Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта
В принципе, птицы могли бы образовать единую диагональную линию, примерно соответствующую одному из плечей V. Однако при этом место с другой стороны – ближе к лидеру – оставалось бы свободным. Но следует заметить, что один из концов птичьего клина, как правило, длиннее другого.
В экспериментах с ибисами молодым птицам требовалось немало времени, чтобы научиться занимать в полете правильную позицию. На практике обычно находятся птицы, у которых это не получается, а клин редко бывает правильным. Тем не менее детальные эксперименты убедительно показывают, что ибисы достаточно хорошо ощущают потоки воздуха, чтобы занимать самую энергоэффективную или близкую к ней позицию по отношению к передней птице.
Дополнительную информацию см. в главе «Загадки разгаданные».
Мнемоника для e
Для запоминания числа π существует бесчисленное количество мнемонических правил. Для другой знаменитой математической постоянной – числа e, основания натурального логарифма
e = 2,7182818284 5904523536 0287471352662497757…,
таких правил гораздо меньше. Два из них позволяют запомнить по десять цифр этой константы:
To disrupt a playroom is commonly a practice of children.
It enables a numskull to memorise a quantity of numerals[12].
Существует также мнемонический текст на 40 знаков, в котором рассказывается о числе e и который придумал Зив Бэрел (Zeev Barel, A mnemonic for e, Mathematics Magazine 68 (1995) 253), его вы можете проверить по числовому варианту, приведенному выше. Для обозначения нуля в этом тексте используется восклицательный знак в кавычках «!», и выглядит это так:
We present a mnemonic to memorise a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant[13].
«Простая формула суммирования», упомянутая в тексте, такова:
и так до бесконечности. Теперь знак! обозначает факториал
n! = n× (n – 1) × … × 3 × 2 × 1.
Поразительные квадраты
Существует бесконечно много натуральных чисел, которые можно выразить в виде суммы трех квадратов двумя разными способами: a² + b² +c² = d² + e² + f². Но возможны и дальнейшие выводы. Вот поразительный пример:
123789² + 561945² + 642864² = 242868² + 761943² + 323787².Это соотношение сохраняется, если мы будем последовательно убирать из каждого числа крайнюю левую цифру:
23789² + 61945² + 42864² = 42868² + 61943² + 23787²;
3789² + 1945² + 2864² = 2868² + 1943² + 3787²;
789² + 945² + 864² = 868² + 943² + 787²;
89² + 45² + 64² = 68² + 43² + 87²;
9² + 5² + 4² = 8² + 3² + 7².
Оно сохраняется также, если последовательно убирать из каждого числа крайнюю правую цифру:
12378² + 56194² + 64286² = 24286² + 76194² + 32378²;
1237² + 5619² + 6428² = 2428² + 7619² + 3237²;
123² + 561² + 642² = 242² + 761² + 323²;
12² + 56² + 64² = 24² + 76² + 32²;
1² + 5² + 6² = 2² + 7² + 3².
А также если мы будем убирать цифры одновременно с двух сторон:
2378² + 6194² + 4286² = 4286² + 6194² + 2378²;
37² + 19² + 28² = 28² + 19² + 37².
Эту математическую загадку прислали мне Молой Де и Нирмалья Чаттопадхьяй, объяснившие простую, но умную идею, на которой все это основано. Сможете ли вы уподобиться Хемлоку Сомсу и раскопать этот секрет?
Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».
Загадка тридцати семи
Из мемуаров доктора Ватсапа
– Как любопытно! – заметил я, размышляя вслух.
– В мире много любопытного, Ватсап, – отозвался Сомс, дремавший, как мне казалось, в своем кресле. – Что именно вы имеете в виду?
– Я взял число 123 и повторил его шесть раз, – объяснил я.
– И получили 123123123123123123, – пренебрежительно сказал Сомс.
– Ну да, но я еще не закончил.
– Вы, несомненно, умножили это число на 37, – сказал великий детектив, вновь подрывая мою убежденность в том, что я могу сказать что-нибудь новое для него.
– Да! Умножил! И вот я получил… нет, Сомс, не прерывайте меня, пожалуйста… вот ответ… 4555555555555555551, и цифра 5 в нем повторяется много-много раз.
– И это любопытно?
– Без сомнения. Причем если один такой пример может быть случайным совпадением, то в данном случае все это не случайно. Нечто подобное происходит и в тех случаях, когда я беру не 123, а 234, или 345, или 456. Взгляните! – и я показал ему свои расчеты:
234234234234234234 × 37 = 8666666666666666658;
345345345345345345 × 37 = 12777777777777777765;
456456456456456456 × 37 = 16888888888888888872.
