Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон

Измерения

Поговорим о свойствах пространства, отталкиваясь от наших более-менее интуитивных представлений о нем. Самое важное свойство пространства — его размерность. Пространство, в котором мы существуем в реальной жизни, трехмерно. Однако физики часто рассматривают пространства с меньшим или большим количеством измерений. Одномерные и двумерные пространства подходят для упрощенных моделей, многомерные применяются, например, в теории струн. Существуют и другие абстрактные математические «пространства» — множества с некоторой дополнительной структурой. Мы уже говорили, к примеру, о конфигурационных и фазовых пространствах, у которых может быть огромное число измерений. В этой главе мы рассмотрим старое доброе пространство, окружающее нас.

Представьте себе две длинные тонкие палки. Мы можем связать их друг с другом так, что угол между ними будет прямым. Мы можем взять и еще одну палку и привязать ее к первым двум в том же месте и с тем же условием. Все палки будут перпендикулярны друг другу. Возьмем еще одну, четвертую палку и попытаемся привязать ее под прямым углом к остальным.

Ничего не выйдет. В нашем мире три прямые могут быть перпендикулярны друг другу, четыре не могут. Это доказывает, что наше пространство трехмерно.

(Возможно, вы знаете, что для устойчивости стулу достаточно трех ножек. А если бы пространство было двумерным? Четырехмерным? С любым количеством измерений?)

Итак, измерение — это, по сути, «независимое направление, в котором могут перемещаться объекты». Если не считать разными направлениями движение в противоположные стороны, мы обнаружим, что их всего три: вперед и назад, вправо и влево, вверх и вниз. Все эти направления независимы, тогда как любые другие можно рассматривать как их сочетания. Три измерения.

Есть и еще один способ выразить эту идею. Можно заметить, что положение точки в пространстве можно определить тремя числами, которые называются координатами. Представьте себе некую точку — начало координат, — через которую проходят три перпендикулярные прямые — оси. Получится нечто похожее на пример с тремя связанными палками. Тогда координаты любой точки (x, y, z) можно получить, измерив расстояние между ней и началом координат вдоль каждой из трех осей.

В этих рассуждениях важно именно то, что точка в пространстве имеет три координаты. В зависимости от выбранной системы координат их значения будут разными, но по количеству их всегда будет три. Система координат с тремя перпендикулярными осями называется декартовой (в честь Рене Декарта). Можно использовать, например, сферическую систему координат. В ней положение точки характеризуется радиусом r, то есть длиной отрезка между точкой и началом координат, полярным углом θ (греческая буква тета) между этим отрезком и осью z и азимутальным углом φ (греческая буква фи) между осью x и проекцией точки на плоскость xy. Эта система называется сферической, так как множество точек, имеющих одинаковый радиус r, представляет собой сферу.

Координаты не являются объективными свойствами нашего мира. Это придуманные людьми ярлыки, метки, которые мы прикрепляем к различным точкам пространства. Основное правило — принцип инвариантности координат — состоит в том, что физические величины не должны зависеть от выбранной системы (так же, как, например, физическая длина объекта не зависит от единиц измерения — сантиметров или дюймов). Несмотря на кажущуюся простоту, для серьезного осмысления этого принципа приходится говорить о симметриях, калибровочных теориях и других важнейших понятиях современной фундаментальной физики.

Если пространство трехмерно, в нем можно выделить подпространства с меньшим количеством измерений. По крайней мере, с некоторыми допущениями. Возьмем, например, длинный провод. Каким бы тонким он ни был, его толщина не равна нулю. Фактически провод — трехмерное тело. Но если смотреть издали, можно пренебречь толщиной и считать его одномерным. Когда по проводу течет ток, электроны легко и быстро перемещаются в осевом направлении, но почти не двигаются в поперечных. Физики с радостью пользуются этим фактом и изучают токи в одномерных проводах. Бывают случаи, когда явления ограничены двумерными объектами: тонкими пленками, поверхностями трехмерных тел. Удобно рассматривать их так, как будто мы и сами живем в двумерном мире. Философия сферической коровы в действии! При упрощении сложной системы из нее исчезают целые измерения.

Измерения и силы

Не будь пространство трехмерным, жизнь наша была бы совсем другой. Возможно, ее просто бы не было. Возьмем, к примеру, одну из наших любимых физических сил: силу тяжести. Согласно закону всемирного тяготения, сила тяготения между двумя объектами обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Но почему именно квадрату? Почему не просто расстоянию или его восемнадцатой степени?

Понять это можно при помощи рисунка. Представьте себе, что во все стороны от Солнца в бесконечность расходятся прямые лучи — силовые линии. Они называются так потому, что вдоль этих линий действует исходящая от Солнца сила, которая притягивает к нему объекты. Конечно, на самом деле никаких линий не существует. Они лишь графическое представление того, как действует сила тяготения, которое разъясняет смысл закона обратных квадратов.

Если нарисовать сферу, в центр которой поместить Солнце, все силовые линии пройдут через нее. То же самое будет с любой другой такой сферой. Однако чем больше радиус, тем дальше будут разнесены проходящие через нее линии. Если мы будем рассматривать на каждой из сфер участки одинаковой площади, количество проходящих через них линий с увеличением радиуса будет уменьшаться.

Общая площадь сферы А связана с ее радиусом r следующим образом: A = 4πr2. В данном случае 4π — это просто коэффициент, который нужно запомнить, а вот r2 можно объяснить при помощи анализа размерности. Физические величины всегда выражаются в каких-то единицах измерения: длины, времени, массы или же их сочетаниях. Когда величины складываются либо сравниваются, они должны быть выражены в одних и тех же единицах.

Площадь (как двумерная величина), как правило, выражается в «квадратных» единицах длины. Сфера, площадь которой мы вычисляем, имеет только одно свойство, которое показывает длину: радиус. Поэтому площадь должна быть пропорциональна квадрату радиуса, иначе никак. Аналогичным образом длина окружности, которая, разумеется, выражается в единицах длины, будет пропорциональна радиусу без квадрата (и равна 2πr).

Силовые линии не начинаются и не заканчиваются на пустом месте: они берут начало на объектах с большой массой — источниках гравитации, в нашем случае на Солнце. Рассуждая о сферах с ним в центре, мы видим, что количество линий неизменно, а площадь поверхности сфер возрастает. Поэтому если у Солнца линии располагались плотно друг к другу, по мере удаления от него их плотность уменьшается (если конкретно, то пропорционально 1/r2). А плотность силовых линий определяет величину силы тяжести: чем выше плотность, тем больше сила.

Мы объяснили закон обратных квадратов. Действующая на объект сила пропорциональна плотности проходящих через него силовых линий, которая снижается по мере отдаления от источника гравитации, поскольку растет квадрат радиуса и, соответственно, площадь поверхности сферы, через которую они проходят. (По той же причине по мере удаления от нас объекты становятся менее яркими. Просто замените «силовые линии» на «лучи света».)