Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
1; 1/2; 1/4; 1/8; 1/16; 1/32; 1/64...
Теперь запишем последовательные суммы:
1 = 1
- 321 -
Но
откуда ясно, что каждый следующий член этого ряда сумм будет все ближе и ближе к двойке.
- Да-да! - сказал Илюша. - Вот как раз именно так мы с Радиксом делили яблочко в Схолии Двенадцатой. Я сразу сейчас вспомнил.
- Вот именно. Однако самый процесс разыскания пределов отнюдь не так-то прост, и в нем очень легко ошибиться.
Например, не во всякой геометрической прогрессии сумма имеет предел. Если взять геометрическую прогрессию с первым членом, равным единице, а знаменателем минус единице, то получим следующий ряд:
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...
Попробуем вычислить сумму такого ряда. Если я напишу ряд в таком виде:
S = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + …
то очевидно, что сумма его равняется нулю. Однако стоит его изобразить иначе:
S = 1 - (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + …
и получится в сумме не нуль, а единица! Но я могу придумать еще одно начертание:
S = 1 - ( 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -...),
и тогда сумма S будет, очевидно,
S= 1 - S.
- 322 -
Получающееся уравнение, как ты видишь, решить нетрудно, но в таком случае сумма равняется уже и не единице и не нулю, а просто половине! Из ряда подобных "вычислений" можно заключить, что о сумме такого ряда говорить в том же смысле, в каком мы говорим о сумме конечного числа членов, невозможно. Математики бились с этим рядом очень долго, пока не убедились наконец, что прежде чем говорить о сумме бесконечного ряда, надо сперва точно определить, что следует понимать под этими словами. В данном случае то общее определение, согласно которому мы под суммой бесконечного ряда
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …
понимали рассмотренный выше предел, то есть двойку, нам совершенно не подходит, так как последовательные суммы нового ряда попеременно равны то единице, то нулю, и ни к какому пределу не стремятся.
Надо найти площадь АВСО. Сумма площадей прямоугольников, начерченных сплошными линиями, будет мельше искомой площади; эта же сумма с добавлением площадей пунктирных прямоугольников будет больше искомой площади. Но если число прямоугольников бесконечно увеличивать, то основания их станут бесконечно малыми и как сумма "входящих", так и сумма "охватывающих" прямоугольников будут обе бесконечно приближаться к искомой площади и в пределе будут ей равны.
В этом смысле мы можем теперь сказать, что такой ряд вовсе не имеет суммы, а следовательно, все рассуждения о том, "чему же равно выражение 1-1 + 1-1 + 1-... и так далее до бесконечности", просто бессмысленны. Так вот, если ты установил, что можешь миновать такого рода трудности, то можно пользоваться этим в высшей степени удобным способом. То, что я тебе изложил, в целом есть завоевание уже гораздо более поздних времен. Самый вопрос о бесконечно малых и о пределах настолько сложен, что греки не смогли с ним справиться. Против деления площадей и объемов на бесконечно малые составляющие было выдвинуто очень много возражений, и некоторые из них казались вполне основательными. Говорили, например, что из целой массы величин, которые почти не отличаются от нуля, нельзя составить конечной величины - "из ничего и выйдет ничего".
- 323 -
- Да, - сказал Илюша, - а ведь это очень похоже на правду!
- Похоже, конечно, - отвечал Радикс, - но есть одно обстоятельство, которое это правдоподобие нарушает. Если взять бесконечно малую величину и повторять ее слагаемым конечное число раз, то, несомненно, получится снова величина бесконечно малая. Но если рассматривать сумму неограниченно возрастающего числа бесконечно малых, то нельзя ручаться, что будет величина бесконечно малая. То есть в одном случае окажется нуль, но в иных можно получить некоторую конечную величину, отличную от нуля. Разумеется, все это должно делать обдуманно и с рядом самых серьезных предосторожностей. Кстати сказать, Паскаль на упрек, выраженный в фразе "из ничего и выйдет ничего", отвечал, что он вовсе не суммирует нули, а разбивает некоторую конечную величину, которая ему дана. Такое разбиение отнюдь не равнозначно уничтожению этой величины.
- Вот именно, - сказал Коникос. - Но такие подробности, в данном случае очень важные, ускользали от внимания древних математиков. И тем не менее начало этого дела было ими положено. А в дальнейшем Архимед, опираясь на работу Демокрита и других развил этот способ. Он нашел площадь сегмента параболы, поверхности шара, сумму квадратов натурального ряда и сделал еще немало других открытий. Историки рассказывают, что он до того был предан геометрии, что его слугам приходилось чуть не насильно отрывать его от занятий и кормить. Он был убит при взятии города Сиракузы римлянами. Говорят, будто это произошло случайно, что предводитель римского войска Марцелл отдал даже особый приказ пощадить великого ученого. Архимед много помогал своим согражданам при осаде города Сиракузы, организовав всю защиту своего родного города.
