Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Уместно сделать несколько замечаний по поводу такой организации. Во-первых, числа из каждой матрешки записываются характерным для каждой из них способом.
• Натуральные числа обычно записываются так: 257.
• Целые могут иметь перед собой знак, например −34.
• Рациональные числа чаще всего записываются в виде дробей. В том, что касается записи в виде дроби, рациональные числа бывают двух видов. Те, величина которых (без учета знака) меньше единицы, называются «правильными дробями», а все остальные — «неправильными». Правильная дробь записывается таким образом: 14/37. Неправильную дробь можно записать двумя способами: как собственно неправильную дробь 13/9 или же в «смешанном» виде (с выделенной целой частью) 14/9.
• Наиболее важным вещественным числам присвоены специальные обозначения, такие как π и e. Многие другие можно выразить «в замкнутом виде», подобно или π2/6. Когда больше ничего нельзя сделать или же просто для того чтобы оценить реальное численное значение вещественного числа, его записывают в виде десятичной дроби, как правило, с многоточием в конце, которое означает: «Это не все! если надо, можно добавить сюда еще десятичные разряды», например −549,5393169816448223…. Их можно округлять, скажем, до «пяти знаков после запятой» −549,53932, или до «пяти значащих цифр» −549,54, или с любой другой точностью.
• Комплексные числа выглядят так: −13,052 + 2,477i. О них мы еще поговорим.
Следующее, что нужно заметить, — это что обитатели каждой матрешки являются привилегированными гражданами следующей (внешней) и при желании могут быть записаны в стиле, принятом для этой внешней матрешки:
• Натуральные числа (скажем, 257) — это привилегированные целые числа, и их можно записать, поставив перед ними знак плюс, как +257. При виде целого числа со знаком плюс перед ним мы думаем: «Натуральное!»
• Целые (скажем, −27) — это привилегированные рациональные числа, и их можно записать в виде дроби, знаменатель которой равен 1, как −27/1. При виде рационального числа со знаменателем 1 мы думаем: «Целое!»
• Рациональные числа (скажем, 1/3) — это привилегированные вещественные числа, и их можно записать в виде десятичных дробей, как 0,33333333…. Насчет рациональных чисел интересен тот факт, что при записи рационального числа в виде десятичной дроби знаки после запятой рано или поздно обязательно начнут повторяться (если только они вообще не исчерпаются, как, скажем, в числе 7/8 = 0,875). Рациональное число 65 463/27 100, например, в виде десятичной дроби выглядит следующим образом:
2,4156088560885608856088….
Все рациональные числа демонстрируют такие повторы, но ни одно из иррациональных ничего подобного не делает. Другими словами, иррациональное число не может проявлять никакого порядка в последовательности своих знаков после запятой. Число
0,12345678910111212131516171819202…
ясно демонстрирует некий порядок, и несложно заранее сказать, каков в нем сотый знак после запятой, или миллионный, или триллионный. (Спорим? Это соответственно 5, 1 и 1). Однако число это иррациональное. Когда же мы видим вещественное число, в котором знаки после запятой повторяются, мы думаем: «Рациональное!»
• Любое вещественное число можно записать как комплексное. Например, √2 записывается в виде комплексного числа как √2 + 0i. Подробности ниже.
(В этом списке можно и перескочить через несколько ступенек и записать, скажем, натуральное число как вещественное: 257,000000000….)
Каждое семейство чисел — каждая из матрешек — обозначается ажурной буквой: N — семейство всех натуральных чисел, Z — целых, Q — рациональных, a R — вещественных. Каждое семейство в определенном смысле содержится внутри следующего. И каждое расширяет возможности математики, позволяя делать что-то такое, чего нельзя было делать с предыдущей матрешкой. Например, Z позволяет получить ответ для вычитания любого целого числа из любого целого, чего не удавалось сделать, оставаясь в N (7 − 12 =?). Подобным же образом Q позволяет получить ответ для деления на любое число (кроме нуля), чего не удавалось сделать, оставаясь в Z ((−7):(−12) =?). И наконец, R открывает дорогу анализу — математике пределов, — поскольку любая сходящаяся бесконечная последовательность чисел в R имеет предел (что неверно для Q).
