Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон

(2.9)

На следующем рисунке мы видим график функции f(x) = x2, а также углы наклона касательных в точках x = –2, –1, 0, 1, 2. При отрицательных x уклон параболы отрицательный, при положительных x — положительный.

Аналогичные формулы имеются для многих других случаев: любых степеней и корней x, логарифмов, синусов и косинусов, произведений функций и т. д. Некоторые примеры приведены в приложении A.

Множество формул и правил, которые нужно понять и запомнить, делают высшую математику скучной и сложной для изучения. Она приносит огромную пользу ученым, но наша цель — понять, как устроен мир. Тем, кто не метит в академики, достаточно взять от физики только самое интересное. Дифференцирование позволяет определить наклон кривой, то есть, к примеру, узнать скорость машины по ее перемещению с течением времени. Этого нам достаточно, чтобы двигаться дальше.

Интегралы

Согласно парадигме Лапласа, можно определить будущее положение объекта по его текущему положению и скорости, а также по данным о других влияющих на него объектах. Зная, какие силы воздействуют на объект, мы можем использовать второй закон Ньютона (2.1) и вычислить ускорение. Скорость определяет изменение положения с течением времени, а ускорение — изменение скорости. Собрав эти сведения воедино, мы можем построить траекторию движения объекта, то есть увидеть, как будут изменяться его положение и скорость.

Вернемся к примеру с машиной, которая движется по прямой с постоянной скоростью. Однако теперь мы рассмотрим график скорости, а не положения (допустим, что мы не знаем его). Это довольно легко, ведь скорость не изменяется.

Когда объект движется с постоянной скоростью v, пройденное им расстояние x равно произведению скорости на время движения: x = vDt. Несложно представить это геометрически: расстояние будет равно площади прямоугольника между прямыми 0 и Dt по горизонтали и 0 и v по вертикали. То есть накопленное значение какой-то величины представляет собой площадь под графиком ее функции.

Теперь возьмем более общий пример, в котором скорость не постоянна. Когда мы говорили о производных, мы увеличили масштаб настолько, что кривая стала казаться прямой. Применим эту же тактику и здесь: аппроксимируем площадь под графиком v(t). Для этого возьмем небольшой промежуток Dt и вычислим площадь прямоугольника от t = 0 до t = Dt (то есть v(0) ⋅ Dt), затем прямоугольника от t = Dt до t = 2Dt и т. д. Сложив все эти площади, мы получим величину, примерно равную площади под кривой. Для этой операции — сложения большого количества величин — используется специальное обозначение: S, то есть заглавная греческая буква сигма.

(2.10)

Волнистый знак равенства означает «приблизительно равно».

Чем меньше будет промежуток Dt, тем тоньше получатся прямоугольники (и тем больше их будет). При этом фигура, которую они составляют, будет все ближе и ближе к области под кривой. Поэтому, как и в случае с производными, в пределе Dt становится бесконечно малой величиной, которую мы обозначим dt. Если заменить символ суммы Σ на другой, напоминающий фигурную букву S, мы получим интеграл скорости по времени, то есть пройденное расстояние:

(2.11)

Аналогичным образом, вычислив интеграл ускорения, можно определить изменение скорости:

(2.12)

Это выражение не совсем точно: для простоты в нем отсутствуют сведения о начальном и конечном моментах времени, то есть о промежутке, в течение которого мы наблюдаем за изменением положения или скорости. Полный вариант формулы можно найти в приложении A.

Если производные — это способ осмыслить деление нуля на ноль, то интегралы — аналогичный способ понять умножение на ноль бесконечности (мы ищем сумму площадей бесконечно большого числа прямоугольников нулевой площади). Эти действия (которые математики называют матемическим анализом) можно выполнить довольно точно, хоть и не все ученые с этим согласны. Не удивительно, что в «Началах» Ньютон не стал активно использовать дифференциальное исчисление, которое было в те времена было новинкой. К счастью, для задач физики оно подходит как нельзя лучше.

Зная, какие силы действуют на объект, мы можем определить его ускорение по закону Ньютона — формуле F = ma. Далее, интегрируя ускорение, мы получаем скорость, а интегрируя скорость — пройденный путь. Таким образом, парадигма Лапласа верна: зная исходное положение и скорость, мы можем построить всю траекторию движения объекта.

Интегрирование и дифференцирование представляют собой противоположные операции над функциями. Взяв производную исходной функции, мы получаем новую функцию, а взяв от нее интеграл, — снова исходную. Таким образом производная отменяет интеграл и наоборот.

(2.13)

То же самое в обозначениях:

(2.14)

На практике брать производные относительно просто, интегралы — намного сложнее. Даже лучшие физики часто прибегают к численным методам и вычисляют нужные значения при помощи компьютеров.

Однако нам не придется подробно знакомиться с тем, как брать интегралы и производные (некоторые примеры можно найти в приложении A). Для нас важны не конкретные формулы, а сами эти понятия. Запомним одно простое правило: интеграл от бесконечно малой величины равен конечной величине:

(2.15)

Это означает, что суммарное количество x, накопленное за промежуток времени, есть изменение x от начала процесса до его завершения. При этом за х может быть принято что угодно: расстояние в космосе, промежуток времени, любая физическая величина, которую мы рассматриваем.

Непрерывность и бесконечность

Со времени Ньютона было открыто немало законов фундаментальных физических систем. Джеймс Клерк Максвелл предложил серию формул для электричества и магнетизма, Альберт Эйнштейн — уравнение кривизны пространства-времени, а Эрвин Шрёдингер — волновой функции квантово-механической системы… Все эти формулы объединяет одно: это дифференциальные уравнения, неизвестными в которых являются функции (временные или пространственные), которые описывают различные явления. По этой причине дифференциальное исчисление занимает в физике центральное место.

Но справедливо ли это? Не зная окончательных формулировок законов физики, мы должны быть открыты для любых предположений. Одно из них состоит в том, что парадигма Лапласа неверна, то есть фундаментальные законы глобальны, а не локальны, то есть не начинаются с какого-то состояния в какой-то момент времени. Следовательно, отталкиваясь от такого состояния, мы не можем судить и о будущих либо прошлых.

Другое предположение — время не непрерывно, то есть имеется некий минимальный промежуток времени, а Вселенная развивается ступенчато, с этим промежутком. Один из плюсов такого подхода в том, что непрерывность (и сестра ее бесконечность) всегда была для людей — математиков и философов — чем-то загадочным, тем, что нельзя увидеть в реальном мире. Однако идея о том, что время дискретно перечеркнет все открытия классической механики и теории относительности, заставит пересмотреть большую часть наших знаний о мире. И хоть, возможно, в конечном итоге так и придется сделать, разумно не слишком спешить со столь радикальными переменами.