Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон

С точки зрения Ньютона, основополагающей переменной является x(t), то есть траектория движения рассматривается как зависимость положения от времени. Отсюда следует все остальное: берем производную и получаем скорость, умножаем на массу и получаем импульс. В механике Гамильтона импульс не выражается через скорость, но является независимой величиной. Поэтому выражение (4.3) представляет собой уравнение движения, которое описывает реальные, физически возможные траектории, а не просто дает определение какой-то производной величины. Несмотря на это, в обеих механиках это выражение выглядит одинаково.

В чем же различие между определением импульса и уравнением движения? Определение всегда верно. В механике Ньютона импульс равен массе, умноженной на скорость, просто потому, что так его определили. Уравнение движения, напротив, дает «правильный» результат, который основан на (пусть даже не всегда корректных) значениях переменных.

Две траектории в фазовом пространстве, которые показывают координату в обычном пространстве x(t) и импульс p(t) в каждый момент времени t. У левой траектории импульс не пропорционален скорости: не бывает импульсов, направленных не по касательной к траектории. Такая траектория не соответствует уравнению движения. А вот правая — соответствует.

В механике Гамильтона импульс существует независимо от скорости. В пространстве всех мыслимых вариантов положения x(t) и импульса p(t) не существует обязательных жестких связей между ними. Поэтому мы можем представить себе любые траектории, в том числе те, на которых импульс никак не связан со скоростью. Но если траектория подчиняется уравнению движения (а такие непременно существуют), импульс на них всегда равен mv.

Тем, кому сложно представить, что импульс — это не обязательно масса, умноженная на скорость, я предлагаю заменить слово «импульс» в рассуждениях выше, к примеру, на слово «пушистость». Гамильтон говорит, что состояние системы в любой момент времени определяется ее положением и вектором пушистости. На физических траекториях, которые соответствуют уравнениям движения, пушистость равна произведению массы на скорость. Однако существуют и другие траектории, на которых это не так. Но так уж вышло, что мы используем одно и то же слово, «импульс», для разных величин: независимой переменной фазового пространства в механике Гамильтона и произведению массы на скорость в механике Ньютона. Если объект перемещается по законам движения, эти величины равны. Однако с концептуальной точки зрения это разные величины.

Уравнения Гамильтона

Такова философия механики Гамильтона. Мы считаем импульс и положение двумя концептуально разными переменными и выводим уравнения движения для каждой из них. При этом гамильтониан — это просто энергия системы, выраженная как функция импульса и положения (но не скорости или других производных). Идея состоит в том, что из формулы гамильтониана (4.1) можно вывести уравнения движения для импульса (4.2) и положения (4.3). Но как же это сделать?

Подумаем об уравнении движения для импульса (4.2). Из него следует, что скорость изменения импульса равна отрицательному значению наклона функции потенциальной энергии. По сути это второй закон Ньютона, F = ma, так как наклон потенциала и есть (отрицательное значение) силы, воздействующей на объект. Можно сказать, что скорость изменения импульса зависит от скорости изменения потенциальной энергии при изменении положения. Это имеет физический смыл: при неизменной потенциальной энергии (шар катится по ровному столу) импульс не изменяется.

Как мы помним, потенциальная энергия — одно из слагаемых гамильтониана. Другое слагаемое — кинетическая энергия, p2/2m. Возникает вопрос: если импульс меняется вместе с потенциальной энергией, не будет ли положение меняться вместе с кинетической? Не возникает ли здесь приятная глазу симметрия? Именно так все и есть.

Помните выражение (2.7): производная функции x2 по x равна 2x? Оно работает для любых переменных: к примеру, производная p2 по p равна 2p. Поэтому производная кинетической энергии по импульсу будет равна:

(4.4)

(Когда мы берем производную функции, постоянные типа 2m просто выносятся за знак дифференциала. В данном случае при этом мы можем сократить две двойки.)

Интересный факт! Как и предполагалось, производная кинетической энергии по импульсу совпала с правой частью выражения (4.3) — уравнения движения для положения. Несмотря на то что в одном из уравнений есть странный знак «минус», а в другом его нет, мы хорошо видим, что импульс изменяется за счет изменения потенциальной энергии, а положение — за счет изменения кинетической. В итоге:

Скорость изменения импульса с течением времени = Отрицательное значение наклона графика потенциальной энергии относительно положения;

Скорость изменения положения с течением времени = Положительное значение наклона графика кинетической энергии относительно импульса.

Вместе эти два выражения известны как уравнения Гамильтона.

Красиво. Но есть небольшая техническая проблема, которая требует осмысления. Пока что для простоты изложения мы представляли себе частицу, которая движется в одномерном пространстве. Стандартная, очень наглядная игрушечная модель, для которой гамильтониан будет суммой двух энергий, как в выражении (4.1).

Однако механика Гамильтона имеет значительно более общий характер. Гамильтониан любой системы всегда будет функцией некоторого набора координат и соответствующих им импульсов, но при этом может иметь совершенно произвольный вид. Мы можем иметь любое количество импульсов и положений. В теории поля их будет бесконечно много. Встречаются гамильтонианы, в которых переменные смешиваются так, что нельзя отделить потенциальную энергию от кинетической. Большую часть времени современные физики проводят в поисках гамильтониана для изучаемой системы. Найдя его, можно получить все данные о ней. Поэтому нужно рассмотреть этот вопрос с более общей точки зрения.

Частные производные

Хотелось бы вывести уравнения Гамильтона, которые подходили бы для любых гамильтонианов. Для этого нам потребуется еще кое-что из высшей математики: частные производные.

Это связано с тем, что уравнения движения должны следовать из единой формулы — гамильтониана, а не отдельных выражений для кинетической и потенциальной энергий. Но если первая зависит только от p, а вторая — только от x, гамильтониан зависит от p и x одновременно. Необходимо понять, как брать производную функции нескольких переменных.

Производная функции представляет собой угол наклона кривой, ее графика. Но для функции двух переменных такую кривую построить нельзя: график будет трехмерным, напоминать холмистую местность, идти по которой можно в любую сторону. В зависимости от того, в каком направлении мы пойдем, мы можем спуститься или подняться, а может быть, и остаться на прежней высоте. Поэтому нужно придумать что-то посложнее, чем «угол наклона».

Частные производные — выход из этого положения. Поговорим о простой функции двух переменных, x и y: произведении x, y2 и константы a:

F(x, y) = axy2. (4.5)

Идея состоит в том, что функцию нескольких переменных мы можем рассматривать, поочередно перебирая их и считая все остальные константами. При этом мы получим несколько функций одной переменной, для каждой из которых мы можем взять производную. И чтобы всем было понятно, о какой производной идет речь, вместо буквы d пишут другую: ∂. (Ее иногда также называют «дэ». Поэтому, чтобы не было путаницы, при чтении вслух лучше всего говорить «частная производная».)