– И не только это: если я повторю 123, или 234, или 345, или 456 какое-то другое число раз и умножу это на 37, то в ответе опять же будет много-много повторений одной и той же цифры, а нарушения будут только по бокам.
– Я склонен думать, – пробормотал Сомс, – что структура числа 123, 234, 345 и т. д. не имеет значения. Другие числа вы пробовали?
– Я пробовал 124, и ничего не получилось. Взгляните:
124124124124124124 × 37 = 4592592592592592588.
– Цифры здесь повторяются блоками по три, но мне это не кажется удивительным – ведь и первое число имеет такую же структуру.
– 486 вы пробовали?
– Нет… ну вообще-то, поскольку с 124 не получается, мне не кажется… Ну хорошо, хорошо, – я вернулся к своему блокноту и записал новый расчет. – Как любопытно! – воскликнул я вновь, увидев ответ:
486486486486486486 × 37 = 1799999999999999982.
Вдохновленный новым успехом, я попробовал еще несколько случайных трехзначных чисел, выписывая их по несколько раз подряд и умножая на 37. Иногда результат содержал множество повторений одной и той же цифры, чаще нет. Я показал Сомсу результаты своей работы и признался:
– Я в недоумении.
– Загадка, несомненно, разрешится, – ответил Сомс, – если вы рассмотрите число 111.
Я записал
111111111111111111 × 37 = 4111111111111111107
и уставился на получившееся число. Минут через 20 Сомс поднялся, заглянул мне через плечо и иронично покачал головой.
– Нет-нет, Ватсап! Я не предлагал вам попробовать свой метод на числе 111.
– Ох. А я полагал…
– Сколько раз я говорил вам, Ватсап: «Никогда ничего не полагайте!» Да, на первый взгляд эта загадка связана с числом 37, но на самом деле это, как бы это сказать, побочный эффект. Я предлагал вам посмотреть, как число 111 соотносится с числом 37.
Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».
Средняя скорость
Из-за большого потока машин автобус, следующий из Эдинбурга в Лондон, проходит расстояние в 400 миль за 10 часов со скоростью 40 миль в час. На обратный путь у него уходит 8 часов со скоростью 50 миль в час. Какова средняя скорость автобуса за все время пути?
Очевидный ответ – 45 миль в час, среднее арифметическое между 40 и 50, для получения которого числа складывают, а сумму делят пополам. Однако в целом автобус проезжает 800 миль за 18 часов, и средняя скорость при этом равна 800/18 = 44 4/9 миль в час.
Как это может быть?
Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».
Четыре псевдоку без указаний
Головоломку без дополнительных указаний придумали Джерард Баттерс, Фредерик Хенле, Джеймс Хенле и Колин МакГоги. Это вариант судоку, который мне нравится называть псевдоку без дополнительных указаний. Вам предлагается решить еще четыре такие головоломки. Правила:
• Каждая строка и каждый столбец должны содержать каждое из чисел 1, 2, 3, …, n ровно по одному разу, где n – размер квадрата.
• Числа в каждой из областей, обведенных жирной линией, должны при сложении давать одну и ту же сумму. Я выписал значение этой суммы над каждым квадратом, чтобы избавить вас от необходимости искать ее самостоятельно. Все головоломки, кроме последней, имеют единственное решение, а последняя – два симметричных варианта.
Ответы и ссылку на дополнительные материалы см. в главе «Загадки разгаданные».
Суммы кубов
Треугольные числа 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. определяются сложением последовательных чисел, начиная с 1:
1 = 1;
1 + 2 = 3;
1 + 2 + 3 = 6;
1 + 2 + 3 + 4 = 10;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
и т. д. Для таких чисел существует формула:
1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1)/2.
Чтобы доказать ее, можно, в частности, записать сумму дважды, примерно так:
1 + 2 + 3 + 4 + 5;
5 + 4 + 3 + 2 + 1.
Из этой записи видно, что числа в вертикальных столбцах при сложении дают одно и то же, в данном случае 6. Поэтому удвоенная сумма равна 6 × 5 = 30, а сумма равна 15. Если проделать то же самое с числами от 1 до 100, все получится примерно так же: будет 100 колонок, дающих при сложении сумму 101, так что сумма первых 100 чисел должна составлять половину от 100 × 101, то есть 5050. В более общем случае при сложении первых n чисел мы получаем половину от n (n + 1). Формула готова.
