Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон
Чтобы построить траекторию, нам важно знать входные данные: положение и скорость объекта. Не менее важно, что никакие другие сведения для этого не требуются. Например, ускорение мы получим при помощи закона Ньютона, исходя из строения системы. При этом скорость — производная положения, а ускорение — производная скорости, или, как говорят, вторая производная положения:
(3.1)
Вспомните: говоря об обозначениях, мы отметили, что d — это не переменная, а часть оператора. Запись d/dt означает производную по времени. Чтобы взять вторую производную, то есть производную производной, мы должны использовать оператор d/dt дважды. Поэтому в формулах мы будем писать d2/dt2.
Мы можем взять производные и других, более высоких порядков. У них даже есть свои, несколько экзотические названия:
• Скорость = первая производная положения (по времени).
• Ускорение = производная скорости = вторая производная положения.
• Рывок = производная ускорения = третья производная положения.
• Скачок = производная рывка = четвертая производная положения.
• Прыжок = производная скачка = пятая производная положения.
• Толчок = производная прыжка = шестая производная положения.
Эти термины иногда применяются в инженерном деле (хотя гораздо чаще — в спорте), но физики редко используют их. В большинстве случаев они просто не нужны: если известны скорость и положение, можно найти ускорение, и все.
Относительность Галилея
Теперь мы можем сделать один очень важный вывод. Тот факт, что нам нужно знать скорость и положение объекта, говорит о том, что во вселенной нет предпочтительной скорости или положения, то есть состояния, которое можно считать каким-то особенным, отличным от всех иных. По крайней мере с точки зрения законов физики. Они работают везде, независимо от положения, и это легко проверить: достаточно провести один и тот же опыт, к примеру, в Англии и Германии. Результат будет одинаков. Некоторые величины зависят от условий на месте измерения: например, скорость звука зависит от атмосферного давления, а гравитационное ускорение — от высоты над уровнем моря. Поэтому, измеряя их, мы можем получить разные значения. Но сами законы физики — второй закон Ньютона, закон всемирного тяготения и другие — справедливы в любой стране. Они не считают, что где-то в пределах вселенной есть место, где можно сделать из них исключение.
Немного сложнее обстоит дело со скоростью. Строго говоря, скорость любого объекта всегда измеряется относительно других объектов. Если у нас есть два тела, а расстояние между ними известно, их скорость относительно друг друга равна производной этого расстояния по времени. Нельзя говорить о скорости (или состоянии покоя) какого-то обособленного объекта. В обычной жизни эта особенность мира скрыта от нас, поскольку мы никогда не отдаляемся от привычного нам ориентира: земли, относительно которой мы измеряем скорости окружающих нас объектов. Однако любой пилот подтвердит, что скорости относительно земли и воздуха не совпадают.
Представьте себя на космическом корабле, который летит с выключенным двигателем, то есть без ускорения. Глядя в иллюминатор (или через какой-то наблюдательный прибор), вам не удастся определить, как быстро вы движетесь, поскольку скорость нельзя измерить саму по себе, без какого-то ориентира. Поэтому во вселенной нет никаких предпочтительных скоростей или положений.
Отсутствие предпочтительного состояния покоя с точки зрения законов физики впервые отметил Галилей (который, конечно, не помышлял о космических кораблях, но многое знал о морских). В то время он отстаивал теорию о том, что Земля вращается. Его противники (считавшие, что Солнце вращается вокруг Земли) говорили, что непременно заметили бы вращение, ведь скорость поверхности планеты добавлялась бы к скоростям любых объектов на ней. Галилей отвечал, что важно лишь относительное движение. Например, если сбросить с верхушки мачты пушечное ядро, то с точки зрения матроса оно упадет вертикально, с какой бы скоростью ни шел корабль относительно моря.
Термин «относительное движение» напоминает нам о теории относительности, и это неспроста. Отсутствие предпочтительного положения или состояния известно как принцип относительности, который Галилей предложил задолго до рождения Эйнштейна. Механика Ньютона основана на относительности Галилея, которая допускает, что два объекта могут двигаться друг относительно друга с любой скоростью. В современной физике используется относительность Лоренца (по имени голландского физика Хенрика Антона Лоренца), которая вводит верхний предел относительной скорости, равный скорости света.
Обратите внимание: мы отрицаем существование предпочтительных положений и скоростей, но не ускорений. Это связано с тем, что предпочтительное ускорение существует и равно нулю. При полном отсутствии ускорения объект движется по особой траектории, которая называется инерциальной. Человек на космическом корабле не чувствует его скорость, но может ощутить ускорение: разгоняясь, корабль будет подталкивать человека в определенную сторону.
Шар на холме
Согласно философии сферической коровы, в физике нет ничего полезнее, чем построение простых идеализированных моделей (которые ученые любят называть «игрушечными»), приблизительно отражающих реальные сложные системы. Анализируя такие модели, можно углубить и расширить интуитивные представления о порядке вещей, добиться его понимания.
Одна из самых распространенных и полезных игрушечных моделей — шар, катящийся по холмистой местности. В главе 1 мы уже рассматривали ее, рассуждая о кинетической и потенциальной энергии. Сложно переоценить полезность этой модели, ведь все, что мы можем понять о шарах на холме, можно применить к квантовым полям и стандартной модели из физики частиц.
Увидеть катящийся с холма шар можно и в реальной жизни. Но то, о чем мы будем говорить, — лишь идеализированная модель. В большинстве случаев в ней нет ни сопротивления воздуха, ни трения, ни других явлений, из-за которых рассеивается энергия. Учесть все это не так уж трудно, однако нам важно начать с простых случаев, чтобы понять суть, а уже затем вносить усложнения. Помимо потенциальной и кинетической энергии реальный шар имеет также энергию вращения, но мы ею также пренебрежем. Наш шар будет идеально ровной частицей, при движении которой сумма потенциальной и кинетической энергий полностью сохраняется.
По правилам классической механики нам нужно задать положение и скорость шара, вычислить равнодействующую сил, воздействующих на него, и определить ускорение. Мы будем думать, что шар всегда остается на поверхности холма, не подпрыгивает над ней и не погружается в нее. Для простоты мы также договоримся о том, что движение происходит только в одном направлении x. На самом деле шар перемещается и во втором направлении: по высоте, однако она определяется рельефом местности, h(x) (поскольку шар не отрывается от земли).
Равнодействующая сила является суммой двух сил: направленной вниз силы тяжести и силы реакции земли — нормальной силы. Такое название она получила не потому, что ее воздействие — норма, а потому, что направлена строго по нормали к поверхности, то есть всегда перпендикулярна ей.
Рассмотрим простейший случай из всех, что можно представить: шар находится на ровной земле, то есть высота h(x) для всех значений x одинакова. Сила тяжести
