Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней
Атлеты не только проходят дистанцию, а самый быстрый из них обходит всех, кто оказался ближе к финишу, и выигрывает забег. У нас, наверное, что-то не так со зрением, поскольку «того, кто медленнее, никогда не обгонит на его траектории тот, кто быстрее, поскольку преследующий обречен всегда прибегать сначала к точке, которую преследуемый только что покинул. Следовательно, тот, кто медленнее, всегда будет впереди».
Еще более увлекательно звучит, что нельзя совершить убийство с использованием стрел, огнестрельного оружия, ножей или любых других материальных орудий. Потому что стрела, или пуля, или нож должны проходить сквозь тело жертвы, а чтобы сделать это, они должны двигаться. Но они не могут двигаться, потому что для них самостоятельное движение невозможно, и далее все, как в предыдущем примере, используя подобную же схему умозаключений. Хотя тысячи человек были застрелены или заколоты насмерть, а других повесили за совершенные убийства. Либо имеет место серьезная ошибка в логике, либо еще большая судебная ошибка. Но логика не ошибается, ведь она самая проверенная подручная чистого разума. Следовательно, наши ощущения, как всегда, должны были сознательно ввести нас в заблуждение. Мы выдумали все эти легкоатлетические состязания, а быстроногие атлеты, выигрывающие забеги, которых мы наблюдали, и все эти убийства, о которых читали в газетах, были всего лишь иллюзиями нашего чувственного опыта. Ничего этого не было.
Если последнее звучит как пародия на нормальное доказательство и еще более нормальный жизненный опыт, каковым он является, можно вспомнить множество примеров из истории, таких же абсурдных карикатур на нормальную психику и здравый смысл. Чтобы привести пример, который не будет спорным, поскольку все поводы для споров давно исчерпаны, обратимся к истории с ортодоксальными логиками времен Галилея (конец XVI века), отрицающими очевидность чувственного опыта в случае падения тел. Логики видели, как тела весом один фунт и десять фунтов падали с равной высоты и коснулись земли одновременно. Но их интуитивная логика подсказывала им, что следует предположить, что более тяжелое тело должно падать в десять раз быстрее, чем легкое. Увиденное, следовательно, было навязчивым обманом разума со стороны чувств. Они продолжали настаивать на своей правоте, и для них, следовательно, все было очевидно. Чуть позже более податливые приняли приглашение Галилея посмотреть на спутники Юпитера через его телескоп. Они легко отнесли то, что увидели, к числу миражей, созданных дефектами на стекле линз. Греческая астрономическая система не предполагала существования этих искусственных спутников. Следовательно, они не могли существовать наяву. Пятна на солнце, в существовании которых Галилей начал убеждать завзятых логиков еще позднее, предлагая взглянуть на небеса «через его стеклянное око», также были отвергнуты рассуждениями. Солнце, о существовании которого знали со времен Пифагора, было идеальным телом. Следовательно, у него не могло быть недостатков. Самые стойкие логики вообще отказались смотреть на солнце в телескоп. Если разум непогрешим, то зачем полагаться на чувства? Вера тех людей была столь же велика, сколь и отсутствие у них здравого смысла.
Приведенные парадоксы взяты из парадоксов Зенона. О нем мало что известно. Зенон, сын Телетагора, был родом из Элии. Наибольшего расцвета достиг в 475 году до н. э. Не более того известно о целях, которые он преследовал при создании своих бессмертных парадоксов. Его парадоксы движения, возможно, наиболее популярные из восьми, что Зенон завещал многим поколениям логиков и математиков. Два других парадокса движения получили наименование «Стрела» и «Стадион». «Летящая стрела находится в покое. Поскольку то, что находится в покое, занимает пространство, равное себе, и то, что летит в данный момент времени, тоже занимает пространство, равное себе, стрела не может двигаться». «Стадион» – парадокс более сложный для понимания без дополнительных пояснений, поэтому пропустим его. Он заведет нас во временной абсурд, когда половина отведенного времени равна всему времени. Еще четыре парадокса столь же сложны для восприятия, но для заявленных целей вполне достаточно уже трех указанных.
