Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней
Греческое решение проблемы измерения опиралось на стержневое определение «пропорции», приписываемое Евдоксу. В «Элементах» Евклида это знаменитое определение приводится пятым в пятой книге. Мы процитируем его в классическом варианте, чтобы иллюстрировать раннее свидетельство, как смутные предположения проникают незамеченными в математику, несмотря на предельную осторожность и желание не допустить этого. Сначала мы обращаем внимание, что «многократная» величина – вполне признанная и законная концепция: если «множитель» натуральное число m, m-кратное величины A получается, если отмерить число A m раз на линии достаточной длины. Если линия недостаточно длинна, ее можно увеличить – удлинить, пока ее длина не станет достаточной. Греческие геометры заметили необходимость включения (в качестве постулата) возможности удлинения линии до любой конечной длины и сделали это. Немного удивляет, что они упустили бесконечно большую нужду в объяснении понятия «то же самое отношение». «Первая из четырех величин считается имеющей «то же самое отношение» ко второй, что и третья к четвертой, когда берутся любые множители первой и третьей величины, и любые множители второй или четвертой величины, то кратная величина третьей величины больше, равна или меньше, чем кратная величина четвертой, соответственно, как и кратная величина первой больше, равна или меньше кратной величины второй величины». Это объясняет значение словосочетания «то же самое отношение» или «пропорционально», из чего появляется «пропорция» как простое вербальное определение. «Если первая из четырех величин имеет то же самое отношение ко второй, что и третья к четвертой, все четыре величины называются пропорциональными, или членами пропорции».
Такой была формулировка, по которой многие поколения школьников пытались воспринять элементарную геометрию до тех пор, пока «Элементы» Евклида в качестве школьных учебников не были отвергнуты. Для нашей цели нет необходимости переводить определение во вразумительную и легко воспринимаемую форму в символике, общепринятой сегодня. Но, даже не воспринимая смысла, а просто перечитывая это определение, как какое-нибудь упражнение по чтению, легко заметить, что за словами в дважды повторяемой фразе «любые числа, имеющие общие множители» прячется грандиозное предположение. «Числа с общими множителями» двух величин означает «одинаково кратные», например три или восемь раз взятая каждая из величин. Чтобы установить, находятся ли четыре величины в пропорции («любые» из определения), требуется проверить все пары чисел с общими множителями. Когда таких пар бесконечность, такая проверка выше человеческих сил. Но разве это возражение существенно? Не для тех, кто способен вообразить себя выполняющими бесконечное количество умножений и сравнений результатов, как то требуется по определению. Какая крайность более рациональна – вопрос спорный, если только не должно оказаться, что один или другой не вступает в противоречие своим преимуществом. Но определение обнаруживает, что в попытке избежать ловушек «числа» и обращаясь к геометрически (или визуально) интуитивной концепции «величины» мы теряем себя в той же самой бесконечности, как и прежде.
Теория измерения и сравнения величин была способна (с некоторым преувеличением) предоставить рациональный счет непрерывного движения. Но, как часто случалось, греческий гений испытывал антипатию ко всему переменному и динамичному, предпочитая увековечить себя в четко отличающихся объектах, каждый из которых стоит особняком от других в своей конечной завершенности и совершенстве. В их геометрии эта склонность к статичности в противоположность динамике произвела множество специальных теорем без единого намека на общий принцип, объединяющий значительное число в их единстве и целостности. Современная геометрия лишь пассивно интересуется частными теоремами. Что она ищет и находит? Всестороннее обобщение, из которого любое заданное или требуемое число частных теорем может быть получено однородными способами. Различие между античным подходом и современным как-то сравнили с разницей между попыткой зубилом по кусочку раздробить гранитную глыбу и той же самой попыткой, но уже с заложенным динамитом. Другое обычное сравнение уподобляет греческую математику Парфенону, а современную математику готическому собору. Древний храм – символ конца всего, что он представляет, собор же – символ неограниченной бесконечности.
