Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон

Посмотрев на график функции, можно интуитивно понять, что скорость машины связана с наклоном кривой в каждой ее точке: чем круче она изогнута вверх или вниз, тем выше скорость. Почти горизонтальный участок графика показывает, что с течением времени положение машины изменяется медленно, то есть скорость очень мала. Крутой участок, напротив, говорит о быстром перемещении, то есть высокой скорости.

Представим себе прямую линию, которая касается кривой x(t) в какой-то момент времени t0. Она называется касательной линией в этой точке. Скорость машины в момент t0 будет равна углу наклона такой касательной. Нам нужно предложить систематический подход к определению и вычислению угла наклона касательной в зависимости от времени.

Это довольно просто, когда машина едет с постоянной скоростью, то есть график функции представляет собой прямую, как на следующем рисунке. Ее наклон, а значит, и скорость вычислить очень легко: достаточно разделить изменение положения на время, в течение которого оно менялось. Обозначим изменение положения за Dx, а промежуток времени — за Dt. Заглавная греческая буква дельта (D) часто используется, чтобы показать изменение какой-то величины. (При этом обозначение Dx представляет собой цифру, изменение x, а не произведение какой-то величины D на x.) Соответственно, скорость составит:

(2.3)

Настало время поговорить об одном из базовых понятий дифференциального исчисления. Если функция относительно плавная, то есть не скачет как попало от значения к значению, на очень коротких отрезках она будет похожа на прямую. Чем больше мы будем увеличивать масштаб, тем более прямолинейной она будет казаться.

И это подсказывает нам, что делать. Возьмем какой-то момент времени t, в который мы хотим посчитать скорость, а также промежуток Dt, конечным моментом которого будет t + Dt. Используя нашу функцию, мы можем определить два положения машины: начальное x(t) и конечное x(t + Dt), а значит, изменение положения за Dt:

(2.4)

Если график функции криволинеен, деление суммарного изменения положения на промежуток времени даст нам среднюю скорость за это время:

(2.5)

Это выражение похоже на (2.3), но, в отличие от него, дает не скорость равномерного движения, а среднюю скорость за некоторый промежуток времени:

Но это не совсем то, что мы ищем: нам нужно вычислить скорость в каждый момент времени. Возможно, вы уже поняли, к чему я веду. Рассмотренный нами промежуток Dt взят совершенно произвольным образом. Мы можем выбрать любой. Давайте его уменьшим. Чем меньше будет Dt, тем меньше получится Dx. По мере того как Dx и Dt будут стремиться к нулю, их частное Dx/Dt будет стремиться к некому числу, отличному от нуля, а фактически — именно к тому, что мы ищем: углу наклона касательной к графику функции в начальный момент времени.

Только что описанные действия называются взятием предела при стремящемся к нулю Dt. Ноль, деленный на ноль, — это не какое-то число. Математически говоря, это значение не определено. Однако если мы возьмем предел (lim) стремящихся к нулю Dt и Dx, их частное даст нам скорость v — определенное значение. Такой предел называется производной функции x(t) и записывается следующим образом:

Вот и все. Мы разобрались с тем, что такое производная: это угол наклона кривой в некоторой точке, которую мы получаем как предел последовательности линий, постепенно приближающихся к касательной в этой точке. Мы рассмотрели пример зависимости x от t, и в данном случае производная представляет собой скорость. Однако понятие производной универсально. К примеру, ускорение — это производная скорости по времени:

(2.7)

Скорость измеряется в метрах в секунду, а ускорение — в метрах в секунду за секунду, то есть показывает, как быстро изменяется скорость. Ускорение объекта, свободно падающего на землю под действием силы тяжести, составляет примерно 9,8 метра в секунду за секунду (сокращенно — м/c2).

Если рассматривать некую функцию, зависимость от t, то есть f(t), ее производной будет df/dt. Мы всегда можем найти производную функции по переменной, зависимость от которой она определяет. При этом не важно, как именно обозначена переменная: мы можем выбрать любую удобную и понятную нам букву. Традиционно время обозначается буквой t, а расстояние буквой x, но этот выбор всегда остается за нами.

Значения dx и dt называются бесконечно малыми величинами. Мы как бы делим их друг на друга и получаем v. Но все не так просто. Будь они числами, мы бы фактически делили ноль на ноль, а это запрещено. Поэтому dx и dt следует понимать как обозначения, показывающие бесконечное приближение к нулю величин Dx и Dt. Их частное будет вполне определенным числом. Что тут можно сказать? Математики приложили немало усилий, чтобы придать этому смысл. Физики, со своей стороны, подходят к вопросу практически: работает — и отлично, можно переходить к следующей проблеме.

Сейчас вас, скорее всего, беспокоят два вопроса. Во-первых, мы пока что не сделали ничего сложного: порассуждали об углах наклона касательных линий и дали определение производной. А где же сложности высшей математики, которыми всех так часто пугают? Во-вторых, непонятно, что делать с этим определением. Оно довольно абстрактно. Как применять его в жизни: к реальным функциям или же показаниям одометра? Нам снова придется маяться с приращениями и пределами?

Два эти вопроса связаны и, в общем-то, исключают друг друга. Серьезно взявшись за дифференциальное исчисление, мы погрузились бы в мир утомительных, но достаточно четких правил дифференцирования, которые позволяют найти производную любой функции. Рассмотрим, к примеру, простую функцию f(x) = ax + b, где a и b — постоянные параметры (обычно называемые константами) [6]. Такая функция называется линейной, поскольку ее график представляет собой прямую.

Чтобы найти производную этой функции, достаточно просто подумать. Константа b не влияет на наклон прямой, а значит, мы можем ее не учитывать. Константа a, напротив, и есть этот уклон, ведь если x изменится на Dx, f(x) изменится на aDx, то есть Df(x)/Dx = a, какое значение x мы бы ни взяли. Поэтому

(2.8)

Производная линейной функции — константа, равная множителю при x в исходном уравнении.

Увы, наклон большинства функций не постоянен, а изменяется от точки к точке. Поэтому их производные будут сложнее. К примеру, производная параболической функции f(x) = x2 такова: