Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Вещественная прямая представляется вещью очевидной, но в действительности дело с ней обстоит довольно серьезно и не лишено тайны. Рациональные числа, например, «всюду плотны» на ней. Это значит, что между любыми двумя рациональными числами найдется еще одно. А это означает, что между любыми двумя рациональными числами найдется еще бесконечно много рациональных. (Ну правда: если между a и b гарантированно живет c, то между a и c, а также между c и b гарантированно имеется некое d и некое e… и т.д., без конца.) Ладно, это почти удается себе представить. Но где же тогда помещаются иррациональные числа? Кажется, что им приходится как-то втискиваться между рациональными числами, которые, как мы только что видели, уже сидят всюду плотно! Всюду плотно — но при этом расселение еще не закончено.
Возьмем последовательность из главы 1.vii, которая сходится к √2, например 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378, …. Ее члены по очереди делаются то меньше, то больше, чем √2, так что 1393/985 меньше, чем √2 примерно на 0,000000036440355, a 3363/2378 больше примерно на 0,00000006252177. Между этими двумя дробями втиснуто еще бесконечно много других дробей… и тем не менее где-то там остается место для √2. И не для одного только √2, а для бесконечного количества других иррациональностей!
Поражает не просто то, что иррациональностей бесконечно много, и не то, что и они тоже всюду плотны, но тот факт, что имеется строгий математический смысл в утверждении, что иррациональных чисел куда больше, чем рациональных. Это показал в 1874 году Георг Кантор. Число рациональных чисел бесконечно, и число иррациональных чисел тоже бесконечно, но вторая бесконечность больше первой. Как, черт возьми, все они умещаются на вещественной прямой? Как может столь непредставимо грандиозное количество иррациональных чисел втиснуться между рациональными, если те и так уже всюду плотны?
У нас здесь нет места, чтобы вдаваться в эти вещи. Мой совет — не думать о них слишком много. Это путь в безумие. (Действительно, Кантор закончил свои дни в лечебнице, хотя это и было в большей степени результатом врожденной предрасположенности к депрессии, усугубленной трудностями, с которыми его теории пробивались к признанию, нежели результатом слишком усердных размышлений о вещественной прямой. Его теории сейчас не подвергаются серьезным сомнениям.)
Но куда же нам теперь поместить комплексные числа? Вещественная прямая вся забита — и как забита! — рациональными и иррациональными числами. А ведь для каждого вещественного a имеется бесконечно много комплексных чисел вида a + bi, где b свободно бегает себе вверх и вниз по вещественной прямой. Что же с ними делать?
Последнее замечание подсказывает ответ. Для каждого вещественного числа нам нужна прямая, а поскольку вещественных чисел бесконечно много, нам нужно бесконечно много таких прямых бок о бок друг с другом. Это означает, что нам требуется плоскость. Тогда как вещественные числа можно выстроить для парада вдоль прямой, для комплексных чисел требуется плоскость — которую, разумеется, называют «комплексной плоскостью». Каждое комплексное число изображается точкой где-то на этой плоскости.
Рисунок 11.2. Комплексная плоскость и точка z на ней (изображена точка −2,5 + 1,8i); показаны ее модуль и фаза, а также сопряженное число.
Чаще всего комплексную плоскость рисуют так (рис. 11.2) что, вещественная прямая простирается с запада на восток. Под прямым углом к ней в направлении с юга на север проведена другая прямая, на которой живут все чисто мнимые числа: i, 2i, 3i и т.д. Чтобы добраться до числа a + bi, надо уйти на расстояние a на восток (на запад, если a отрицательно), а затем на расстояние b на север (на юг, если b отрицательно). Вещественная прямая и мнимая прямая (их чаще называют «вещественная ось» и «мнимая ось») пересекаются в нуле. Точки на вещественной оси имеют нулевую мнимую часть. Точки на мнимой оси имеют нулевую вещественную часть. Точка их пересечения — т.е. точка, расположенная на обеих осях, — имеет и вещественную, и мнимую части равными нулю. Это точка 0 + 0i, т.е. попросту нуль.