(Вспомним последовательности и ряды, с которыми мы встретились в конце главы 1. Все они состояли из рациональных чисел. Некоторые из них сходились к 2, или 2/3, или 11/2 — т.е. их пределы также оказывались рациональными. Но другие, напротив, сходились к √2, или π, или e — иррациональным числам. Таким образом, бесконечная последовательность чисел из Q может сходиться к пределу, который не лежит в Q. Математический профессиональный термин: Q не является полным. Напротив, R полно, как полно и С. Эта идея пополнения Q приобретет новое значение, когда в главе 20.v мы будем говорить о p-адических числах.)
Можно выделить и другие категории чисел или внутри приведенной схемы N—Z—Q—R—C, или же «нарезав ее поперек». Очевидный пример доставляют простые числа — подмножество в N. Их совокупность иногда обозначается как P. Имеется также очень важное подмножество в С, называемое алгебраическими числами и иногда снабжаемое собственной ажурной буквой А. Алгебраическое число — это такое число, которое является нулем некоторого многочлена, все коэффициенты которого взяты из Z, например, 2x7 − 11x6 − 4x5 + 19x3 − 35x2 + 8x − 3. Среди вещественных чисел каждое рациональное (и, следовательно, каждое целое и натуральное) — алгебраическое; 39 541/24 565 есть корень многочлена 24 565x − 39 541 (или, если вы предпочитаете язык уравнений и их решений языку функций и их нулей, — решение уравнения 24 565x − 39 541 = 0). Иррациональное число может быть, а может и не быть алгебраическим. Те, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными. И число π, и число e трансцендентны, как это доказали, соответственно, Эрмит в 1873 году и Фердинанд фон Линдеманн в 1882.
III.
На рассматриваемый предмет можно взглянуть и с другой стороны, в аспекте истории чисел, которую я тут скроил. «Скроил» — почти в том же смысле, в каком было сшито новое платье короля. На самом деле это полное вранье.
Подложная история чисел, рассказанная Джоном ДербиширомЛюди всегда умели считать. С доисторических времен у них была N — система натуральных чисел. Но N несет в себе запрет, невозможность. Нельзя вычесть большее число из меньшего. По мере развития техники это превратилось в препятствие. Температура была 5 градусов, а потом понизилась на 12 градусов — какая стала температура? В N нет ответа на этот вопрос. Тогда люди изобрели отрицательные числа. Да, и кто-то еще додумался до нуля.
Отрицательные числа, положительные числа и нуль были собраны вместе в новую систему Z. Однако Z несет в себе невозможность, запрет. Нельзя поделить число на другое число, не являющееся делителем первого. Можно поделить 12 на 3 (ответ: 4) или даже на −3 (ответ: −4), но нельзя поделить 12 на 7. В Z нет ответа для такого действия. По мере развития науки об измерениях это превратилось в препятствие. Для все более точной работы требуются все более точные измерения. Можно на время добиться желаемого совершенства, если ввести новые единицы измерения. Требуется что-то меньшее одного ярда? Хорошо, вот вам дюйм… Однако есть пределы тому, как далеко можно продвинуться таким образом, и насущной стала нужда в общем способе выражения долей единицы. Так были изобретены дроби.
Дроби вместе со всеми целыми были собраны в новую систему рациональных чисел Q. Увы, Q несет в себе свой собственный запрет. Не всегда удается найти предел сходящейся последовательности. Три примера таких последовательностей были приведены в главе 1.vii. По мере развития науки к моменту, когда потребовался анализ, это стало препятствием, поскольку весь анализ основан на идее предела. Для развития анализа были изобретены иррациональные числа.
Иррациональные числа вместе с рациональными (включая, разумеется, все целые) были собраны в новую систему вещественных чисел R. Но и вещественные числа по-прежнему содержали запрет. Нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. К концу XVI века математика развилась до такой степени, что это стало препятствием. Так были изобретены мнимые числа. Мнимое число — это квадратный корень из отрицательного числа.
