Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
- Все это очень интересно, - сказал Илюша, - по все-таки я не совсем понимаю, как это делается.
- В семнадцатом веке, - сказал Радикс, - было уже довольно много ученых, которые занимались такими вопросами.
Развивалась алгебра, и в решениях разных задач стало легче разбираться. Когда ты решаешь задачу арифметически, то числа после перемножения или сложения сливаются воедино, и ты уже не можешь следить за тем, что с ними происходит в течение решения. А в алгебре весь ход решения задачи у тебя перед глазами, и его легко исследовать. Греки занимались геометризованной алгеброй. Арабы много сделали для самой алгебры. В их среде были крупные ученые. Некоторые из них продолжали и даже развивали работы Архимеда по суммированию бесконечно малых. Но настоящая алгебра связана уже с европейской математикой, в частности с именем Виеты, теорему которого ты, конечно, помнишь.
Вращая около этой оси часть круга, большую его половины, мы получаем яблокообразное тело.
Затем, как мы уже говорили, замечательный французский философ и математик Декарт открыл аналитическую геометрию и ввел в употребление метод координат, хотя попытки такого рода были сделаны еще греками, а затем Орезмом в четырнадцатом веке. Это было шагом в сторону, противоположную греческим ученым, - это было алгебраизацией геометрии.
- 327 -
Это открытие дало науке очень много новых возможностей.
- А что это были за возможности? - спросил Илюша.
Вращая около этой оси часть круга, большую его половины, мы получаем яблокообразное тело.
- Дело, видишь ли, тут вот какое. Если ты умеешь составить уравнения прямой или кривой, то, получив их, можешь действовать с этими уравнениями, как с алгебраическими выражениями, что гораздо проще, чем возиться с геометрическими построениями. Если, например, надо найти точку, где пересекаются две кривые, то, зная, как написать их уравнения (другими словами, зная, как выражается игрек через икс для одной из кривых и как выражается игрек через икс для другой), приравнивают эти алгебраические выражения друг другу и решают обычным путем получившееся таким образом уравнение относительно икса. Решение дает абсциссу искомой точки. Подставив икс в любое из уравнении, ты находишь и ординату, то есть значение игрека. Ну вот, к примеру, у нас есть две прямые:
y1 = 25 + 19x;
у2 = 5 + 9х.
Спрашивается: где пересекаются эти прямые? Другими словами, требуется найти координаты точки пересечения этих прямых. Совершенно очевидно, что в искомой точке и у1 и у2 имеют одно и то же значение, а следовательно, мы найдем абсциссу точки пересечения из такого уравнения:
25 + 19х = 5 + 9x.
Решая это уравнение, находим, что
x: = -2.
- 328 -
Вращая около этой оси часть круга, меньшую его половины, мы получаем лимонообразное тело.
Если тело обрезать сверху и снизу, получается бочка, объемом которой интересовался Кеплер. Еще более близкое к бочке теле можно получить из эллипса подобным же образом.
Чтобы найти ординату точки пересечения, подставляем найденное значение икса в любое из уравнений прямых и получаем:
y = -13.
Итак, координаты точки пересечения найдены, они равны:
-2; -13.
Когда Декарт, говорят, привел в порядок все эти свои открытия, то он сказал: "Я решил все геометрические задачи". И это было справедливо в том смысле, что, владея его методом, можно было решить почти все задачи, известные в то время. Для примера того, как расширялись возможности наших суждений, вспомним параболу. Сперва греки говорили, что парабола есть сечение конуса плоскостью, параллельной образующей конуса. Затем, после того как было формулировано понятие геометрического места и оценено значение этого понятия, они определили параболу так: это геометрическое место точек, равноотстоящих от прямой и точки (директрисы и фокуса). А по методу Декарта легко показать, что парабола - это график квадратного трехчлена. Чисто геометрическое построение сроднилось с чисто алгебраическим. Причем и то и другое очень выиграло в смысле наглядности и простоты. Таким образом, ум математика освободился от целого ряда мелких, но хлопотливых трудностей, и это помогло заняться более важными работами.
- 329 -
Парабола третьего порядка.
Один вещественный корень и два комплексных.