Учитывая множество спекуляций на тему, какие цели преследовал Зенон, разрабатывая свои парадоксы, можно процитировать высказывания по данному вопросу якобы самого Зенона, как их приводит Платон в «Пармениде». Спорная легенда о «Пармениде» рисует Сократа молодым человеком, лет двадцати от роду. Он встречает Зенона, которому в ту пору «было около сорока лет, человека благородного происхождения с благородным лицом. В дни его молодости о нем говорили, что он был любим Парменидом». Сократ и его друзья «хотели услышать что-либо из написанного Зеноном, что тот захватил в Афины… впервые. …Сократ был еще очень молод, и… Зенон прочитал их ему в отсутствие Парменида…». Более чем достаточно о встрече Сократа и Зенона, которая вообще могла быть придумана Платоном, дабы придать человеческие черты абстракт ной работе «Парменид». В разговоре Зенон просит прочитать ему первый парадокс. Сократ озадачился. Затем спросил:
«– Что ты имел в виду, Зенон? Твой аргумент, что существование Множества предполагает необходимость существования похожего и непохожего, а это невозможно, поскольку все похожее не может быть непохожим. Такова твоя позиция?
– Именно так, – ответил Зенон. – Но если непохожее не может быть похожим или наоборот, тогда никакое Множество невозможно, поскольку это потребует применения невозможности? Не состоит ли твоя цель в том, чтобы опровергнуть существование Множества? И не направлен ли каждый твой трактат на отдельное доказательство этого, тогда будет столько доказательств, сколько аргументов ты придумаешь о невозможности существования Множества?
– Нет. Ты неправильно понял главный тезис трактата, – ответил Зенон.
Беседа продолжилась. В конце Зенон определенно просветил Сократа:
– Реальная цель моих трудов состоит в том, чтобы защитить аргументы Парменида от тех, кто высмеивает его и выдвигает бесконечные фантастические и противоречивые выводы, которые якобы следуют из формального определения Единицы. Мой ответ адресован сторонникам Множества и имеет целью показать, что, если задаться целью, из их гипотезы существования Множества легко сделать выводы более весомые и более нелепые, чем из гипотезы существования Единицы».
Между прочим, он изобрел диалектику. Затем Зенон поведал, что в молодые годы любовь к противоречиям подтолкнула его написать парадоксальный трактат. Книгу украли, пояснил он, и у него не осталось другого выбора, как опубликовать парадоксы. «Мотивом» публикации, заверил он скептически настроенного Сократа, «были не амбиции старого человека, а неуживчивость молодого».
Какова бы ни была цель создания парадоксов, Зенон причастен в какой-то степени к тому, что греческие математики решительно не перешли к арифметике бесконечных чисел, арифметической теории континуума вещественных (действительных) чисел, анализу движения и практичной теории непрерывного изменения. Итак, любая серьезная работа по физике навсегда осталась выше их возможностей. Они остановились на полпути. Парадоксы Зенона и нехватка символов для представления чисел застопорили их.
Парадоксы, которые менее фанатично преданные логике люди игнорировали бы на время и занялись бы более насущными проблемами развития арифметики (конечной или бесконечной) и созданием математического аппарата для изучения физики и астрономии, превратили педантичных, ограниченных математиков Греции в перестраховщиков. Они предпочли заняться консолидацией и совершенствованием уже достигнутого и сделать единый безупречный шедевр, подобно одному из их белых храмов на скалистой вершине. Они преуспели в своей теории пропорций, которая и сейчас столь совершенна, каковой она была двадцать три века тому назад, но она бессодержательна, и ею никто не пользуется. К моменту завершения своего шедевра на благо восхищенного потомства огромная часть их талантов погрязла в классических формах и постепенно истощилась. За исключением неортодоксального Архимеда, жившего в 287–212 годах до н. э., который не опустился до презрения к рассуждениям о вещах, а также об идеях, которое было присуще греческим математикам после Платона, составившим незабываемую когорту из прошлого. К счастью для прогресса естествознания и развития математики, Ньютон в 1660-х годах проигнорировал парадоксы Зенона, если вообще когда-либо слышал о них, и смело создал чистую и прикладную математику непрерывного изменения. Его рассуждения о «бесконечно малом» и «бесконечно большом» привели бы в ужас математиков времен Платона. Но они дали ему дифференциальные и интегральные вычисления, без которых ни его собственная астрономия и механика, ни астрономия и механика его последователей в XVIII веке не была бы возможна. Он знал, что его расчеты грешат логическими несостыковками, но он не стал посвящать юность своего разума достижению абсолютной чистоты рассуждений.
