Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
- Да-да! - ответил поспешно мальчик. - Слежу и пока, кажется, все понимаю.
- Приятно слышать. Ну, слушай далее! Итак, если конус высотой в метр делить на кружки, толщина которых равна одному микрону, то есть тысячной доле миллиметра, то велика ли - опять-таки в процентах! - будет разница между объемом кружка и объемом усеченного конусика, на которые делится конус, если действовать совершенно точно?
- Нет, - ответил Илюша. - Раз каждый кружок будет толщиной в микрон, то наверно разницу-то и заметить будет невозможно.
- Справедливо, - отвечал Асимптотос. - Но ведь у нас нет надобности резать на самом деле конус на кружки, нам достаточно только вообразить это, ибо мы это делаем только для рассуждения, а если так, то никто не мешает нам допустить, что мы будем разрезать каждый кружок в тысячную долю миллиметра толщиной еще на миллион сверхтончайших кружков.
- 317 -
Как ты тогда обнаружишь разницу между объемом кружка и элементарного усеченного конусика? А ведь в рассуждении я могу повторять мое деление на миллион еще любое число раз. Этот метод деления объема на крайне малые объемы назывался в древности "методом исчерпания", ибо такими крохотными объемами мы как бы "исчерпываем" данный объем.
- Значит, - сказал Илюша, - мы будем все делить и делить, и "высота-толщина" цилиндрика-кружка будет изменяться...
- Как и полагается переменной величине! - сообщил многозначительно Радикс.
- Ну да, - отвечал Илюша, - конечно, если она все время меняется, то ясно, что это величина переменная. И так она изменяется, уменьшаясь и приближаясь, - я думаю, здесь можно сказать - к некоторому пределу?
- Разумеется, - отвечал Асимптотос, - так сказать не только можно, но даже и должно. Но вот вопрос: к какому именно пределу стремится эта твоя "высота-толщина"?
- Мне кажется, - осторожно произнес Илюша, - что если она будет уменьшаться все больше и больше, то естественно, что пределом ее будет нуль.
- А мы уже говорили в Схолии Двенадцатой, - заметил Радикс, - что если переменная величина имеет своим пределом нуль, то мы называем ее бесконечно малой. А это обозначает, что какое бы малое положительное число ни задать, в течение ее изменений наступит момент, начиная с которого ее абсолютная величина станет и будет оставаться меньше этого числа.
- Это я понимаю, - отвечал Илюша. - Но ведь это еще не все. А что же делается в это время с числом кружков-цилиндриков? .. Мне кажется, что число их в это время растет безгранично.
- Разумеется. Однако не забудь о том, что я собираюсь получить при помощи такого деления на кружки вовсе не приближенный объем конуса, а совершенно точный! Ведь мы действительно убедились с тобой, что в процентном отношении к искомому объему разница может быть сделана сколь угодно малой, если мы будем уменьшать толщину цилиндриков. Убедились мы также и в том, что если в каждом слагаемом мы сделаем ошибку меньше тысячной процента, то при вычислении всей суммы общая ошибка не может превысить того же самого процентного отношения. Не так ли? Тебе все здесь ясно?
- Как будто так, - отвечал Илюша. - То есть этот множитель-ошибка при суммировании просто выйдет за скобку?
- 318 -
- Ну разумеется! А теперь сообрази-ка, что же получится в пределе. Разницу между истинным объемом конуса и суммой можно сделать меньше 0,001, или меньше 0,000001 процента, то есть одной миллионной, или меньше 0,0000000000000000001, то есть одной десятиквинтиллионной процента.
- Постой-ка! - воскликнул Илюша. - А нельзя ли изображать и десятичные дроби через отрицательные степени "десяти"?
- Разумеется, можно. 101 будет 10; 10-1 - единица, деленная на 10, то есть 0,1, ибо,
10-1 = 10n / 10n+1 = 1 / 10 = 0.1
а следовательно, 10-2 будет 0,01, и так далее.
- А тогда, - сказал Илюша, - эти проценты я запишу так: вместо 0,000001-10-6, а вместо 0,0000000000000000001 - 10-19.
Но если делать так, то, значит, можно и здесь воспользоваться самыми громадными делителями единицы, вплоть до того невероятного архимедова числа в сто шестьдесят биллионов километров длиной, о котором мы говорили в Схолии Десятой.
Слушай, Радикс! Скажи мне, пожалуйста: может быть,Архимед именно это и имел в виду, когда сочинял "Псаммит"? ..
- Весьма вероятно! И очень хорошо, что ты сам теперь это понял.
- Но если, - продолжал далее мальчик, - точность суммы неограниченно возрастает за счет увеличения числа цилиндров и утончения их, то ясно, что в пределе я и получу совершенно точно искомую величину!