Справедливо ли это сравнение, или оно основано лишь не более чем на воображении, но греческие математики остановились, не доходя до рационального описания движения, для которого их теория измерения была вполне достаточна. Преодолев основную трудность, создав работоспособную теорию соизмеримых и несоизмеримых величин, греки застопорились, столкнувшись с парадоксом, который могли бы, проигнорировав, обойти. Возможно не вполне осознавая, что несла в себе их теория, они фактически создали (или открыли) континуум (совокупность) «реальных чисел», в особенности представленный несчетно-бесконечным множеством всех точек на линии. Но потому что все их неприятности с иррациональными числами шли от попытки пифагорейцев распространить рациональные числа на линии, создатели континуума намеренно воздержались от применения «чисел» в «величинах». Линии сравнивали по равенству или неравенству, но общего арифметического определения «длины», применимой ко всем линиям, тщательно избегали. Пока не пришло время заменить несколько туманное понятие «величин» на обобщенный и точный эквивалент, выраженный числами, практичная теория движения едва ли была выполнима.
Прежде чем мы бросим взгляд на парадокс, который остановил греков на самом пороге современной математики, стоит посмотреть, как Платон попытался унифицировать все числа. Пифагорейцы произвели все натуральные числа от единицы, или Монады, через мистический союз Нечетного и Четного, или, что было нумерологически эквивалентно, брак Конечного с Бесконечным. С открытием иррациональности пифагорейские категории нечетного и четного, конечного и бесконечного были уже недостаточны для конкретизации понятий «числа» и «пространства». Вместо дискретной сущности числа, подобной горстке гальки, число стало по существу континуумом, непрерывностью, подобно атмосфере, передаваемой чувствами. В этом неотделимом и неисчислимом целом натуральные числа и все другие рациональные числа были рассеяны реже, чем звезды в полуночной тьме. Желая цельной замены совершенной простоты «все сущее есть число» Пифагора, Платон искал расширенное определение числа, которое вместило бы в себя и рациональные и иррациональные числа и которое, кроме того, вмещало бы в себя их как числа, независимо от пространственной интуиции, как в «величинах» математиков.
Если бы он преуспел в этом, он бы приблизил по меньшей мере часть современной теории континуума.
Вместо «конечного и бесконечного» Пифагора, Платон использовал понятие «большое и малое», что напоминает наш континуум, как, например, «все множество чисел, соответствующее точкам на линии».
Из этого и Единицы он попытался получить свои Идеальные числа, которые некоторые толкователи, включая Аристотеля, наделяли идентичной сутью с его Идеями или Формами. Но, подобно всем своим современникам, Платон оказался ограничен недостатком системы обозначений, способной записать и придать форму неуловимой концепции, которую он, возможно, создал в своем воображении, и профессионалам-платонистам еще только предстоит достигнуть согласия по поводу, какова она все-таки как единое целое. Возможно, если бы Идеальные числа были созданием юного Платона, а не Платона-старца, их было бы много проще понять.
Мы рассмотрим затем ту роль, которую парадоксы Зенона могли сыграть и, вероятно, сыграли в неспособности греков перейти от их теории величин к обобщенной арифметике, способной описать движение. «Бесконечное число», заложенное в «величинах» геометров, ускользало как от математиков, так и от философов вплоть до последней трети XIX столетия.
Глава 17
Ошибка рассуждений
Нельзя добежать до конца дистанции в забеге, потому что, прежде чем пробежать всю дистанцию, необходимо пройти ее половину, а чтобы дойти до половины, надо перевалить через четверть дистанции, и так далее до бесконечности. Из этого следует, что в любом заданном месте пространства существует бесчисленное множество точек. И нет никакой возможности дотронуться до каждой точки бесчисленного множества точек за определенный момент времени.
Но атлеты-то доходят до финиша, а некоторые из них пробегают сто ярдов за девять с половиной секунд, что само по себе является конечной величиной времени.
Атлеты не только проходят дистанцию, а самый быстрый из них обходит всех, кто оказался ближе к финишу, и выигрывает забег. У нас, наверное, что-то не так со зрением, поскольку «того, кто медленнее, никогда не обгонит на его траектории тот, кто быстрее, поскольку преследующий обречен всегда прибегать сначала к точке, которую преследуемый только что покинул. Следовательно, тот, кто медленнее, всегда будет впереди».
