Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред
Материал, находящийся слева от площадки, действует на материал с правой стороны с силой DF1 (фиг. 31.5, б). Есть, конечно, и обратная реакция, т.е. на материал слева от поверхности действует сила —DF1. Если площадка достаточно мала, то мы ожидаем, что сила DF1 пропорциональна площади Dy/Dz.
Вы уже знакомы с одним видом напряжений — статическим давлением жидкости. Там сила была равна давлению, умноженному на площадь, и направлена под прямым углом к элементу поверхности. Для твердого тела, а также движущейся вязкой жидкости сила не обязательно перпендикулярна поверхности: помимо давления (положительного или отрицательного), появляется еще и сдвигающая сила. (Под «сдвигающей» силой мы подразумеваем тангенциальные компоненты сил, действующих на поверхности.) Для этого нужно учитывать все три компоненты силы. Заметьте еще, что если разрез мы сделаем по плоскости с какой-то другой ориентацией, то действующие на ней силы тоже будут другими. Полное описание внутренних напряжений требует применения тензоров.
Определим тензор напряжений следующим образом. Вообразите сначала разрез, перпендикулярный оси х, и разложите силу DF1, действующую на разрезе, на ее компоненты: DFx1, DFy1, DFz1 (фиг. 31.6).
Фиг. 31.6. Сила DF1, действующая на элементе площади DyDz, перпендикулярной оси х, разлагается на три компоненты: DFx1, DFу1 и DFz1.
Отношение этих сил к площади Dy/Dz мы назовем Sxx, Syxи Szx. Например,
Syx=DFу1/DyDz
Первый индекс у относится к направлению компоненты силы, а второй х — к направлению нормали к плоскости. Если угодно, площадь DyDz можно записать как Dах, имея в виду элемент площади, перпендикулярный оси х, т. е.
Syx=DFу1/Dах
А теперь представьте себе разрез, перпендикулярный оси у. Пусть на маленькую площадку DxDz действует сила DF2.
Разлагая снова эту силу на три компоненты, как показано на фиг. 31.7, мы определяем три компоненты напряжения Sxy, Syy, Szyкак силы, действующие на единичную площадь в этих трех направлениях.
Фиг. 31.7. Сила, действующая на элемент площади, перпендикулярной оси у, разлагается на три взаимно перпендикулярные компоненты.
Наконец, проведем воображаемый разрез, перпендикулярный оси z, и определим три компоненты Sxz, Syzи Szz. Таким образом, получается девять чисел:
Я хочу теперь показать, что этих девяти величин достаточно, чтобы полностью описать внутреннее напряженное состояние, и что Sij-—действительно тензор. Предположим, что мы хотим знать силу, действующую на поверхность, наклоненную под некоторым произвольным углом. Можно ли найти ее, исходя из Sij? Можно, и это делается следующим образом. Вообразите маленькую призму, одна грань N которой наклонна, а другие — параллельны осям координат. Если окажется, что грань N параллельна оси z, то получается картина, изображенная на фиг. 31.8.
Фиг. 31.8. Разложение на компоненты силы Fn, действующей на грани N (с единичной нормалью n).
(Это, конечно, частный случай, но он достаточно хорошо иллюстрирует общий метод.) Дальше, напряжения, действующие на эту призмочку, должны быть такими, чтобы она находилась в равновесии (по крайней мере в пределе бесконечно малого размера), так что действующая на нее полная сила должна быть равна нулю. Силы, действующие на грани, параллельные осям координат, известны нам непосредственно из тензора Sij. А их векторная сумма должна равняться силе, действующей на грань N, так что эту силу можно выразить через Sij.
Наше допущение, что поверхностные силы, действующие на малый объем, находятся в равновесии, предполагает отсутствие объемных сил, подобных силе тяжести или псевдосилам, которые тоже могут присутствовать, если наша система координат не инерциальна. Заметьте, однако, что такие объемные силы будут пропорциональны объему призмочки и поэтому пропорциональны Dx,Dy, Dz, тогда как поверхностные силы пропорциональны DxDy, DyDz и т. п. Итак, если размер призмочки взять достаточно малым, то объемные силы будут пренебрежимо малы по сравнению с поверхностными.
А теперь сложим силы, действующие на нашу призмочку. Возьмемся сначала за х-компоненту, которая состоит из пяти частей, по одной от каждой грани. Но если Dz достаточно мало, то силы от треугольных граней (перпендикулярные оси z) будут равны друг другу и противоположны по направлению, поэтому о них можно забыть. На основание призмы действует x-компонента силы, равная
DFx2=SxyDxDz,
а x-компонента силы, действующей на вертикальную прямоугольную грань, равна
DFx1=SхxDz.
Сумма этих двух сил должна быть равна x-компоненте силы, действующей извне на грань N. Обозначим через n единичный вектор нормали к грани N, а через Fn — действующую на нее силу, тогда получим
DFxn=SxxDyDz+SxyDxDz.
Составляющая напряжения по оси х (Sxn), действующего в этой плоскости, равна силе DFxn, деленной на площадь, т. е. DzЦ(Dx2+Dy2), или
Но, как видно из фиг. 31.8, отношение Dх/Ц(Dx2+Dy2) — это косинус угла q между n и осью у и может быть записан как пу, т. е. y-компонента вектора n. Аналогично, Dy/Ц(Dx2+Dy2) равно sinq=nх. Поэтому мы можем написать
Sxn=Sxxnx+Sxyny
рели теперь обобщить это на произвольный элемент поверхности, то мы получим
Sxn= Sxxnx+Sxyny+Sxznz,
или в еще более общей форме:
Так что мы действительно можем выразить силу, действующую на произвольную площадь, через элементы Sijи полностью описать внутреннее напряжение.
Уравнение (31.24) говорит, что тензор Sij связывает силу Sn с единичным вектором n точно так же, как aijсвязывает Р с Е. Но поскольку n и Sn — векторы, то компоненты Sijпри изменении осей координат должны преобразовываться как тензор. Так что Sijдействительно тензор.
Можно также доказать, что Sij симметричный тензор. Для этого нужно обратить внимание на силы действующие на маленький кубик материале. Возьмем кубик, грани которого параллельны осям координат, и посмотрим на его разрез (фиг. 31.9).
Фиг. 31.9. х- и у-компоненты сил, действующих на четыре грани маленького единичного кубика.
Если допустить что ребра куба равны единице, то х- и y-компоненты сил на гранях, перпендикулярных к осям х и у, должны быть такими, как показано на рисунке. Если взять достаточно маленький кубик, можно надеяться, что напряжение на его противоположных гранях будет отличаться ненамного, а поэтому компоненты сил должны быть равны и противоположны, как это показано на рисунке. Заметьте теперь, что на кубик не должен действовать никакой момент си иначе кубик начал бы вращаться. Но полный момент относительно центра равен произведению (Syx-Sxy) на единичную длину ребра куба, а поскольку полный момент равен нулю, то S должно быть равно Sxy, и тензор напряжений, таким образом, оказывается симметричным.