- А правда, что он сжег римский флот при помощи каких-то особенных зеркал? - спросил Илюша.
- Нет! - отвечал Радикс. - Это сказка, которую выдумали в средние века. Уже Кеплер смеялся над ней. Зеркалом, разумеется, можно зажечь дерево, но для того, чтобы на расстоянии километра это сделать, надо изготовить зеркало диаметром в полкилометра... Вот этот-то Марцелл и назвал Архимеда "Бриареем геометрии", сравнив его со сказочным сторуким чудовищем.
- А как же называется этот способ вычисления площадей фигур вроде параболы и тому подобных?
- 324 -
- Ты хочешь сказать "площадей криволинейных фигур"?
Этот способ теперь в математике называется интегрированием.
Вдруг все замолчали, напряженно вглядываясь во что-то, что было за спиной Илюши.
Мальчик обернулся и увидел громадную тень Великого Змия, повисшую в воздухе.
- 325 -
Схолия Шестнадцатая,
где выясняется, какие прекрасные математические плоды нашел однажды астроном Кеплер. Затем Радикс знакомит Илюшу поближе с его старой приятельницей касательной, и тут он узнает, что эта линия является волшебницей, умеющей делать самые настоящие чудеса, а кроме того, объясняются некоторые необъяснимости, как, например, почему Илюша не может закинуть камень в 20 граммов весом за полкилометра, хотя, согласно тройному правилу, это вполне возможно. Дальше выясняется, как наконец подружились Кеплер и Галилей с Аполлонием и Архимедом, кто мешал этой дружбе, и что из этого получилось, и как после этого Исаак Ньютон пришел с простыми и умными гипотезами и со своим "микроскопом" в царство тех могущественных карликов, которых мы называем бесконечно малыми, и как они научили людей познавать законы природы.
Громадный призрак исчез. Радикс и Илюша поблагодарили любезных старичков и собрались уходить.
- Постой, - сказал Коникос, - а ведь ты не попробовал еще нашего замечательного кваску. Выпей-ка!
Илюша взял большой красивый стакан, в который Коникос налил квас из фонтана, и стал пить. Было очень вкусно.
Однако Илюша заметил, что с каждым глотком квас менял вкус. Сначала он явно был яблочный, затем напоминал лимон, а потом стал пахнуть айвой.
- 326 -
- Очень вкусно! - сказал Илюша. - Но только почему, когда его пьешь, то вкус все время меняется?
- Потому, - наставительно сказал Коникос, - что этот фонтан есть источник имени великого Кеплера, ученого начала семнадцатого века. Он первый после долгого и бесплодного перерыва возобновил работу над сложением бесконечно малых частиц, начатую Архимедом. И он-то и вычислил объем тела, получаемого от вращения части круга, несколько большей его половины. Это тело похоже на яблоко. Вот почему наш квас и пахнет этим кеплеровским яблоком. При вращении части круга, меньшей половины, он получил другое тело и назвал его лимоном. А из вращения большей части эллипса он получил новое тело, которое назвал айвой. Из вращения меньшей части эллипса он получил оливу. Вот какие плоды были у Кеплера! А кроме того, он нашел объемы еще многих других тел.
- А теперь это сладкое вино! - воскликнул Илюша.
- А это потому, - сказал, улыбаясь, Асимптотос, - что Кеплер ведь занимался еще вычислением объемов винных бочек. Его работа так и называется "Новая стереометрия винных бочек". Она вышла в тысяча шестьсот шестнадцатом году.
- Очень вкусно! - заключил Илюша.
Затем они распростились с добрыми хозяевами сыроварни, получили на дорогу по большому куску сыра и отправились восвояси.
- Все это очень интересно, - сказал Илюша, - по все-таки я не совсем понимаю, как это делается.
- В семнадцатом веке, - сказал Радикс, - было уже довольно много ученых, которые занимались такими вопросами.
Развивалась алгебра, и в решениях разных задач стало легче разбираться. Когда ты решаешь задачу арифметически, то числа после перемножения или сложения сливаются воедино, и ты уже не можешь следить за тем, что с ними происходит в течение решения. А в алгебре весь ход решения задачи у тебя перед глазами, и его легко исследовать. Греки занимались геометризованной алгеброй. Арабы много сделали для самой алгебры. В их среде были крупные ученые. Некоторые из них продолжали и даже развивали работы Архимеда по суммированию бесконечно малых. Но настоящая алгебра связана уже с европейской математикой, в частности с именем Виеты, теорему которого ты, конечно, помнишь.
