Виолетта Гайденко - Западноевропейская наука в средние века: Общие принципы и учение о движении
Другой смысл понятия непрерывности лучше всего пояснить на призере мертонских дефиниций различных видов движения: униформного (равномерного), униформно-дифформного (равноускоренного), дифформно-дифформного (неравноускоренного). В уже цитированном определении Хейтсбери равноускоренного движения говорится о равных приращениях скорости «за любую равную часть времени». В том же сочинении Хейтсбери содержится и определение равномерного движения: «Из локальных движений то называется равномерным, в котором равные расстояния (spatium) постоянно (continue) проходятся с равной скоростью (equali velocitate) в равные части времени» [103, 238]. В нем также присутствует идея разделения всего времени движения на равные части, хотя не уточняется, что рассмотрению подлежат любые равные части времени. Это столь же важное для определения равномерного движения, как и движения равноускоренного, слово «любой»[85] впервые было употреблено в определении равномерного движения Суайнсхедом: «равномерное локальное движение — то, в котором за любую равную часть времени описывается равное расстояние» [156, 245]. Наконец, дифформно-дифформное движение определяется как отсутствие униформности: оно не характеризуется ни равной скоростью, ни равными приращениями скорости, если сопоставляются части движения, выделяемые при любом разбиении времени, в течение которого оно происходит, на равные промежутки.
Разбиения такого рода являются главным компонентом всех трех определений. Каждое разбиение дает возможность представить время движения в виде последовательности (одинаковых) временных интервалов. В любом из указанных определений предполагается, что для ответа на вопрос, к какому типу относится то или иное движение, достаточно рассмотреть все дискретные последовательности временных интервалов, в соответствии с которыми оно может быть подразделено. Непрерывный характер движения оказывается как бы следствием совмещения всех дискретных последовательностей в одном ряду. Вместо бесконечного множества дискретных последовательностей в результате такого совмещения получается, если можно так выразиться, одна-единственная «непрерывная» последовательность.
Идеи мертонцев несли в себе зачатки нового подхода к определению понятия непрерывности. Не все из них, как представляется, реализовались в последующем развитии математики. Согласно утвердившимся в математике взглядам, «непрерывное» (характеризующее континуум) отношение порядка отличается от «дискретного» отсутствием одного из признаков последнего, гарантирующего существование единственного элемента, непосредственно следующего за данным (или предшествующего ему). Следуя по пути, намеченному мертонскими кинематиками, можно прийти не к негативному определению «непрерывного отношения» (а значит, и континуума в целом), превращающему непрерывное в недискретное, в противоположность дискретного, а к положительному определению его через дискретное, причем на совершенно других основаниях, чем это попытался сделать Кантор в своей теории множеств. Быть может, если бы в развитии математики реализовались возможности, заложенные в мертонских интуициях движения, не пришлось бы в настоящее время констатировать наличие «пропасти между областью дискретного и областью непрерывного» [65, 240], преодолеть которую математика пока оказалась не в состоянии.
4.5. Соотношение понятий скорости, времени и пространства в мертонской кинематике
Если вклад мертонцев в исследование проблемы непрерывности является следствием разработки ими других проблем и его приходится реконструировать из определений равномерного и равноускоренного движения, то при анализе другой фундаментальной темы, образующей лейтмотив мертонских штудий, — соотношения понятий скорости, времени и пространства — мы имеем возможность опереться на непосредственные свидетельства самих исследователей. Одним из самых выразительных является отрывок из трактата «О движении», приписываемого Суайнсхеду. «Следует знать также, что как интен-сия движения относится к движению, так движение относится к пространству, ибо как пространство проходится посредством движения, так движение нарастает и приобретается посредством интенсии движения. Значит, как в локальном униформном движении скорость оценивается по максимальной линии, которую описывает некоторая точка, так в интенсии движения скорость оценивается по максимальной широте движения, приобретаемой в то или иное время. Всегда, когда есть униформная интенсия локального движения, будет униформно-дифформное локальное движение. Поскольку униформно-дифформное локальное движение соответствует в отношении своего эффекта среднему градусу, то очевидно, что за одно и то же время будет столько же пройдено посредством среднего градуса, сколько и посредством униформ-нодифформного локального движения» [156, 245—246][86]. Этот отрывок, во-первых, подтверждает высказанное выше утверждение о том, что понятие интенсии движения является выделенным понятием мертонской кинематики и что в этой кинематике общее представление о движении определялось в первую очередь двумя факторами: его «качеством» и «внутренним» временем — временем конструирования «непрерывной последовательности» in-tensionum motus. Во-вторых, он дает возможность представить механизм соподчинения различных факторов, из которых слагается движение, — в этом пункте мертонские «калькуляторы» были наиболее оригинальны, и здесь, как в фокусе, сконцентрировались основные идеи, превратившие мертонские исследования в очень своеобразный этап в развитии физики.