- Так, - отвечал Коникос. - Вот выходит, что "чем больше ошибок ты сделаешь, тем лучше окажется твой результат", ибо чем больше ошибок, тем каждая из них меньше. А отсюда ясно, что ты действительно имеешь возможность при вычислении объема конуса разбивать его на тончайшие слои и считать каждый слой цилиндром, пренебрегая теми крохотными колечками (они у нас останутся, если из каждого цилиндрика вычесть соответственный усеченный конусик), которые представляют собой бесконечно малые более высокого порядка.
А это уже величины такой малости, что по сравнению с ними бесконечно малые первого порядка, о которых мы до сих пор говорили, суть величины бесконечно большие.
- А все-таки есть одна вещь, которую мне очень трудно усвоить! - вздохнул Илюша. - Как это так можно чем-нибудь пренебрегать в математике?
Длина окружности не может быть больше периметра описанного многоугольника и меньше периметра вписанного. Однако если бесконечно удваивать число сторон многоугольников, то оба периметра будут приближаться к длине окружности, как к пределу.
- 319 -
- Чем можно пренебрегать, а чем нельзя, мы узнаем первоначально, разумеется, из опыта. Замечательный физик и мыслитель девятнадцатого века Больцман утверждал, рассуждая о вопросах, близких к тем, о которых мы сейчас говорим, что не логика решает в конце концов, правильна ли данная система размышлений или неправильна. Решает этот вопрос дело, то есть наша человеческая повседневная деятельность. "То, что ведет нас к верному делу, - говорил Больцман, - то и есть истина". И если бы мы с помощью данных рассуждений не могли достигнуть некоторых неоспоримых практических результатов, то никогда и не могли бы установить, как же, наконец, следует рассуждать - так или иначе. Если я путем такого процесса бесконечного уменьшения слагаемых кружков получаю правильное решение, то, следовательно, и способ мой правилен.
Длина окружности не может быть больше периметра описанного многоугольника и меньше перимерта вписанного. Однако если бесконечно удваивать число сторон многоугольников, то оба перимера будут приближаться к длине окружности, как к переделу.
Конечно, затем нужно обсудить теоретически, обосновать и осмыслить все эти операции. Очевидно, что можно так обращаться с конусом только в том случае, если есть возможность убедиться, что этим путем я действительно могу приблизиться к некоторому пределу. И вот так-то, перерешав бесчисленное множество таких задач, люди и научились складывать бесконечно малые величины и узнали постепенно их свойства. Ничего нет удивительного в том, что человек, который никогда не имел дела с бесконечно малыми, не знает, как с ними обращаться. Что же касается понятия предела, то тут вот что можно сказать для выяснения. Ясно, что периметр вписанного многоугольника, если мы будем последовательно удваивать число его сторон, должен безгранично приближаться к длине окружности. Стать больше ее он не может, ибо ведь он вписанный, а не описанный, но, увеличиваясь, он все тесней и тесней приближается к ней по мере новых удвоений его сторон. Отсюда мы можем прийти к определению длины окружности как предела периметров вписанных многоугольников, если мы безгранично удваиваем число их сторон. С другой стороны, и периметр описанного многоугольника при бесконечном удвоении числа сторон также будет стремиться, уменьшаясь, к тому же пределу, то есть к длине окружности. Стать меньше ее он не может, так как он описанный, а не вписанный.
- 320 -
Длина окружности лежит всегда между периметром описанного и периметром вписанного многоугольников. Она меньше первого и больше второго.
И оба стремятся к ней. Поэтому можно проверять одно приближенное решение при помощи другого и установить границы, между которыми лежит искомая величина, наподобие того, как Архимед установил, что правильное значение корня квадратного из трех лежит между двумя неправильными дробями.
265/153 и 1351/780
(если взять корень из трех с точностью до семи десятичных знаков, то есть до одной десятимиллионной, то первая дробь дает значение корня из трех с недостатком в 247 десятимиллионных, а вторая с избытком в пять десятимиллионных). Архимед, кстати, при вычислении длины окружности пользовался вписанным и описанным многоугольниками с девяноста шестью сторонами. Однако это касается уже самого вычисления, и там, разумеется, ты волен остановиться на таком приближении, которое кажется нужным. А выкладки дают способ вычисления. А какая нужна точность в каждом данном случае - это уже дело твое. Повторим теперь еще раз знакомый нам из древности пример убывающей геометрической прогрессии. Пусть ее первый член будет равен единице, а знаменатель - половине. Тогда предел, к которому стремится ее сумма, будет равен двум целым. И это очень легко заметить. Вот эта прогрессия:
