Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней
Интерпретации парадоксов Зенона столь многочисленны, сколь и различны, и столь же безрезультатны, сколь и предположения о целях их создания. Вот запись, не относящая их к числу противостоящих прогрессу, по крайней мере в философии. Как отметил Бернард Рассел в своих «Лоуэльских лекциях» 1914 года: «Доводы Зенона до некоторой степени дали почву для почти всех теорий пространства, времени и бесконечности, которые были созданы с его дней до наших». Далее Рассел подвел свои итоги. При допущении, что конечное пространство и время состоят из конечного числа точек и мгновений, аргументы Зенона, как подчеркивает Рассел, правомерны. «Мы можем, следовательно, избежать его парадоксов либо устранить их, хотя пространство и время действительно состоят из точек и мгновений, а число их на любом конечном интервале бесконечно, либо отрицать, что пространство и время состоят из точек и мгновений, либо вообще, в конце концов, отрицать реальность самого пространства и времени, вместе взятых. Это выглядит так, словно сам Зенон, как сторонник Парменида, вывел последнее из трех возможных умозаключений безотносительно времени. В этом очень большое количество философов последовало его примеру». На что Зенон, скорее всего, ответил бы, как ответил Сократу: «Нет. Ты неправильно понял главный смысл трактата». В любом случае другие парадоксы проявились в арифметике бесконечного с тех пор, как Рассел опроверг Зенона. Рассел же продолжал: «…трудности могут возникнуть снова, если представить, что бесконечные числа допустимы. И на основании, независимом от пространства и времени, бесконечные числа и последовательности, в которых не может быть двух повторяющихся членов, должны быть в любом случае признаны», – и не только они, но и (как покажется из развития арифметики бесконечного с 1914 года) парадоксы наподобие непридуманных парадоксов Зенона.
В дополнение к предоставлению оснований «для почти всех теорий пространства, времени и бесконечности» от Зенона до Рассела парадоксы Зенона доказали наибольшую значимость для логики XX века, особенно в той части, что вытекает из признания бесконечных чисел в математике. Как отмечает Рассел, долго разыскиваемая дорога к конечному в 1914 году была прямой и ясной: «Из этого следует, что, если нам суждено разрешить весь класс противоречий, вытекающих из Зенона по аналогии, мы должны создать какую-нибудь надежную теорию бесконечных чисел. В чем же состоят противоречия, которые до последних тридцати лет вели философов к уверенности, что бесконечные числа невозможны? Противоречия делятся на два вида, первый из которых сродни мнимым, в то время как прочие вовлекают для их разрешения до определенной степени новое и нетрадиционное мышление.
Мнимые противоречия – это противоречия из числа тех, что предполагает этимология, и тех, что возникают из смешивания математической бесконечности и того, что философы дерзко именуют «истинной» бесконечностью».
К этому может быть добавлено, что математические логики (которые, несомненно, образуют особую разновидность, хотя, возможно, и представлены весьма скромно среди философов) начиная с 1914 года сочли необходимым проявлять «новое и нетрадиционное мышление» в отношении «теории бесконечных чисел» в надежде придать ей «убедительность». В процессе их размышлений они выявили несколько новых парадоксов логики, которые могли бы оказаться мнимыми, но которые тем не менее подсказали, что в дедуктивном мышлении существует больше ловушек и открытых ям, о которых Фалес и даже Платон никогда и не мыслили. Новые парадоксы теперь больше похожи на естественные следствия из эволюции математической логики, начатой самим Расселом в 1902 году. К некоторым еще вернемся в нужном месте.
Отчасти неугасаемые парадоксы Зенона были представлены в данной главе только для того, чтобы подсветить оледенелую вершину всех видов философии чисел, конечного и бесконечного, теории идеального числа, какой видел ее Платон в свои зрелые годы. Мы постараемся поймать отблеск неизменяемой реальности, которую он описал, после того как узнаем, каким человеком он был.
Глава 18
Политика и геометрия
«В любые времена в мире найдется не более дюжины человек, которые читали и поняли Платона, и никогда нет достаточно средств на издание его работ, хотя вопрос об этом встает перед каждым поколением ради этих нескольких человек, на случай если их пошлет Бог».
Такого мнения придерживался трансценденталист из Конкорда Ральф Вальдо Эмерсон. Он мог бы добавить, что в любые времена найдется не более двух человек из этой дюжины, полностью согласных с прочитанным и понятым. Нет необходимости продолжать, что каждый из них по-своему понял Платона. Там, где какая-то абстрактная универсальная доктрина порождает множественность восприятия, неудивительно, что равные по образованию читатели интерпретируют смысл написанного Платоном по-разному. К счастью для наших сегодняшних целей, Платон неоднократно и категорично говорил о том, что арифметика и геометрия значат для него и как они влияют на его философию. Поскольку нас касается только эта единственная часть его системы, разумно предположить, что мы верно поняли значение сказанного им.
Платона обычно справедливо рассматривают как ученика Сократа. Но у него был и более древний учитель, который оказал, возможно, более значительное влияние на образ его мысли и чьим учеником он действительно имел право себя называть. Если не брать в расчет самого учителя, Платон был величайшим из пифагорейцев. Он был, конечно, даже больше чем просто пифагореец, ведь он был самим собой, но для нас самым важным является законченная форма, которую пифагорейская нумерология приобрела у Платона. Все после Платона становилось лишь подражательными изменениями или фантастически оторванными от жизни наработками, порой доходящими до абсурда. И никто не сделал столько всего полезного для существования чисел и математической истины, не говоря уже о человеческом разуме. Приняв философию Пифагора, он упорядочил ее и усилил, а в своих идеальных числах попытался подвести рациональную базу под высказывание погруженного в мистику предшественника «Все сущее есть число».
Пребывая в смятении от непродуманности обобщений учителя, некоторые из древних комментаторов предприняли попытку снять с Пифагора обвинение в провозглашении бессмысленности. Они подправили его настоящие слова и, соответственно, мысль, заменив на «Все сущее представлено числами». В обоснование своих поправок они предъявляли письмо, подписанное именем Теано. Но было легко доказано, что письмо – не более чем неуклюжая фальшивка. Теано не предавала своего обожаемого мужа. Что до Платона, то он не прибегал к принципиальным уловкам, чтобы отвергнуть все, но непреодолимым препятствием в доктрине Пифагора оказывалось слово «есть». «Есть» являлось формой глагола «быть», случайно оказавшись одной из основных проблем целостной системы Пифагора, где «все сущее есть число». Платон представил свою теорию «существующего» как противопоставление «становящегося». Для читателя вполне достаточно на настоящий момент знать, что его выводы продолжают удовлетворять математиков, которые верят, что числа были скорее найдены, чем созданы, и что «математическая реальность лежит вокруг нас».
Прежде чем следовать за Платоном в туманность идеальных чисел, необходимо понять, каким он был человеком и что он думал о математике. Как и в случае с другими титанами прошлого, жизнь его приукрашена легендами. Некоторые из них явно лишены оснований, в то время как другие, хотя и не совсем нелепые, вызывают болезненную реакцию у слишком пристрастных его обожателей. Платон – человек сложный для описания с объективной точки зрения, поскольку все время есть опасение, что ненароком придется оскорбить хоть кого-нибудь из них в лучших чувствах. Случаи из его жизни, способные вызвать сконфуженную улыбку у людей непосвященных, глубоко ранят преданных его памяти. Почему бы не закрыть на это глаза? Потому что даже философ теряет монументальность своего образа, если его представить обыкновенным человеком, особенно если так уж случилось, что он такой человек, каким был Платон. Он сам упоминает в своих письмах, как его философия не всегда срабатывает на практике, в отличие от теории.
Официальная генеалогия начинается достаточно туманно. Со стороны отца прослеживается его родство с богом морей Посейдоном. Родился Платон не то на острове Эгина, не то в Афинах в 427 или 428 году до Рождества
Христова. Когда его дарование стало заметно окружающим жителям Афин, заблуждающиеся энтузиасты стали говорить о нем как о сошедшем прямо с неба. Это сделало его наполовину похожим на Пифагора, у которого отцом был Аполлон, а мать – девственница. В наши дни обе любопытные небылицы интересны лишь тем, что рассказывают нам о почтении, которым пользовался Платон среди своих современников и ближайших последователей. Когда древние хотели выразить свое глубокое уважение к кому-то из своих великих ученых наиболее благоговейным образом, они наделяли его божественным происхождением.
