Ричард Фейнман - 3a. Излучение. Волны. Кванты
Пусть задана система координат х, у, z и волна движется в пространстве с волновым фронтом (фиг. 34.11). Длина волны есть К, а направление распространения волны не совпадает ни с одной осью координат.
Фиг. 34.11. Плоская волна, движущаяся под углом.
Какой вид имеет формула движения для такой волны? Ответ очевиден: это cos (a>t-ks), где k = 2п/X a s (расстояние вдоль направления движения волны) — проекция вектора положения на направление движения. Запишем это следующим образом: пусть r есть вектор точки в пространстве, тогда s есть г-еk, где ek — единичный вектор в направлении движения волны. Иначе говоря, s равно rcos(r-ek), проекции расстояния на направление движения. Следовательно, наша волна описывается формулой cos(wt-kek·r).
Оказывается очень удобным ввести вектор k, называемый волновым вектором', величина его равна волновому числу 2p/l, а направление совпадает с направлением распространения волны
(34.19)
Благодаря введению этого вектора волна приобретает вид cos(wt-k·r), или cos(wt-kxx-kyy-kzz). Выясним смысл проекций k, например kx. Очевидно, kx есть скорость изменения фазы в зависимости от координаты х. Фиг 34.11 подсказывает нам, что фаза меняется с ростом х так, как если бы вдоль х бежала волна, но соответствующая ей длина волны оказывается больше по величине. «Длина волны в направлении х» больше истинной на множитель, равный секансу угла a между осью х и направлением движения истинной волны:
(34.20)
Следовательно, скорость изменения фазы, обратно пропорциональная Xх, в направлении х оказывается меньше на множитель cos а; но этот же множитель содержит и kx, равный модулю k, умноженному на косинус угла между k и осью х!
Итак, мы выяснили смысл волнового вектора, описывающего распространение волны в трехмерном пространстве. Четыре величины со, kx, ky, kz преобразуются в теории относительности как четырехвектор, причем со соответствует времени, a kx, ky, kz соответствуют х, у и z и компонентам четырехвектора.
Еще раньше, когда мы занимались теорией относительности (гл. 17), мы выяснили, что из четырехвекторов можно составить релятивистское штрихованное произведение. Взяв вектор положения xm (где m, нумерует четыре компоненты — время и три пространственные) и волновой вектор km (где и. снова пробегает четыре значения), образуем штрихованное произведение хm и km , записываемое в виде S'km хm. Это произведение есть инвариант, не зависящий от выбора системы координат. Согласно определению штрихованного произведения,
можно записать S'km хm. следующем виде:
(34.21)
Поскольку km есть четырехвектор, то, как мы уже знаем, Skmxm есть инвариант по отношению к преобразованиям Лоренца. Под знак косинуса в нашей формуле для плоской волны входит именно это произведение, и оно обязано быть инвариантом относительно преобразований Лоренца. У нас не может появиться формула, у которой под знаком косинуса стоит неинвариантная величина, потому что мы знаем, что значение фазы не зависит от выбора системы координат.
§ 8. Аберрация
При выводе формул (34.17) и (34.18) мы взяли простой пример, когда k лежит в направлении движения системы координат; но мы можем обобщить теперь эти формулы на другие возможные случаи. Пусть источник посылает луч света в определенном направлении; это направление фиксируется неподвижным наблюдателем, а мы движемся, скажем, по поверхности Земли в горизонтальном направлении (фиг. 34.12,а). В каком направлении падает луч света с нашей точки зрения? Можно получить ответ, записав четыре компоненты km и совершив преобразования Лоренца. Но можно воспользоваться и следующим рассуждением: чтобы увидеть луч, следует наш телескоп повернуть на некоторый угол (фиг. 34.12, б). Почему? Потому что свет падает сверху со скоростью с, а мы движемся горизонтально со скоростью у, и свет пройдет «прямо» через телескоп, если последний наклонить на некоторый угол. Легко понять, что расстояние по горизонтали равно vt, а по вертикали ct, и, обозначив угол наклона через q', мы получим tgq'=v/c. Замечательно! В самом деле, замечательно, если бы не одна маленькая деталь: q' не есть тот угол, под которым надо установить телескоп по отношению к поверхности Земли, потому что наш анализ проводился с точки зрения неподвижного наблюдателя.
