Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Мнимые числа вместе со всеми вещественными составили великий новый синтез: комплексные числа C. С комплексными числами нам доступно все, никаких запретов нет — и наступил конец истории.
Подчеркну, что эта история — полная фальшивка. Наше понимание чисел вовсе не развивалось подобным образом. Порядок — и тот неправильный. Он должен быть таким: N, Q, R, Z, С. Натуральные числа и правда были известны в доисторические времена. Египтяне изобрели дроби в начале третьего тысячелетия до P.X. Пифагор (или один из его учеников) открыл иррациональные числа около 600 года до P.X. Отрицательные числа возникли во времена Возрождения из необходимости бухгалтерского учета (хотя нуль появился чуть раньше). Комплексные числа появились в XVII веке. Все это развивалось малопредсказуемым образом, хаотично, как и большая часть того, что делают люди. Неверно и то, что наступил конец истории. История никогда не кончается; как только одна шахматная партия доиграна, немедленно начинается следующая.
Что моя подложная история все же показывает, так это каким образом матрешки помещаются одна в другой; надеюсь также, что она проливает некоторый свет на то, почему математики не склонны воспринимать мнимые и комплексные числа как нечто необычное. Эти числа представляют собой просто еще одну матрешку, созданную с практическими целями — решать задачи, которые иначе не решаются.
IV.
Утомительно все время писать √−1, поэтому математики заменили эту величину буквой i. Поскольку i — квадратный корень из минус единицы, имеем i2 = −1. Умножая здесь обе части равенства на i, находим, что i3 = −i. Продолжая процесс, получаем i4 = 1.
А как обстоят дела с √−2, √−3, √−4 и т.д.? Не понадобятся ли и для них отдельные обозначения? Нет. Согласно обычным правилам перемножения целых чисел, имеем −3 = −1×3. Поскольку √x есть просто x1/2, 7-е правило действий со степенями говорит нам, что √(a×b) = √a×√b. (Например, √(9×4) = √9×√4 — довольно изысканный способ записи того факта, что 6 = 3×2.) Итак, √−3 = √−1×√3. Далее, √3, понятно, — совершенно обычное вещественное число, имеющее значение 1,732050807568877…. Следовательно (с точностью до трех знаков после запятой), √−3 = 1,732i; в замкнутом виде это обычно записывают как i√3. То же относится и к корню из любого другого отрицательного числа. Целой кучи новых чисел не требуется; достаточно одного только i.
Так вот, i — очень гордое число. Оно довольно надменно и не любит путаться с другими числами. Прибавим 3 к 4; в полученной семерке исчезло всякое воспоминание о «тройности» тройки, как, впрочем, и о «четверности» четверки; они растворились в «семерности» семерки. Напротив, если мы прибавим 3 к i, то получим… 3 + i. И такая же история с умножением. Когда мы умножаем 5 на 2, вся «пятерность» пятерки и «двойность» двойки проглатываются «десятностью» десятки, исчезая без следа. Но, умножая 5 на i, получаем… 5i. Дело выглядит так, словно i никак не может расстаться со своей индивидуальностью; или, быть может, вещественные числа чувствуют, что i сделано из другого теста, чем они сами.
Итак, достаточно один раз впустить букву i в порядок вещей, как она породит целый новый класс чисел вида 2 + 5i, −1 − i, 47,242 − 101,958i, √2 + πi — все возможные a + bi с вообще любыми вещественными a и b. Они называются комплексными числами. Каждое комплексное число имеет две части: вещественную и мнимую. Вещественная часть комплексного числа a + bi — это a, а мнимая — это b.
Как и в случае с другими матрешками N, Z, Q и R, числа, принадлежащие к одной из внутренних матрешек, являются привилегированными комплексными числами. Натуральное число 257, например, есть комплексное число 257 + 0i; вещественное число √7 есть комплексное число √7 + 0i. Вещественное число — это просто комплексное число с нулевой мнимой частью.
А как насчет комплексных чисел с нулевой вещественной частью? Они называются (чисто) мнимыми числами. Примеры чисто мнимых чисел: 2i, −1479i, πi, 0,0000000577i. Чисто мнимое число можно, конечно, записать как полновесное комплексное число, если вы специально хотите такое сделать: 2i можно записать как 0 + 2i. При возведении чисто мнимого числа в квадрат получается отрицательное вещественное число. Заметим, что это верно и для отрицательных мнимых чисел: квадрат числа 2i равен −4, но и квадрат −2i тоже равен −4 по правилу знаков.
