Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон

Знакомясь с классической механикой, мы сделали акцент на парадигме Лапласа, согласно которой по заданному состоянию системы (точке в ее фазовом пространстве, то есть импульсу и положению) в какой-то момент времени можно определить всю ее траекторию. Возвращаясь к началу этой главы, можно сказать, что это все равно что закрыть глаза и идти по прямой. Мы знаем, что делаем в данный момент, и можем двигаться вперед во времени от одного момента к другому. Физики полагают, что такой подход связан с так называемой проблемой начального значения, так как расчет должен начаться с какого-то определенного состояния.

Однако прямую линию можно построить и по-другому, например натянув веревку между деревьями. Для этого нам не нужно думать о «начальном состоянии», достаточно двух деревьев, а веревка автоматически даст нам прямую, проложенную в нужном направлении. Этот подход решает проблему начального значения, но добавляет другую — проблему граничных значений: нам нужно знать начальную и конечную точки, то есть два дерева.

Веревку между деревьями можно описать глобальными, а не локальными свойствами (вспомним различие в описаниях орбит, сделанных Кеплером и Ньютоном). «Движение в одном и том же направлении» — главным образом локальный процесс: в каждый момент времени выполняются какие-то определенные действия. «Движение по кратчайшему пути» — глобальный процесс: нужно сравнить длину натянутой веревки с длиной ослабленной, а потому непрямолинейной.

Мы как бы представляем себе огромное математическое пространство: пространство всех возможных путей, вдоль которых мы можем протянуть веревку от одной точки к другой. Большинство из них будут совсем не прямыми, поскольку существует лишь один прямой путь. Извилистых же будет бесконечно много. В этом гигантском множестве возможностей прямой путь отличается тем, что имеет наименьшую длину.

Примечательно, что вся классическая механика может быть изложена на таком глобальном языке, который совсем не похож на локальный, на котором мы говорили до сих пор. Вместо того чтобы указывать импульс и положение частицы в какой-то момент времени, мы можем указать только положение, но в два момента, например x1 в какой-то начальный момент t1 и положение x2 в какой-то более поздний момент t2. Любая линия в пространстве имеет определенную длину. Аналогичным образом все возможные траектории между (x1, t1) и (x2, t2) можно (как мы увидим) охарактеризовать некоей величиной, которую называют действием и которая зависит от изменения кинетической и потенциальной энергии во время движения. Из всех возможных траекторий частица движется по той, что подчиняется законам Ньютона и, как оказывается, имеет минимальное значение действия.

Эта идея развивалась в период с XVII по XIX век и, как легко догадаться, получила название «принцип наименьшего действия». Она достаточно далека от привычного нам мышления, поэтому сделаем паузу, чтобы поговорить о положенной в ее основу математической философии.

Значительная часть математической науки посвящена изучению пространств и их отображению друг на друга. Простая функция f(x), можно сказать, отображает на себя множество действительных чисел. Мы, сами того не зная, видели уже и другие примеры. Когда мы говорим «положение частицы», мы чаще всего видим точку в пространстве, а математик — отображение этой точки на трехмерное пространство.

Аналогичным образом траектория частицы, которая движется в пространстве сквозь время, является отображением какого-то промежутка на это пространство.

Что примечательно, понятие длины кривой можно определить при помощи отображения пространства всех кривых (скажем, между двумя конкретными точками) на множество неотрицательных чисел, в котором каждой из них соответствует длина L.

Нужно признать, довольно сложно изобразить «пространство всех кривых между двумя конкретными точками». Обычно рисуют несколько показательных примеров в надежде, что всю остальную работу возьмет на себя воображение.

Точка, линия и плоскость — это пространство с нулем, одним и двумя измерениями соответственно: по одному измерению на каждую единицу данных, необходимых, чтобы определить положение в пространстве. Поэтому пространство всех кривых будет иметь бесконечно много измерений, ведь каждая кривая проходит через бесконечное число промежуточных точек. Конечно, все это несколько усложняет математику, необходимые для работы инструменты. Однако примечательно, что многое из того, чем мы обычно пользуемся, работает в бесконечномерных пространствах без особых изменений.

Например, существует вариационное исчисление — вариант дифференциального исчисления, приспособленный для бесконечномерных пространств. Это довольно забавная штука, но мы не будем туда погружаться. Жизнь коротка, а нас впереди ждет еще столько всего интересного. Я говорю о нем лишь затем, чтобы подчеркнуть его важность для «нахождения кривой минимальной длины».

Возьмем обычную функцию одной переменной, f(x). Производная df/dx показывает наклон графика этой функции в каждой из точек. Но просто взглянув на график, мы можем заметить важное свойство: везде, где функция имеет локальный максимум (вершина холма) или минимум (дно долины), производная равна нулю.

Именно это свойство и есть главный секрет того, как математики ищут минимальные длины или другие параметры. Вернемся ко множеству всех возможных кривых. На нем можно определить функцию, которая будет отображать каждую из кривых на определенное число — ее длину. Найдем производную этой функции, учтя все возможные способы бесконечно малой деформации кривой. И там, где функция имеет минимальное значение, производная будет равна нулю. Это позволит нам перейти от словосочетания «кратчайший путь» к набору математических формул, показывающих, где «производная функции длины в пространстве путей становится равной нулю».

Наименьшее действие

Но в данный момент нам интересна не длина кривой. Если подбросить камень, он полетит по какой-то определенной траектории, которая, очевидно, не будет прямолинейной, то есть кратчайшим путем. Так происходит потому, что на этом пути к минимуму сводится не расстояние, а действие. Давайте посмотрим, что это значит.

В каждой точке траектории движущаяся частица имеет положение x и скорость v, то есть соответственно кинетическую энергию

Лагранжиан = Кинетическая энергия — Потенциальная энергия,

(3.14)

Действие S для любой траектории [x(t), v(t)] равно интегралу лагранжиана по времени:

(3.15)

В каждой точке траектории, то есть в каждый момент времени, лагранжиан имеет некоторое числовое значение. Но действие не зависит от того, в какой точке пути мы находимся: оно зависит от траектории в целом. Между начальной и конечной точкой частица будет двигаться по пути, который требует минимального действия среди всех траекторий, которые можно проложить между этими точками. Такую формулировку классической механики часто называют механикой Лагранжа, поскольку лагранжиан является в ней центральной величиной. Действие — это интеграл лагранжиана по времени, а реальные физические перемещения всегда таковы, что действие сводится к минимуму.