Фиг, 34.12. Удаленный источник света S.
а — наблюдаемый через неподвижный телескоп; б — наблюдаемый через телескоп, движущийся в боковом направлении.
Горизонтальное расстояние, которое мы считали равным vt, неподвижный по отношению к Земле наблюдатель найдет равным совсем другой величине, так как он пользуется, с нашей точки зрения, «сжатой» линейкой. Из-за эффекта сокращения возникает совсем другое соотношение:
(34.22)
что эквивалентно
(34.23)
Полезно вам самим получить это соотношение с помощью преобразования Лоренца.
Описанный выше эффект кажущегося изменения направления луча называется аберрацией и обнаружен на опыте. Казалось бы, как он может проявиться? Ведь никто не знает, где на самом деле расположена звезда. Пусть мы действительно смотрим на звезду в неправильном, кажущемся направлении, откуда нам известно, что оно неправильное? Известно; потому, что Земля обращается вокруг Солнца. Сегодня мы устанавливаем телескоп под одним углом, а через шесть месяцев мы должны его уже повернуть. Вот откуда мы знаем о существовании этого эффекта.
§ 9. Импульс световой волны
Займемся теперь другим вопросом. В прошлых главах мы ни разу не говорили о магнитном поле световой волны. Обычно эффекты, связанные с магнитным полем, очень малы, однако есть один интересный и важный эффект, возникающий под влиянием магнитного поля. Пусть имеется луч света, посылаемый каким-то источником, который действует на заряд и заставляет его колебаться вверх и вниз. Предположим, что электрическое поле направлено вдоль оси х; тогда колебания заряда будут происходить тоже вдоль оси х: положение заряда дается значением х, а скорость заряда есть v (фиг. 34.13).
Магнитное поле направлено перпендикулярно электрическому. Электрическое поле, воздействуя на заряд, заставляет его раскачиваться вверх и вниз, а как действует магнитное поле? Магнитное поле действует только на движущийся заряд (пусть это будет, например, электрон); но электрон действительно движется, ведь он разгоняется электрическим полем, следовательно, оба поля действуют совместно. Двигаясь вверх и вниз с некоторой скоростью, электрон испытывает действие силы, равной по величине произведению Bvq, а каково направление
Фиг. 34.13. Движущийся под действием электрического поля заряд, на который со стороны магнитного поля действует сила, направленная по световому лучу.
этой силы? Направление силы совпадает с направлением распространения, света. Следовательно, падающий на заряд луч света заставляет его колебаться и, кроме того, тянет его с некоторой силой в направлении движения световой волны. Это явление носит название давления электромагнитных волн, или светового давления.
Определим величину светового давления. Она, очевидно, равна F = qvB или, поскольку заряд и поле осциллируют, равна среднему по времени от F, т. е. <F>. Согласно (34.2), напряженность магнитного поля равна напряженности электрического поля, деленной на с, так что мы должны найти среднее от произведения электрического поля, скорости и заряда, деленного на с: <F> = q<vE>/c. С другой стороны, произведение заряда q на поле Е есть сила, действующая на заряд со стороны электрического поля, а произведение силы на скорость есть работа в единицу времени dW/dt, совершаемая над зарядом!
Следовательно, сила («толкающий импульс»), сообщаемая заряду за 1 сек, равна поглощаемой энергии света за 1 сек, деленной на с! Этот закон носит общий характер, поскольку нам не надо было знать силу осциллятора, а также взаимное уничтожение действия разных зарядов. В каждом случае, когда происходит поглощение света, возникает давление. Импульс, сообщаемый светом, всегда равен поглощаемой энергии, деленной на с:
(34.24),
Мы уже знаем, что свет переносит с собой энергию. Теперь мы приходим к выводу, что свет несет также и импульс и, кроме того, импульс световой волны всегда равен энергии, деленной на с.