Геометрия и алгебра как бы слились в одну науку, и их сила увеличилась от этого во много раз. Алгебра позволяет преобразовывать уравнения, выражающие геометрические соотношения, а геометрия наглядно представляет смысл многих алгебраических зависимостей и преобразований. Можно теперь высказывать очень странные на первый взгляд суждения, например, что у квадратного трехчлена есть ось или фокус. И ты будешь прав: действительно у геометрического образа квадратного трехчлена, то есть у параболы, имеется и то и другое.
- 330 -
А есть ли смысл в таких "странных" замечаниях? Представь себе, что есть, и вот пример. Что это, собственно, означает, что у квадратного уравнения имеются два корня? Это значит, что парабола на графике дважды пересекает ось абсцисс, или ось иксов, как мы это выяснили в Схолии Двенадцатой. Что значит, что у квадратного уравнения нет вещественных корней? Это значит, что соответствующая на графике данному квадратному трехчлену парабола совсем не пересекает оси иксов - она вся находится либо выше этой оси, либо ниже ее. Если взять уравнение третьей степени:
х3 + Ах2 + Вх + С = 0,
то у него должно быть три корня, например:
x1 = а; х2 = b; х3 = с,
теперь можно составить такое уравнение:
(x - а) (х - b) (х - с) = x3 - х2 (а + b + с) +
+ х (ab + ас + bc) - abc = 0,
откуда следует, что коэффициенты уравнения третьей степени связаны с корнями следующим образом:
А = - (а + b + с); В = ab + ас + bc; С = - abc.
Три вещественных корня.
- 331 -
Рассмотрим теперь, что обозначает геометрически утверждение о трех корнях. Если мы напишем
у = х3 + Ах2 + Вх + С,
то будем иметь дело с кривой, которая сперва поднимается вверх, доходит до некоторого максимума, потом опускается, доходит до некоторого минимума, а затем снова начинает подниматься. Разумеется, все это может идти и обратным порядком (то есть сперва будет минимум, а потом максимум), в зависимости от знака перед х3 (все эти кривые называются кубическими параболами, параболами третьего порядка). Но если кривая имеет такую форму, то ясно, что она либо пересекает ось иксов трижды, и тогда все три корня кубического уравнения вещественны, либо пересекает ее только однажды, и тогда у него есть лишь один вещественный корень и два других - комплексные. Все рассуждения чрезвычайно упрощаются. Что же касается тех преимуществ, которые дает алгебра, то легко рассудить, что гораздо проще написать
х2 = аb.
чем выполнить построением и записать такое утверждение:
"Квадрат, построенный на отрезке, длина которого равняется х, равновелик прямоугольнику, одна сторона которого равна а, а другая равна b". Тут надо вот еще что иметь в виду. Геометрия древних, как отчасти и геометрия вообще, отличается тем, что там нет общих способов и чуть ли не каждая задача решается по-своему. Греки проявили в таких решениях просто гениальное остроумие, но им не хватало того, что ныне мы называем общностью. Они сделали все, что было возможно при отсутствии общих методов, а далее вынуждены были остановиться. Труды Архимеда были замечательны еще тем, что он в связи с развитием в его время естественных наук (особенно астрономии) обратил внимание на измерение и вычисление, но и у него общие методы не выработаны, а только намечены. Труды средневековых алгебраистов и математиков эпохи Возрождения много сделали для объединения и систематизации математической работы. Декарту же вместе с Ферма посчастливилось, соединив воедино геометрию с алгеброй, дать математикам в руки способ (метод) для рассмотрения и решения труднейших задач, где геометрия и алгебра помогают друг другу. Именно метод координат и аналитическая геометрия помогли решить одну замысловатую задачу, над которой математики бились с давних пор.
- 332 -
- А какая это задача? - спросил Илюша.
- Это была знаменитая задача о проведении касательной. А построить касательную к окружности нетрудно.
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу.
- Конечно, - отвечал Илюша, - потому что эта касательная перпендикулярна к радиусу.
- Правильно. Ну, а как ты проведешь касательную к любой другой кривой? Ну, например, к той же параболе? Или к кривой обратных величин, то есть к гиперболе? У параболы, например, нет радиуса.
Илюша задумался.
- А что, если сделать так. Например, надо провести касательную к данной точке параболы. Я начерчу окружность, очень похожую на параболу на этом ее кусочке, вроде тех кругов, которыми Коникос мерил кривизну. А к окружности касательную провести ничего не стоит.