Сложение двух комплексных чисел — дело несложное. Надо просто складывать по отдельности вещественные части и отдельно мнимые части: сложение комплексных чисел −2 + 7i и 5 + 12i даст 3 + 19i. То же и с вычитанием: если в последнем примере вычитать, а не складывать, получим −7 − 5i. Что касается умножения, надо только помнить правило раскрытия скобок, не забывая при этом, что i2 = −1: так, (−2 + 7i)×(5 + 12i) дает −10 − 24i + 35i + 84i2, что сводится к −94 + 11i. В общем случае (a + bi)×(c + di) = (ac − bd) + (bc + ad)i.
Деление основано на нехитром приеме. Что такое 2:i?. Ответ: запишем это в виде дроби, как 2/i. Чудесное свойство дробей состоит в том, что одновременное умножение и числителя, и знаменателя на одно и то же число (не равное нулю) не изменяет дроби: 3/4, 6/8, 15/20 и 12 000/16 000 — это все разные способы записи одной и той же дроби. Итак, умножим числитель и знаменатель дроби 2/i на −i. Умножение двойки на −i даст, конечно, −2i, а i умножить на −i есть −i2, то есть −(−1), что равно 1. Следовательно, 2/i равно −2i/1, что есть просто −2i.
Такое всегда можно сделать — превратить знаменатель дроби в вещественное число. А поскольку всем известно, как делить на вещественные числа, мы у цели. Как нам поделить два полновесных комплексных числа, скажем, (−7 − 4i)/(−2 + 5i)? Вот как: умножим числитель и знаменатель на −2 − 5i. Давайте сначала выполним умножение сверху: (−7 − 4i)×(−2 − 5i) = −6 + 43i. Теперь снизу: (−2 + 5i)×(−2 − 5i) = 29. Ответ: −6/29 + 43/29i. Знаменатель дроби (a + bi)/(c + di) всегда можно превратить в вещественное число, умножив ее на (c − di). Общее правило на самом деле имеет вид
А каков квадратный корень из i? Не потребуется ли нам ввести целый новый класс чисел, чтобы включить √i? И все далее и далее до бесконечности? Ответ: перемножим скобки (1 + i)×(1 + i). Результат, как можно видеть, равен 2i. Значит, квадратный корень из 2i равен 1 + i. С поправкой на масштаб, квадратный корень из i должен быть равен 1/√2 + i/√2. Это число на самом деле им и является.
Комплексные числа по-настоящему прекрасны. С ними можно делать все, что угодно. Можно даже возводить их в комплексные степени, если вы полностью отдаете себе отчет в том, что делаете. Например, (−7 − 4i)−2+5i равно приблизительно −7611,976356 + 206,350419i. Однако подробное обсуждение этой темы мы отложим до другого момента.
V.
Чего нельзя сделать с комплексными числами, так это уложить их на прямую, как вещественные.
Семейство вещественных чисел R (конечно, с содержащимися в нем Q, Z и N) очень легко себе представить. Просто выстроим все числа вдоль прямой линии. Этот способ представления вещественных чисел называется «вещественная прямая» (рис. 11.1).
Рисунок 11.1. Вещественная прямая.
Каждое вещественное число лежит где-то на этой прямой. Например, √2 расположен немного к востоку от 1, чуть ближе, чем на полпути до 2, −π лежит лишь немного к западу от −3, а 1 000 000 — за пределами рисунка, где-то в соседнем районе. Ясно, что на конечном листе бумаги удается показать только часть прямой. От читателя требуется известная доля воображения.
Вещественная прямая представляется вещью очевидной, но в действительности дело с ней обстоит довольно серьезно и не лишено тайны. Рациональные числа, например, «всюду плотны» на ней. Это значит, что между любыми двумя рациональными числами найдется еще одно. А это означает, что между любыми двумя рациональными числами найдется еще бесконечно много рациональных. (Ну правда: если между a и b гарантированно живет c, то между a и c, а также между c и b гарантированно имеется некое d и некое e… и т.д., без конца.) Ладно, это почти удается себе представить. Но где же тогда помещаются иррациональные числа? Кажется, что им приходится как-то втискиваться между рациональными числами, которые, как мы только что видели, уже сидят всюду плотно! Всюду плотно — но при этом расселение еще не закончено.
