал: «Арбатнот лжет». Волверстон сказал: «Это не я». Гамильтон сказал: «Это сделал Арбатнот». Это все.
– Не совсем все. Из другого источника нам известно, что ровно один из них сказал правду.
– У вас есть информатор в близком окружении Могиарти, Спайкрафт?
– У нас был информатор, Хемлок. Его удавили его собственным галстуком, прежде чем он успел назвать нам реальное имя. Очень печальная история: это был галстук выпускника Итонского колледжа, и он совершенно испорчен. Однако не все еще потеряно. Если мы сможем вычислить вора, мы получим ордер на обыск и вернем документ. За всеми четверыми наблюдают, у них не будет возможности передать бумагу Могиарти. Но руки у нас связаны – мы должны придерживаться буквы закона. Более того, если мы придем с обыском не в тот дом, юристы Могиарти предадут нашу ошибку огласке и нанесут нам тем самым непоправимый ущерб.
