Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон

Если поверхность имеет наклон, модель становится интереснее. Сила тяжести, как и раньше, направлена вниз, но нормальная сила не будет вертикальной. Поэтому и сумма двух сил не будет нулевой: она, а значит и ускорение, будет направлена «вниз с холма». Если в начале эксперимента шар не двигался, он покатится к подножию. Если же он уже двигался вниз, скорость его увеличится, а если вверх — уменьшится.

Движущийся шар обладает потенциальной и кинетической энергией. Потенциальная энергия равна

(3.2)

где m — масса шара, d ≈ 9,8 метра в секунду за секунду — ускорение свободного падения, а h(x) — высота холма в точке x. Такая запись может немного смутить тех, кто привык всегда писать знак умножения. И все же m и g здесь константы, а h(x) — функция, которая для каждого значения x дает определенное значение h. Мы просто перемножаем эти три числа и получаем потенциальную энергию. В данном случае мы обозначим ее за V, хотя иногда применяются и другие буквы. Поскольку нас интересует энергия, а не высота холма, часто используют термин «потенциал» V(x).

Обычно, чтобы определить, как будет двигаться шар, мы применяем второй закон Ньютона,

. Однако формула потенциальной энергии дает нам возможность взглянуть на шар чуть по-иному. Реальный шар движется в вертикальном и горизонтальном направлениях, повторяя рельеф поверхности, так что, как мы уже говорили, нам нужно сложить векторы сил и найти равнодействующую. Но так как наш шар не отрывается от земли, достаточно определить лишь горизонтальное перемещение: положение по вертикали и так известно.

Итак, нам нужно подумать об ускорении в направлении x. Оно вызвано силой, которая действует в этом же направлении. Понятно, что эта сила связана с углом наклона поверхности, то есть толкает шар вниз тем интенсивнее, чем круче склон. С точки зрения дифференциального исчисления, сила в направлении x равна отрицательному значению производной потенциала по положению:

(3.3)

Буква x в обозначении силы напоминает о том, что она действует горизонтально. Наличие знака «минус» легко объясняется тем, что когда высота холма при движении вправо увеличивается (производная dV/dx имеет положительное значение), сила будет побуждать шар двигаться влево, то есть в отрицательном направлении по x.

Взгляд с точки зрения энергии

Определив воздействующую на шар силу и засучив рукава, мы можем точно узнать, как он будет двигаться по холмам любой формы. Для этого нужно вычислить ускорение по второму закону Ньютона и взять несколько интегралов. Звучит немного утомительно. Поэтому попробуем осмыслить движение шара, взглянув на него с точки зрения сохранения энергии.

Шар обладает не только потенциальной, но и кинетической энергией:

(3.4)

где v — скорость шара. Сложив оба вида энергии, мы получим суммарную энергию шара, которая остается постоянной на протяжении всей его траектории:

(3.5)

Уже само это уравнение позволяет узнать кое-что о движении шара. Кинетическая энергия минимальна (то есть равна нулю), когда шар неподвижен. Следовательно, потенциальная энергия, а значит и высота шара, при нулевой скорости достигает максимума. Аналогичным образом шар разовьет наибольшую скорость, когда потенциальная энергия снизится до минимума, то есть у подножия холма.

Закон сохранения энергии позволяет легко представить себе траекторию движения. Положим шар к подножию холма. Потенциальная энергия минимальна, ее производная равна нулю, а значит, на шар не будет действовать сила и он останется лежать, где лежит. Такое поведение вполне согласуется с тем, что мы понимаем чисто интуитивно: лежащий у подножия шар никуда не покатится.

Теперь поместим шар на склон холма и отпустим. Начальная скорость шара равна нулю, поэтому суммарная энергия будет равна потенциальной. Шар покатится вниз, ускоряясь, а его потенциальная энергия начнет переходить в кинетическую. Затем шар перейдет на другой холм и начнет подниматься. Его скорость будет снижаться до нуля, а потенциальная энергия — расти до максимума. Достигнув высоты, с которой он начал движение, шар полностью остановится, а затем начнет обратное движение вниз. Поэтому такая точка траектории называется точкой поворота.

В идеальном мире без трения шар станет бесконечно курсировать от одной точки поворота до другой. Не нужно думать, что рано или поздно он остановится у подножия холма, как подсказывает интуиция. Ее подсказка будет верна в реальном мире, где трение есть. Но если шар не теряет энергию, он обречен совершать колебания до скончания веков.

Простой гармонический осциллятор

Сферическая корова сферической корове рознь. Любимая сферическая корова всех физиков — самая важная, простая и четко разрешаемая физическая система с огромной областью применения: простой гармонический осциллятор.

Продолжим катать шар по холму без трения, но теперь возьмем холм весьма специфической формы. Если конкретно, рассмотрим параболическую долину с минимумом в точке x = 0. При этом потенциальная энергия будет равна:

V(x) = V0x2. (3.6)

Здесь V0 представляет собой параметр, который определяет ширину параболы: чем меньше V0, тем шире парабола.

Посмотрев на эту формулу, можно сразу сказать, как будет двигаться шар. Если поместить его куда-то на правую сторону параболы, например в точку x = x0, он покатится вниз, а затем начнет подъем по левой стороне. Так как потенциал на обеих сторонах параболы одинаков и симметричен относительно x = 0, в силу закона сохранения энергии можно сказать, что шар поднимется до точки x = —x0, где наберет первоначальную потенциальную энергию. Затем он снова покатится вниз и вернется в точку x = x0. Эти перемещения будут повторяться бесконечно.

Мы можем подумать о движении шара с точки зрения сил. Из уравнения (3.3) следует, что сила в направлении x равна отрицательному значению производной потенциала. Потенциал равен V(x) = V0x2, а из формулы (2.9) мы знаем, что d(x2)/dx = 2x. Поэтому Fx = —dV/dx = –2V0x. При отрицательных значениях x сила будет положительна и толкать шар вправо, при положительных — отрицательна и толкать его влево, то есть в обоих случаях — к минимуму параболы, точке x = 0. Такая сила называется восстанавливающей. Ее значение пропорционально расстоянию от точки равновесия x = 0.

Подобные системы называются осцилляторами, поскольку совершают возвратно-поступательные движения. У гармонического осциллятора потенциал строго пропорционален x2 (например, если вместо x2 взять x4, осциллятор не будет гармоническим); у простого гармонического осциллятора энергия полностью сохраняется (за отсутствием трения). Есть также гармонические осцилляторы «с затуханием», у которых трение не равно нулю, и «с возбуждением», в которые с течением времени поступает дополнительная энергия.

Можно построить график работы простого гармонического осциллятора. Для простоты изложения примем x0 = 1. Частица будет перемещаться вниз до –1, а затем возвращаться назад к 1. Колебания происходят бесконечно.