Характерна фраза в начале цитированного отрывка, в которой устанавливается нисходящая иерархия понятий «интенсия»—«движение»—«пространство»[87]. Одной этой фразы достаточно, чтобы почувствовать дистанцию, отделяющую доктрину мертонской школы от аристотелевского учения о движении. У Аристотеля цель движения (логически) предшествует процессу движения: последний не может начаться, пока не задана его конечная точка; мертонцы также ищут начало, обусловливающее процесс движения, но находят его в том, что получило у них название интенсии движения. Интенсия движения, как мы помним, совпадает с его скоростью (или в некоторых контекстах — ускорением), представляемой прежде всего в виде особой (интенсивной) величины, непосредственно не связанной не только с путем, но и с временем движения. Это выделение в качестве важнейшего определяющего момента движения фактора, не имеющего отношения ни ко времени, ни к пространству, и в то же время обусловливающего процесс протекания движения, его быстроту или медленность, привело в недоумение многих современников мертонских «калькуляторов». Они отвергли представление о мгновенной (т. е. интенсивной) скорости ввиду его очевидной противоречивости: «мгновенное движение ни быстро, ни медленно, так как быстрое и медленное определяется временем»[88]. Действительно, если видеть в скорости вторичную характеристику, производную от движения, — а такого именно взгляда на скорость, точнее, на быстроту и медленность движения, придерживался Аристотель и вслед за ним большинство схоластов, — то о скорости можно судить только по результатам сопоставления временных и пространственных параметров уже закончившихся движений (или различных частей одного движения). Поскольку для традиционного аристотелизма скорость была не причиной, а, так сказать, побочным эффектом движения, следствием его «экстенсивных» (временных и пространственных) характеристик, то неудивительно, что словосочетание «мгновенная скорость» звучало для представителей этого направления более чем странно. Но примечательно другое: выражение «мгновенная скорость» с точки зрения физики нового времени тоже лишено всякого смысла, если оно понимается буквально. В классической механике мгновенная скорость отнюдь не мгновенна; хотя и не сразу, это понятие в рамках механики нового времени «аристотелизируется», т. е. становится понятием, определяемым через бесконечно малый путь, проходимый в бесконечно малое время. Только с ретроспективной точки зрения мгновенная скорость средневековой кинематики может показаться зародышем позднейшего понятия, утвердившегося в классической механике, чье отличие от первоначального представления объясняется лишь степенью развития математического аппарата. Но если понятие мгновенной скорости насильственно не изымать из контекста средневековой физики, то буквальное истолкование мгновенности уже будет выглядеть не признаком логической непроработанности этого понятия, а показателем принципиально иного подхода к осмыслению понятия скорости, чем тот, который был реализован в классической механике.