Введем три новых профессиональных термина. Модуль комплексного числа — это расстояние по прямой от этого числа до нуля. Обозначается модуль как |z|, что произносится «модуль зет». По теореме Пифагора модуль комплексного числа a + bi есть . Это всегда положительное вещественное число или нуль. Фаза комплексного числа — это угол, составленный с положительной частью вещественной оси, измеряемый в радианах. (Один радиан равен 57,29577951308232… градуса; 180 градусов — это π радиан.) Фазу по соглашению считают углом, лежащим между −π (не включая) до π (включая), а обозначается она как Φ(z).[93] У положительных вещественных чисел фаза равна нулю, у отрицательных вещественных она равна −π, у положительных мнимых равна π/2, а у отрицательных мнимых фаза равна −π/2.
И наконец, комплексным сопряжением комплексного числа называется его зеркальное отображение относительно вещественной оси. Комплексное сопряжение числа a + bi есть a − bi. Обозначается оно как z', что произносится как «зет-с-чертой».{2} Если перемножить комплексное число с его сопряженным, то получится вещественное число: (a + bi)×(a − bi) = a2 + b2, что, как видно, есть квадрат модуля числа a + bi. На этом и основан фокус, позволяющий делить комплексные числа. Используя введенные обозначения, можно записать z×z' = |z|2, а фокус с делением выражается как z/w = (z×w')/|w|2.
Модуль комплексного числа −2,5 + 1,8i, показанного на рисунке 11.2, равен √9,49, то есть около 3,080584, фаза составляет 2,517569 радиана (или, если вам так больше нравится, 144,246113 градуса), а сопряженное число, конечно, есть −2,5 − 1,8i.
VI.
Чтобы продемонстрировать комплексную плоскость в действии, я чуть-чуть потренируюсь в анализе с комплексными числами. Рассмотрим бесконечный ряд из выражения (9.2):
1/(1 − x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + …
(x лежит строго между −1 и 1).
Поскольку здесь не предпринимается никаких действий, кроме сложения, умножения и деления чисел, нет причин, по которым x нельзя было бы сделать комплексным числом. Работает ли эта формула для комплексных чисел? Да, при определенных условиях. Пусть, например, x равен 1/2i. Тогда ряд сходится. Имеем
1/(1 − i/2) = 1 + 1/2i + 1/4i2 + 1/8i3 + 1/16i4 + 1/32i5 + 1/64i6 + …
Левая часть вычисляется с помощью рассмотренного выше фокуса с делением как 0,8 + 0,4i. Правую часть можно упростить, используя тот факт, что i2 = −1:
0,8 + 0,4i = 1 + 1/2i − 1/4 + 1/8i − 1/16 + 1/32i − 1/64 + …
Можно пройти правую часть этой формулы на комплексной плоскости. Идея видна из рисунка 11.3. Начнем из точки 1 (которая, разумеется, расположена на вещественной оси). Оттуда идем на север, что соответствует прибавлению 1/2i. Затем на запад на 1/4 потом на юг в соответствии с вычитанием 1/8i и т.д. Получается спираль, замыкающаяся на комплексном числе 0,8 + 0,4i. Вот вам анализ в действии — бесконечный ряд сходится к этому пределу.
Рисунок 11.3. Анализ на комплексной плоскости.
Заметим, что при переходе к комплексным числам мы потеряли простоту одного измерения, но зато приобрели некоторые преимущества наглядности. При наличии в нашем распоряжении двух измерений можно, как мы только что это и делали, демонстрировать математические результаты в виде замечательных наглядных образов и картинок. В этом до известной степени и состоит привлекательность комплексного анализа (для меня, во всяком случае). В главе 13 мы сможем увидеть дзета-функцию Римана (и саму великую Гипотезу!), выраженную в виде изящных узоров на комплексной плоскости.