Здесь уместно напомнить приведенное выше суждение А. Майер о пропасти, разделяющей интенсивную трактовку скорости (в рамках которой первоначально вводилось определение мгновенной скорости) и любую попытку выразить это понятие через путь и время. Констатация этого факта послужила ей основанием для вывода о физической бессодержательности концепции интенсивной скорости. Против этой оценки трудно что-либо возразить, если не обратить внимание на обстоятельство, сразу же оговоренное нами, как только речь зашла о понятии интенсивной (и мгновенной) скорости: это понятие в мертонской доктрине фактически выполняет функцию формальной причины движения. Оно, конечно, не является формальной причиной в строгом, аристотелевском, смысле слова. Сами исследователи из Мертон-колледжа не называли скорость причиной движения, поскольку они считали себя продолжателями аристотелевской традиции в физике и не подвергали сомнению аристотелевское учение о четырех причинах. Но место, отводимое скорости в иерархии понятий, предназначенных для описания движения, создание концепции мгновенной скорости и наличие двух разных способов ее интерпретации могут служить аргументами в пользу высказанной нами точки зрения. Мгновенная скорость, стоит только предположить, что она является формальной причиной движения, тотчас же превращается из самопротиворечивого во вполне определенное понятие, поскольку никакая причина в аристотелевской физике не является объектом, локализуемым в пространстве и времени, т. е. не имеет пространственно-временных измерений. Кроме того, становится понятным, почему в средневековой физике мгновенная скорость получила двойное определение: интенсивное и экстенсивное — через путь, когда «всякому градусу локального движения соответствует некоторое линейное расстояние, которое было бы описано за некоторое данное время, если принять, что движение на протяжении всего этого времени происходит именно с этой степенью скорости» {156, 245]. Последнее определение Суайнсхеда, равно как и цитированное выше аналогичное определение Хейтсбери, уже не будут, при всем их отличии от собственно интенсивного аспекта понятия мгновенной скорости, казаться отделенными от него непроходимой пропастью; напротив, обе трактовки предстанут как внутренне взаимосвязанные моменты одного общего определения. Действительно, в обоих экстенсивных определениях о расстоянии говорится в сослагательном наклонении: это не то расстояние, которое действительно проходится телом (или наиболее быстро движущейся точкой тела), а то, которое было бы пройдено, если бы тело двигалось с должной степенью (мгновенной) скорости. Следовательно, расстояния, предшествующего измерению мгновенной скорости, нет, а есть, напротив, мгновенная скорость, на основании которой можно было бы вычислить (хотя и неизвестно, как это сделать) расстояние, которое будет пройдено (или могло бы быть пройдено), если движение будет происходить с такой-то скоростью. Мгновенная скорость является, таким образом, аналогом формальной причины, она гарантирует устойчивость в изменении, т. е. наличие закономерности, придающей «форму» процессу изменения, благодаря чему за определенное время будет пройдено определенное расстояние. Но появление такого «аналога» фактически смещало все акценты в аристотелевском учении о причинах, вступая в непримиримое противоречие с основными тенденциями последнего. Подразумеваемая понятием мгновенной скорости концепция причины отличалась и от динамической причинности физики нового времени. Она выполняла совсем другую функцию — функцию начала, порождающего последовательности временных и пространственных моментов, «отсчитываемых» телом в процессе движения. Конечно, «порождающего» не в смысле современной конструктивной математики, с явным указанием правил, на основании которых осуществляется переход-ют одного члена последовательности к другому. Тем более, что сами мертонцы ни о каких порождающих процедурах не говорили и говорить не могли. Однако «причинный статус» понятия интенсивной скорости, то обстоятельство, что его введение впервые дало возможность представить движение в виде «становящихся последовательностей» моментов времени, точек пути и градусов скорости, определенным образом взаимосвязанных, получают простое и естественное объяснение, если предположить, что исходная «картинка», представлявшаяся уму мертонских калькуляторов, своей расстановкой акцентов сродни интуиции, выразившейся в идее алгоритмического преобразования, осуществляемого шаг за шагом. Интенсивная скорость как бы генерирует последовательности основных параметров движения; поэтому столь важна роль этого понятия в мертонской концепции: оно указывает источник (причину) возникновения последовательностей.
